人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【提高】椭圆的性质
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【提高】椭圆的性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 554.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-19 20:51:13 | ||
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文档简介
椭圆的性质
【学习目标】
1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
/
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
要点诠释：
椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
/
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
/
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
/
/
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
要点四、直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），
若点M（x,y）在椭圆上，则有；
若点M（x,y）在椭圆内，则有；
若点M（x,y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【典型例题】
类型一：椭圆的简单几何性质
例1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。
【解析】 椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，，，
所以c=2，b2=32－22=5，
故椭圆的方程为或。
【总结升华】 灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程.
举一反三：
【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
【变式2】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。
【答案】或
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点/在x轴上，离心率为/．过点/的直线l交C于A，B两点，且/的周长为16，那么C的方程为______
【答案】/。
类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1）由题意得，
即，
解得。
（2）由题意得，
解得，故离心率。
【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式；
椭圆的离心率，所以构造a、b、c三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a、b、c三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系。
求椭圆的离心率通常有两种方法：
（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c的值，利用公式直接求解。
（2）若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e。
举一反三：
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
【答案】D
【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿
【答案】
例3. 设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。
【解析】 在△MF1F2中，由正弦定理得
，
即
∴，
∴。
【总结升华】 本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e。
举一反三：
【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
【答案】
【变式2】（2018 金凤区校级一模）已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,BF，若|AB|=10，|BF|=8，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】
如图所示，在ΔAFB中，|AB|=10，|BF|=8，
由余弦定理得
，
设为椭圆的右焦点，连接
根据对称性可得四边形是矩形。
，
，解得a=7,c=5.
故选B。
例4．（2018 潍坊模拟）椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
B. C. D.
【思路点拨】分等腰三角形F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心，半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围。
【解析】
（1）当点P与短轴的顶点重合时，ΔF1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰三角形ΔF1F2P；
（2）当ΔF1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，
因为F1F2= F1P，
所以点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时，存在2个满足条件的等腰ΔF1F2P，
在ΔF1F2P1中，F1F2+ P F1> P F2,圆2c+2c>2a-2c,
由此得知3c>a,所以离心率.
当时，ΔF1F2P是等边三角形，与（1）中的三角形重复，故。
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在且时也存在2个满足条件的等腰ΔF1F2P，
这样，总共有6个不同的点P使得ΔF1F2P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：。
【总结升华】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
举一反三：
【变式1】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。
【答案】由已知，，所以，
即，
不等式两边同除可得，
解不等式得或.
由椭圆的离心率，
所以所求椭圆离心率.
【变式2】（2018春 绵阳校级月考）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F1（－c，0），F2（c，0），，，
∵△ABF2是锐角三角形，
∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，
∴，
整理，得b2＜2ac，
∴a2－c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e－1＞0，
解得，或，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是。
故选B。
类型三：直线与椭圆的位置关系
例6. 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
【解析】解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．
所以所求直线方程为．
解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得
①－②得． ⑤
将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．
所求直线方程为．
【总结升华】
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
举一反三：
【变式1】已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.
【答案】直线的方程为x+2y－8=0
【变式2】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。
【答案】时，直线与椭圆恒有公共点
【巩固练习】
选择题
1．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）
A.＋=1或＋=1 B.＋=1或＋=1
C.＋＝1或＋=1 D.椭圆的方程无法确定
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为12，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5）
4．（2018春 德宏州校级期末）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5. (2018 长沙模拟)已知F1（-c,0）, F2（-c,0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，因此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．(2018 福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. （2018 大连一模）在椭圆上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若，则的最小值为________．
10.已知椭圆C的焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为 .
三、解答题
11．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值.
12.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
13．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
14．已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．
15．(2018 安徽)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为．
(I)求E的离心率e；
(Ⅱ)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.
【答案与解析】
1．答案： C
解析：由题意，a=5,c=3,∴b2=a2－c2=25－9=16,
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋=1.
2．答案：D
解析： 由已知2a=12，，得a=6，c=2，∴，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以椭圆的方程是。
3．答案：D
解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。
4．答案：A
解析：由题意可设F（―c，0），A（―a，0），B（a，0），
令x=―c，代入椭圆方程可得，
可得，
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=―c，可得M（―c，k（a―c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得，
由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，
即为，
化简可得，即为a=3c，
可得。
故选：A。
5.答案：C
解析：设P（m,n）,,
①
把P（m,n）代入椭圆得②，
把①代入②得，
又
故。
综上：，故选C。
6．答案： D
解析：设Q，由题意得P、Q两点间的最大距离等于圆心(0,6)到椭圆上Q点的最大距离再加上圆的半径，而圆心(0,6)到椭圆上Q点的距离
.
所以P、Q两点间的最大距离等于
故选：D．
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9.答案：
解析：M在椭圆，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），
则，
由K（2，0），可得
当时，取得最小值，
故答案为：．
10．答案：
解析：由题设椭圆C的标准方程为，由已知得∴
，∴椭圆的方程为
11. 解析：方程变形为．
因为焦点在轴上，所以，解得．
又，所以，适合．故．
12．解析：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴椭圆的方程为+x2=1.
13. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式
．
求解．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
14. 解析：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：
·．①
由椭圆定义知： ②
则得
．
故
．
15. 解：(Ⅰ)由题设条件知，点M的坐标为，
又，从而．
进而得
(Ⅱ)由题设条件和(Ⅰ)的计算结果可得，直线AB的方程为，
点N的坐标为
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，
则线段NS的中点T的坐标为
又点T在直线AB上，且．
从而有
解得b＝3．
所以．故椭圆E的方程为．
【学习目标】
1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质
/
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
要点诠释：
椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
/
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：
/
a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.
要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程
图形
/
/
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
要点四、直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），
若点M（x,y）在椭圆上，则有；
若点M（x,y）在椭圆内，则有；
若点M（x,y）在椭圆外，则有.
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【典型例题】
类型一：椭圆的简单几何性质
例1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。
【解析】 椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，，，
所以c=2，b2=32－22=5，
故椭圆的方程为或。
【总结升华】 灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程.
举一反三：
【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
【变式2】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。
【答案】或
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点/在x轴上，离心率为/．过点/的直线l交C于A，B两点，且/的周长为16，那么C的方程为______
【答案】/。
类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1）由题意得，
即，
解得。
（2）由题意得，
解得，故离心率。
【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式；
椭圆的离心率，所以构造a、b、c三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a、b、c三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系。
求椭圆的离心率通常有两种方法：
（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c的值，利用公式直接求解。
（2）若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e。
举一反三：
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
【答案】D
【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿
【答案】
例3. 设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。
【解析】 在△MF1F2中，由正弦定理得
，
即
∴，
∴。
【总结升华】 本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e。
举一反三：
【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
【答案】
【变式2】（2018 金凤区校级一模）已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,BF，若|AB|=10，|BF|=8，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】
如图所示，在ΔAFB中，|AB|=10，|BF|=8，
由余弦定理得
，
设为椭圆的右焦点，连接
根据对称性可得四边形是矩形。
，
，解得a=7,c=5.
故选B。
例4．（2018 潍坊模拟）椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
B. C. D.
【思路点拨】分等腰三角形F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心，半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围。
【解析】
（1）当点P与短轴的顶点重合时，ΔF1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰三角形ΔF1F2P；
（2）当ΔF1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，
因为F1F2= F1P，
所以点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时，存在2个满足条件的等腰ΔF1F2P，
在ΔF1F2P1中，F1F2+ P F1> P F2,圆2c+2c>2a-2c,
由此得知3c>a,所以离心率.
当时，ΔF1F2P是等边三角形，与（1）中的三角形重复，故。
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在且时也存在2个满足条件的等腰ΔF1F2P，
这样，总共有6个不同的点P使得ΔF1F2P为等腰三角形
综上所述，离心率的取值范围是：。
【总结升华】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
举一反三：
【变式1】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。
【答案】由已知，，所以，
即，
不等式两边同除可得，
解不等式得或.
由椭圆的离心率，
所以所求椭圆离心率.
【变式2】（2018春 绵阳校级月考）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
∴F1（－c，0），F2（c，0），，，
∵△ABF2是锐角三角形，
∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，
∴，
整理，得b2＜2ac，
∴a2－c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e－1＞0，
解得，或，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e的取值范围是。
故选B。
类型三：直线与椭圆的位置关系
例6. 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
【解析】解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得．
∵是弦中点，∴．故得．
所以所求直线方程为．
解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得
①－②得． ⑤
将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．
所求直线方程为．
【总结升华】
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
举一反三：
【变式1】已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.
【答案】直线的方程为x+2y－8=0
【变式2】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。
【答案】时，直线与椭圆恒有公共点
【巩固练习】
选择题
1．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）
A.＋=1或＋=1 B.＋=1或＋=1
C.＋＝1或＋=1 D.椭圆的方程无法确定
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴为12，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5）
4．（2018春 德宏州校级期末）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5. (2018 长沙模拟)已知F1（-c,0）, F2（-c,0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，因此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．(2018 福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. （2018 大连一模）在椭圆上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若，则的最小值为________．
10.已知椭圆C的焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为 .
三、解答题
11．已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值.
12.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
13．已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
14．已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．
15．(2018 安徽)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为．
(I)求E的离心率e；
(Ⅱ)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.
【答案与解析】
1．答案： C
解析：由题意，a=5,c=3,∴b2=a2－c2=25－9=16,
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋=1.
2．答案：D
解析： 由已知2a=12，，得a=6，c=2，∴，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以椭圆的方程是。
3．答案：D
解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。
4．答案：A
解析：由题意可设F（―c，0），A（―a，0），B（a，0），
令x=―c，代入椭圆方程可得，
可得，
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=―c，可得M（―c，k（a―c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得，
由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，
即为，
化简可得，即为a=3c，
可得。
故选：A。
5.答案：C
解析：设P（m,n）,,
①
把P（m,n）代入椭圆得②，
把①代入②得，
又
故。
综上：，故选C。
6．答案： D
解析：设Q，由题意得P、Q两点间的最大距离等于圆心(0,6)到椭圆上Q点的最大距离再加上圆的半径，而圆心(0,6)到椭圆上Q点的距离
.
所以P、Q两点间的最大距离等于
故选：D．
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9.答案：
解析：M在椭圆，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），
则，
由K（2，0），可得
当时，取得最小值，
故答案为：．
10．答案：
解析：由题设椭圆C的标准方程为，由已知得∴
，∴椭圆的方程为
11. 解析：方程变形为．
因为焦点在轴上，所以，解得．
又，所以，适合．故．
12．解析：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴椭圆的方程为+x2=1.
13. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式
．
求解．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
14. 解析：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：
·．①
由椭圆定义知： ②
则得
．
故
．
15. 解：(Ⅰ)由题设条件知，点M的坐标为，
又，从而．
进而得
(Ⅱ)由题设条件和(Ⅰ)的计算结果可得，直线AB的方程为，
点N的坐标为
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，
则线段NS的中点T的坐标为
又点T在直线AB上，且．
从而有
解得b＝3．
所以．故椭圆E的方程为．