人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：16【基础】椭圆综合（理）

椭圆综合
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义及其标准方程
椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点三、直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
椭圆的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、椭圆的实际应用与最值问题
对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解
椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用椭圆的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：椭圆的方程与性质
例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知所以，选D
【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同
举一反三：
【变式1】（2018 江西校级一模）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【变式2】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程.
【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上
所以有 解得
所以所求椭圆方程为
例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
【解析】由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆.
举一反三：
【变式】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是(　　)
A．－4≤m≤4 B．－4C．m>4或m<－4 D．0【答案】B
例3 .的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
【解析】
（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
举一反三：
【变式】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
类型二：直线与椭圆的位置关系
例4.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
【解析】　(1)∵且，∴a＝，b＝1.
∴椭圆c的方程为2.
(2)由题意知点P(0，t)(－1由得
∴圆P的半径为，
又∵圆P与x轴相切，
∴，解得，
故P点坐标为.
【总结升华】 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法.
举一反三：
【变式】(2018 沂州校级四模)设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P（a,b）满足| F1F2|=| PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为点P（a,b）满足| F1F2|=| PF2|，所以
整理得，得
所以,可得椭圆方程为
直线PF2的方程为，
代入椭圆方程，消去y并整理，得解得或
得
所以
所以c=5,
所以椭圆方程为，故选：B。
类型三：椭圆中的最值问题
例5 .A、B是两定点，且|AB|＝2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P的坐标．
【解析】
(1)以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．
∵l为MB的垂直平分线，
∴|PM|＝|PB|，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4，
∴点P的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为.
(2)∵，
∴当且仅当|PA|＝|PB|时，m最大，这时P的坐标(0，)或(0，)．
【总结升华】到两焦点距离和积的最值问题，一般利用定义进行转化.
举一反三：
【变式1】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值
【答案】依题意可设，则
∵Q在椭圆上
∴
=
=
∵则
当时，去最大值
若，则当时，取最大值2.
【变式2】（2018 德阳模拟）已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是________。
【答案】
由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8－|AB|。
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=b2，∴5=8－b2，
解得。
故答案为。
类型四：椭圆在生活中的应用.
例6.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A据地面439km，远地点B距地面2384km，并且在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.
【解析】如图建立直角坐标系，使点在x轴上，为椭圆的右焦点
设椭圆的标准方程为，
则，
，
解得
∴，
所以，卫星运行的轨道方程是
【总结升华】本题实质上利用椭圆的定义求椭圆的方程.
举一反三：
【变式】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①②③④其中正确式子的序号是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【答案】B
【巩固练习】
选择题
1．椭圆的焦距是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2018 兴国一模）椭圆与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2018 河北区模拟）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A. B. C. D.
6. 设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆交于A、B两点,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为的点P的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
7．.已知椭圆的离心率,则m的值为___________.
8．（2018 海南校级模拟）已知P为椭圆上一点，F1，F2是焦点，∠F1PF2取阳大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为________。
.
9．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 .
10.若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
三、解答题
11.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
12．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程．
13. 若AB为过椭圆中心的弦,F1为椭圆的右焦点,求△F1AB面积的最大值.
14．若椭圆与直线交于A、B两点，M为AB中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.
15．(2018 安徽文)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0),点B的坐标为(0，b),点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为。
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB．
16. （2018 北京文）已知椭圆C：过点A（2，0），B（0，1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案与解析】
1.答案：A
解析：化为椭圆的标准方程为，所以，所以焦距
2.答案：C
解析：由图形的意义，M的轨迹应为线段
3．答案：D
解析：由条件得，焦点在x轴上，所以可设椭圆的方程为，代入椭圆过的点，可求,所以椭圆的方程为
4.答案：A
解析：联立椭圆方程与直线方程，得
A（x1,y1）,B(x2,y2),
AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率
故选A。
5.答案：A
解析：由题意，则，化简后得，故选A.
6.答案：B
解析:可求出直线l′:2x+y-2=0.
由方程组解得x=0或x=1.
∴A(0,2),B(1,0),|AB|=.
∴点P到AB的距离为.
由AB所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x0,y0),
则
解之有两组解.
故存在两个不同的P点满足题意.
7．答案: 3或
解析:分两种情况.
焦点在x轴上时,0∴,解得m=3;
焦点在y轴上时,m>5,
∴解得.
8．答案:
解析: 根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F1PF2取最大值，
P为椭圆上任意一点，当∠F1PF2取最大值时的余弦值为，
由余弦定理可得，
即有，
化为a2=3c2，则。
故答案为：。
9.答案：4
解析：由均值不等式得，
10．答案：　x＋2y－4＝0
解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，，
∴所求直线方程为y－1＝ (x－2)，
即x＋2y－4＝0.
11. 解析：　椭圆方程可化为，
∵，
∴.
即a2＝m，，.
由得，，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，)，B2(0，)．
12.解析：由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为(a>b>0)．
由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.
又即，且a2＋b2＝c2.
将以上三式联立，得方程组，
解得
所求椭圆方程是.
13. 解析:由已知得F1为(3,0),则△F1AB可看成由△OBF1和△OAF1组成.
设A(x0,y0),则B(-x0,-y0).
∴
=
=.
由椭圆的定义,知|y0|≤b=4,
∴
14．解析：
设点，，则
由，消去得
∴，，
∵OA⊥OB
∴，
即，
整理得， …… ①
又∵M为AB中点，
∴，
即 …… ②
①②联立解得：，，
故椭圆的方程.
15. 解析：
(Ⅰ) ∵ |BM|＝2|MA|且A(a，0)，B(0，b)
∴
又∵ OM的斜率为
∴
(Ⅱ)由题意可知N点的坐标为
∴
∴
∴ MN⊥AB