人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：17【提高】椭圆综合（理）

椭圆综合
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
/
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义及其标准方程
椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
/
/
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点三、直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
椭圆的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、椭圆的实际应用与最值问题
对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解
椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
（1）利用定义转化
（2）利用椭圆的几何性质
（3）转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：椭圆的方程与性质
例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知所以，选D
【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同
举一反三：
【变式】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程.
【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上
所以有 解得
所以所求椭圆方程为
例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
【解析】由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆.
举一反三：
【变式】已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
【答案】方程可化为．
因为焦点在轴上，所以．
因此且从而．
例3. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的每一个焦点为(，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
答案：(1) ＝1
(2) x2＋y2＝13
【解析】(1)依题意知，求得a＝3，b＝2，
∴椭圆的方程为＝1．
(2)当过点P的直线斜率不存在时，P的坐标为(±3，±2)时符合题意，
设过点P(x0，y0)的切线为y＝k(x－x0)＋y0，
＝1，
整理得(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，
△＝[18k(y0－kx0)]2－4(9k2＋4)×9[(y0－kx0)2－4]，
∴(x02－9)k2－2x0×y0×k＋(y02－4)＝0，
∴－1＝k1?k2，＝－1，
∴x02＋y02＝13．
把点(±3，±2)亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2＋y2＝13．
【总结升华】由题设所给的动点满足的几何条件列出等式,然后利用两切线垂直这个条件进行化简,得到所求轨迹方程．
举一反三：
【变式】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
【答案】，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
类型二：直线与椭圆的位置关系
例4.已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
【解析】（1）把直线方程代入椭圆方程得
，即．
，
解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得
，．
根据弦长公式得
．
解得．
因此，所求直线的方程为．
【总结升华】处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
举一反三：
【变式1】（2018 高安市校级模拟）椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）
B. C. D.
【答案】D
【解析】设关于直线的对称点A（m,n）,则，
代入椭圆方程可得，化简可得，，故选D。
【变式2】已知：直线 y＝1-x与椭圆 mx2+ny2＝1交于M、N两点，O为坐标原点，
（1）若点P为线段MN的中点，OP的斜率为，求：的值；
（2）若OM⊥ON，且，求：椭圆的方程．
【答案】设令M(x1,y1), N(x2,y2)，
把y=1-x代入mx2+ny2=1中消y有：(m+n)x2-2nx+n-1=0，
由已知：Δ>0，，，
（1）,
∴ ,
∴．
（2）∵OM⊥ON， ∴x1x2+y1y2=0
又y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=
∴即m+n=2,
又∵，
∴
∴或，
∴所求为或．
【变式3】已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
【答案】利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
类型三：椭圆中的最值问题
例5 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到的距离等于的点的坐标．
【解析】
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定．
由可得
，即．
设椭圆上的点到点的距离是，则

其中．
如果，则当时，（从而）有最大值．
由题设得，由此得，与矛盾．
因此必有成立，于是当时，（从而）有最大值．
由题设得，可得，．
∴所求椭圆方程是．
由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是．
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数．
由可得
，即．
设椭圆上的点到点的距离为，则


如果，即，则当时，（从而）有最大值．
由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立．
于是当时（从而）有最大值．
由题设知，∴，．
∴所求椭圆的参数方程是．
由，，可得椭圆上的是，．
举一反三：
【变式1】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值
【答案】依题意可设，则
∵Q在椭圆上
∴
=
=
∵则
当时，去最大值
若，则当时，取最大值2.
【变式2】（2018 杭州校级模拟）如图，P是椭圆上的动点，F1、F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是________．
/
【答案】∵，∴
延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，
且M为F2M的中点，可得OM是△PF1F2的中位线
∵a－c＜|PF2|＜a+c
∴
∴|OM|的取值范围是（0，3）
故答案为：（0，3）
类型四：椭圆在生活中的应用.
例6.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A据地面439km，远地点B距地面2384km，并且在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.
【解析】如图建立直角坐标系，使点在x轴上，为椭圆的右焦点
设椭圆的标准方程为，
则，
，
解得
∴，
所以，卫星运行的轨道方程是
【总结升华】本题实质上利用椭圆的定义求椭圆的方程.
举一反三：
【变式】如图所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
/
若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l约为________．(精确到0.1米)
【答案】33.3米
【解析】如图所示，建立直角坐标系，
/
则点P(11,4.5)，
椭圆方程为.
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得a＝，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
【巩固练习】
选择题
1．一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（ ）
A．3 B． C． D．6
2．已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ）
A.点（－3，－2）不在椭圆上
B.点（3，－2）不在椭圆上
C.点（－3，2）在椭圆上
D.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上
3．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5）
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
5. （2018 兴国一模）椭圆与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.(2018 湖北校级模拟)已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. 若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
10. （2018　　山西模拟）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1，QO与椭圆分别相交于点P，R，则△QF1O与△QPR的面积的比值为________．
三、解答题
11．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。
12.椭圆(a>b>0)的两焦点为F1（0，-c），F2（0，c）(c>0)，离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2-，求椭圆的方程.
13. 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
14．（2018 新课标Ⅱ文））已知椭圆/的离心率为/,点/在C上.
（I）求C的方程；
（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
15．已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．
/
１６．(２０１６　北京理)已知椭圆的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与/轴交于点N．
求证：|AM|·|BM|为定值．
【答案与解析】
1．答案：C
解析： ∵c=2，，∴a=3
∴b2=a2―c2=9―4=5，∴，
∴短轴长为。
2．答案： C
解析 ：∵点（3，2）在椭圆＋=1上，
∴＋=1,∴=1.
即点(±3,±2)在椭圆＋=1上.
3．答案：D
解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。
4．答案：D
解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
5. 答案：A
解析：联立椭圆方程与直线方程，得
A（x1,y1）,B(x2,y2),
AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率
故选A。
6．答案： A
解析： 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，设左焦点为N，则连接AF,AN,BN,BF,所以四边形AFNB为长方形。由椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.所以2a=2ccosα+2csinα,利用，
所以，则：
所以椭圆离心率e的取值范围为，故选A.
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9. 答案：　x＋2y－4＝0
解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，，
∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)，
即x＋2y－4＝0.
10．答案：　
解析：设F1（－c，0），F2（c，0），△QF1O为正三角形，
可设，可得，
由|OQ|=|OF1|=|OF2|=c，可得△QF1F2是直角三角形，
由椭圆的定义可得，
即有，
则椭圆C的方程为，
由QF1的方程，代入椭圆方程消x化简可得，
，
解得或，
则△QF1O的面积为，
△QPR的面积为，
即有△QF1O与△QPR的面积的比值为。
故答案为：。
11. 解析：若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为，
由题意得，解得。
∴椭圆的标准方程为。
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为.同理可求椭圆的方程为
12．解析∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a-c=2-.
又e==，∴a=2.故b=1.
∴椭圆的方程为+x2=1.
13.解析：(1)∵且c＝，∴a＝，b＝1.
∴椭圆c的方程为.
(2)由题意知点P(0，t)(－1由得
∴圆P的半径为，
又∵圆P与x轴相切，
∴，解得，
故P点坐标为.
14． 解析：（Ⅰ）由题意有，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入得(2k2+1)x2+4kbx+2b2－8=0.
故，于是直线OM的斜率，即
，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
15.解析：由，得a＝5，b＝3，c＝4.
所以点A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为F(－4,0)．
又因为|MA|＋|MF|＝2a＝10，
所以|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|，
又|BF|＝2，
所以－2＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2.
所以10－2≤|MA|＋|MB|≤10＋2.
当F、B、M三点共线时等号成立．所以|MA|＋|MB|的最大值为10＋2，最小值为10－2.
１６．(1)由题意得解得a＝2，b＝1．
所以椭圆C的方程为．
(2)由(Ⅰ)知，A(2，0)，B(0，1)，
设P(x0，y0)，则．
当x0≠0时，直线PA的方程为．
令x＝0，得．从而．
直线PB的方程为．
令y＝0，得．从而．
所以
．
当x0＝0时，y0＝-1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4．
综上，|AN|·|BM|为定值．