7.5 三角形内角和定理（1）课时作业（含解析）

7.5 三角形内角和定理（1）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
本节知识点：
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（　　）
A． 30° B． 45° C． 90° D． 60°
在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，则∠2的度数是（　　）
A．50° B．45° C．35° D．30°
如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）
A． 150° B． 210° C． 105° D． 75°
如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB= ∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为______．
命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是　 　（填“真命题”或“假命题”）．
如图，C岛在A岛的北偏东60方向，在B岛的北偏西45°方向，则∠ACB=____.
如图，a∥b ,∠1＋∠2=75°,则∠3＋∠4= ____________.
如图，平面镜A与B之间夹角为110°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为　　　　　　．
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD平分∠BAC，交BC于F，DE⊥BC于E，则∠D=　 　°．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，在中，∠ACB=90o ，是上一点，且∠ACD=∠B ．求证：CD⊥AB．
在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°，∠ACB=50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠ACB﹣∠ABC的数量关系：　 　，并证明你的结论．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．
若，则的度数为______；
若，求的度数；
猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由；
当且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
7.5 三角形内角和定理（1）课时作业答案解析
、选择题
【考点】三角形内角和定理．
【分析】先根据∠A=50°，∠ABC=70°得出∠C的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．
【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=70°×=35°，
∴∠BDC=50°+35°=85°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的内角的和是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】在△ABC中，根据三角形内角和是180度来求∠C的度数．
【解答】解：∵三角形的内角和是180°，
又∠A=95°，∠B=40°
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣95°﹣40°
=45°，
故选C．
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形内角和为180°，将三个内角相加即可求得x的值，即可解题．
解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，三角形内角和为180°，
∴x+y+x-y+x=180，
∴3x=180，
x=60，
故选：D．
【点睛】考查了三角形内角和定理，利用三角形为180°的性质，本题中求得x的值是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形内角和定理可知，①中∠C＝90°，②中∠C＝90°，③中∠A＋∠B＝90°，两锐角互余，④中∠B＝90°，所以①②③④都能判定是直角三角形，
【解答】解：①因为∠A＋∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°；
②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x＋2x＋3x=180°，x=30°，∠C=30°×3=90°；
③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A＋∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，为直角三角形；
④因为∠A＝∠B－∠C，∠A+∠B+∠C=180°所以∠B＝90°,三角形为等边三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个．
故选D
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．
解：如图，
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=60°．
∵AC⊥AB，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质。掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
考点： 三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： 先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
解答： 解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，
∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．
故选A．
点评： 本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【考点】直角三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
解：①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB．又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
④无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，
∴∠DFB=45°=∠CGE，
∴∠CGE=2∠DFB，
∴∠DFB=∠CGE，故正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
、填空题
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据“特征角”的定义，求出另一个角，再根据三角形内角和求出第三个角.
解：根据“特征三角形”的特征，另一个角是：110?÷2=55?，第三个角是：180?-55?-110?=15?.所以，最小的角是15?.
故答案为：15?.
【点睛】本题考核知识点：三角形内角和. 解题关键点：理解特征角的定义.
【考点】命题与定理
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题，
故答案为：真命题
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．
【考点】三角形内角和定理，方向角的概念
【分析】先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答．
解：∵C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，
∴∠CAB+∠ABC=180°﹣（60°+45°）=75°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°．
故答案为：105．
【点睛】此题主要考查了方向角的概念和三角形的内角和定理，根据题意得到∠CAB和∠ABC的度数是解题关键.
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质；三角形内角和定理求解
【解答】解：∵∠5=∠1+∠2=75°， a∥b,
∴∠3=∠6 ,
∴∠3+∠4=∠6+∠4=180°－75° =105°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】首先由反射角等于入射角，可得：∠1=∠3，∠2=∠4，然后由三角形内角和等于180°，即可求得答案．
解：由反射角等于入射角，可得：∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠AOB=110°，∠AOB+∠3+∠4=180°，
∴∠3+∠4=70°，
∴∠3=35°，
∴∠1=35°．
故答案为：35°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，以及物理中的反射角等于入射角的知识．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
【考点】 三角形内角和定理．
【分析】 根据三角形内角和定理易求∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，进而可求出∠CAF的度数，再根据三角形内角和定理可求出∠AFC的度数，由对顶角相等和垂直的性质即可求出∠D的度数．
解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAC=40°，
∴∠AFC=180°﹣70°﹣40°=70°，
∴∠EFD=70°，
∵DE⊥BC于E，
∴∠DEF=90°，
∴∠D=90°70°=20°，
故答案为20．
【点评】 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
、解答题
【考点】三角形内角和定理，垂线的定义
【分析】由可得， 由，根据等量代换可得，从而，接下来，依据垂线的定义可得到AB和CD的位置关系.
证明：在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要就是依据三角形的内角和定理和垂线的定义求解的. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.
【考点】直角三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义
【分析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．
解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
【考点】三角形的高、中线和角平分线，三角形内角和定理
【分析】 （1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=∠CAB=50°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°﹣∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE﹣∠CAD计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C﹣∠B的关系．
解：（1）∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE=∠CAB=50°，
∵AD分别是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°．
（2）∠DAE=（∠ACB﹣∠ABC），
理由：∵在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD=90°﹣∠C，∠CAE=（180°﹣∠B﹣∠C），
∴∠DAE=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．
【点评】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【考点】直角三角形的性质，平行线的性质
【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
（2）根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（3）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（4）分三种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，当BE∥AD时，分别求得∠ACE角度．
解：





；
猜想：
理由如下：
又

即；
(4)15°、30°、45°；
理由：当CB∥AD时,∠ACE=30°；
当EB∥AC时,∠ACE=45°；
当BE∥AD时,∠ACE=15°.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏.
【考点】角平分线的性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质
【分析】(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解.
解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣（∠B+∠C）
=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°﹣∠FEC，
则∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]
=（∠C﹣∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]
=（∠C﹣∠B）．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．