7.5 三角形内角和定理（2）课时作业（含解析）

7.5 三角形内角和定理（2）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
本节知识点：三角形的外角性质
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（　　）
A .110° B．80° C．70° D．60°
如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为（　　）
A． 40° B． 20° C． 18° D． 38°
将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）
A．75° B．90° C．105° D．115°
如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（　　）
A．135° B．125° C．115° D．105°
如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（　　）
A． B．
C． D．
如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为( )
A．26°40′ B．27°20′ C．27°40′ D．73°20′
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C=150°，则∠CDE的度数是　　．
如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为　 　度．
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________.
如图所示，两个直角三角形叠放在一起，∠B＝30°，∠E＝42°，则∠α＝________°.
从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC=　　　　　　度．
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE的度数等于__________．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．
如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB的度数.
如图所示，在△ABC中：
（1）画出BC边上的高AD和中线AE．
（2）若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数．
在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1，在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+
∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A
（1）探究2：如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究3：如图3，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）结论：　　　　　　．
（3）拓展：在四边形ABCD中，已知O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）结论：　　　　　　．
答案解析
、选择题
【考点】三角形的外角性质
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．故选C．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABC中已知∠B=36°，∠C=76°，就可知道∠BAC的度数，则∠BAE就可求出；∠DAE是直角三角形△ADE的一个内角，则∠DAE=90°﹣∠ADE．
解：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故填B．
【点评】根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析．
【考点】平行线的判定，三角形外角性质
【分析】依据AB∥EF，即可得∠BDE＝∠E＝45°，再根据∠A＝30°，可得∠B＝60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1＝∠BDE+∠B＝105°．
解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
解：如图：
∵AB∥CD，∠1=45°，
∴∠4=∠1=45°，
∵∠3=80°，
∴∠2=∠3﹣∠4=80°﹣45°=35°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据图象，利用排除法求解．
解：A．∠1与∠2是对顶角，相等，故本选项错误；
B、根据图象，∠1＜∠2，故本选项错误；
C、∠1是锐角，∠2是直角，∠1＜∠2，故本选项错误；
D、∠1是三角形的一个外角，所以∠1＞∠2，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查学生识图能力和三角形的外角性质．
【考点】平行线的性质；度分秒的换算；三角形的外角性质
【分析】由两直线平行内错角相等得到∠4=∠1，再利用三角形外角性质即可确定出所求角的度数．
解：∵l1∥l2，∠1=50°，
∴∠4=∠1=50°，
∵∠4=∠2+∠3，∠2=23°20′，
∴∠3=26°40′，
故选A
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，理解性质是关键．
、填空题
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】先根据平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠DBC的度数，再根据三角形外角性质，求得∠CDE的度数．
解：∵AB∥CD，∠C=150°，
∴∠ABC=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBC=15°，
∵∠CDE是△BCD的外角，
∴∠CDE=∠C+∠DBC=150°+15°=165°．
故答案为：165°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．
解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，
∴130°＝30°+∠3，
解得：∠3＝100°．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解题关键．
【考点】三角形的外角的性质
【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．
解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，又∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
答案为360°．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键．
【考点】直角三角形的性质，三角形外角的性质
【分析】由∠EFD=90°，∠E=42°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠EDF=48°，再根据三角形外角的性质可求得∠BAD=∠EDF-∠B=18°，由∠BAC=90°，根据∠α=∠BAC-∠BAD即可得.
解：∵∠EFD=90°，∠E=42°，
∴∠EDF=90°-∠E=48°，
∴∠BAD=∠EDF-∠B=48°-30°=18°，
∵∠BAC=90°，
∴∠α=∠BAC-∠BAD=72°，
故答案为：72.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.
【考点】方向角；三角形的外角性质．
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出行驶的过程，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和与外角的关系求解．
解：如图，A沿北偏东60°的方向行驶到B，则∠BAC=90°﹣60°=30°，
B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠BCO=90°﹣20°=70°，
又∵∠ABC=∠BCO﹣∠BAC，
∴∠ABC=70°﹣30°=40°．
故答案是：40．
【点评】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系求解．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AD是△ABC的角平分线，求出∠DAC的度数是多少；最后在Rt△ACE中，求出∠CAE的度数，即可求出∠DAE的度数．
解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=80°÷2=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°﹣∠C=20°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠CAE
=40°﹣20°
=20°，
即∠DAE的度数是20°．
故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形内角和是180°．
、解答题
【考点】 三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．
解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）
∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．
又∵AD平分∠BAC（己知），
∴∠BAD=21°，
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．
又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°，
∴∠DAE=90°﹣59°=31°．
【点评】 此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【考点】三角形外角的性质，三角形的内角和定理
【分析】已知BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，根据角平分线的性质可得∠ABO=∠CBO、∠BCD=∠ACD=30°，再由三角形的内角和定理求得∠ABC=40°即可得∠CBO =20°，根据三角形外角的性质即可求得∠DOB的度数.
解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCD=∠ACD=30°，
又∵∠A=80°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°，
∴∠CBO =∠ABC=×40°=20°，
∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，熟练运用性质和定理是解决问题的关键.
【考点】作图—复杂作图，直角三角形的性质，三角形内角和外角
【分析】（1）延长BC，作AD⊥BC于D；作BC的中点E，连接AE即可；
（2）可根据三角形的内角和定理求∠BAC=20°，由外角性质求∠CAD=40°，那可得∠BAD=60°．
解：（1）如图：
（2）∵∠B=30°，∠ACB=130°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣130°=20°，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，AD⊥BC，
∴∠CAD=130°﹣90°=40°，
∴∠BAD=20°+40°=60°．
【点评】此题是计算与作图相结合的探索．考查学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、三角形内角和外角等基础知识解决问题的能力．　
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．角平分线
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．
（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°．
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B）
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==90°﹣（∠C+∠B）
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）．
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=．
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2﹣∠1，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
（3）同（1）的求解思路；
解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A，
即∠BOC=∠A；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°﹣（180°+∠A），
=90°﹣∠A；
（3）∠OBC+∠OCB=（360°﹣∠A﹣∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）=（∠A+∠D）．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．