初中数学 沪科版 九年级上册第22章相似形 达标测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学 沪科版 九年级上册第22章相似形 达标测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 109.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 22:27:33 | ||
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文档简介
第二十二章达标测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如果＝，那么等于( )
A． B． C． D．
2．已知某地图的比例尺为1∶200 000，该地图上小明家到单位的距离为20
cm，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每
小时( )
A．40 000 m B．4 000 m C．10 000 m D．5 000 m
3．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则等于( )
A． B． C． D．
(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)
5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( )
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
6．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似
中心，若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′
的坐标为( )
A．(－x，－y) B．(－2x，－2y) C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)
7．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么
PB的长度为( )
A．(15－5) cm B．(15＋) cm C．(10－) cm D．(5＋) cm
8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装电梯，天花板与地面平行．张强扛
着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图
中数据回答，两层楼之间的高约为( )
A．11 m B．6.2 m C．5.5 m D．2.2 m
(第8题) (第9题) (第10题)
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F
在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F
到BC的距离为( )
A．1 B．2 C．12 －6 D．6－6
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点
P不与点B，C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C′
处，作∠BPC′的平分线交AB于点E.设BP＝x，BE＝y，那么y关于x的
函数图象大致为( )
A B C D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若△ABC∽△A′B′C′，且对应中线之比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面
积之比为________．
12．如果a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，那么b∶c等于________．
(第13题)
13．如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E分别为边AB、AC上的点，AC＝3AD，
AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得
△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角
形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那
么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．已知线段CD是△ABC
的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝
46°，则∠ACB的度数为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于
点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N.求证：＝.
（第15题）
16．如图，已知∠ADC＝∠BAC，BC＝16 cm，AC＝12 cm，求DC的长．
（第16题）
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，△ABC，△DEF均为等边三角形，D，E分别在AB，BC上，请
找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．
（（第17题）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，
2)，B(－3，4)，C(－2，6)．
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；
(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△AB1C1三条边放大为原来的2
倍后的△A2B2C2.
(3)△ABC与△A2B2C2的面积比为________．
（第18题）
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.
(1)求证：点E为线段AB的黄金分割点；
(2)若AB＝4，求BC的长．
( （第19题)
20．如图，某数学兴趣小组为了估计河的宽度，在河对岸选定一点P，在近岸取
点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS
垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b
的交点R.如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请计算河的宽度PQ.
(
第 （第20题)
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，点D，E是边AB上的点，CD平
分∠ECB，且BC2＝BD·BA．求证：
(1)△CED∽△ACD；(2)＝. (第21题)
七、(本题满分12分)
22．如图①，点O在△ABC内部，连接AO、BO、CO，点A′、B′、C′分别在AO、
BO、CO上，且AB∥A′B′、BC∥B′C′，连接A′C′.
(1)求证：△ABC∽△A′B′C′；
(2)将点O移至△ABC外，如图②，若其他条件不变，请补充图形．(1)中的结
论仍成立吗？如果成立，请换一种判定方法证明；如果不成立，请说明理由．
(第22题)
八、(本题满分14分)
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，AC为对角线，点P沿AB
边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点
A以1 cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，用t(s)表示移动的时间(0(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)求四边形QAPC的面积．
(3)直接写出当t为何值时，△PAQ与△ABC相似．
(第23题)
答案
一、1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B 7.A
8.C 点拨：如图，连接FC，作DE∥BC交FC于点E，
易得△ABC∽△CED，∴＝.设AB＝xm，则CE＝(x－2.2)m，而ED
＝10－4＝6(m)，∴＝，解得x＝5.5，故两层楼之间的高约为5.5 m.
9.D 点拨：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于
点H，易证△ADG∽△ABC，∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC，∴AN⊥DG.∵四
边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.由勾股定理可得AM＝12 .易知＝，即＝.
∴AN＝6 .∴MN＝AM－AN＝6 .∴FH＝MN－GF＝6 －6.
10.C 点拨：由翻折的性质，得∠CPD＝∠C′PD.∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE
＝∠C′PE，∴∠BPE＋∠CPD＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CPD＋∠PDC＝90°，
∴∠BPE＝∠PDC.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD，∴＝，
即＝，∴y＝x(5－x)＝－＋，故选C.
二、11.1∶4 12.3∶2
13.∠A＝∠BDF(答案不唯一) 点拨：∵＝＝，∠DAE＝∠CAB，∴
△ADE∽△ACB，故只需要补充条件使得△FDB与△ABC相似即可．
14.113°或92° 点拨：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°.∵∠ADC＞
∠BCD，∴∠ADC＞∠A，∴AC≠CD.①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC
＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°；②当DA＝DC时，∠
ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.故答案为113°或92°.
三、15.证明：∵直线DN∥AM，∴＝，＝.∵AM是BC边上的中线，
∴MB＝MC，∴＝.
16.解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC.∴＝.
∵BC＝16 cm，AC＝12 cm，∴DC＝＝9(cm)．
四、17.解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似，任选一个即可．如选△GAD
证明如下：∵△ABC与△EFD均为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∠FDE
＝60°.又∵∠BDG＝∠A＋∠AGD，即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°，∴∠
BDE＝∠AGD. ∴△DBE∽△GAD.
18．解：(1)如图，△AB1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)1∶4
(第18题)
五、19.(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝(180°－36°)＝72° .
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝×∠ACB＝×72°＝36°，∴∠A
＝∠ACE＝∠BCE，∴AE＝CE.易知∠BEC＝72°，∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝AE.∵∠B＝∠B，∠A＝∠BCE，∴△ABC∽△CBE，∴
＝，∴BC2＝AB·BE，即AE2＝AB·BE，∴点E为线段AB的黄金分
割点．
(2)解：由(1)知BC＝EC＝AE，点E为线段AB的黄金分割点，∴BC＝AE
＝·AB＝×4＝2 －2.
20．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，
则＝，即＝，解得PQ＝90 m.
六、21.证明：(1)∵BC2＝BD·BA，∴BD∶BC＝BC∶BA.∵∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC.∴∠BCD＝∠A.又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD＝∠
BCD.∴∠ECD＝∠A.又∵∠EDC＝∠CDA，∴△CED∽△ACD.
(2)由(1)知△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴＝，＝.∴
＝.
七、22.(1)证明：∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴△OA′B′∽△OAB，
△OB′C′∽△OBC，∠A′B′O＝∠ABO，∠C′B′O＝∠CBO，
∴＝＝，∠A′B′C′＝∠ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)解：如图，成立． （第22题）
证明：∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴＝＝，∵∠A′OC′＝∠AOC，
∴△OA′C′∽△OAC，∴∠OA′C′＝∠OAC.∴A′C′∥AC.易知∠ABC＝∠
A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.
八、23.解：(1)若△QAP为等腰直角三角形，则只需AQ＝AP.由题意可得AQ＝(6
－t) cm，AP＝2t cm，列方程得6－t＝2t，解得t＝2.即当t＝2时，△QAP
为等腰直角三角形．
(2)四边形QAPC的面积＝矩形ABCD的面积－△CDQ的面积－△PBC的
面积，即四边形QAPC的面积＝12×6－t·12－×6×(12－2t)＝72－36＝
36(cm2)．
(3)当t＝3或1.2时，△PAQ与△ABC相似．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如果＝，那么等于( )
A． B． C． D．
2．已知某地图的比例尺为1∶200 000，该地图上小明家到单位的距离为20
cm，小明骑自行车从单位到家用了4小时，他骑自行车的平均速度为每
小时( )
A．40 000 m B．4 000 m C．10 000 m D．5 000 m
3．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则等于( )
A． B． C． D．
(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)
5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( )
A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5
6．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似
中心，若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′
的坐标为( )
A．(－x，－y) B．(－2x，－2y) C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)
7．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么
PB的长度为( )
A．(15－5) cm B．(15＋) cm C．(10－) cm D．(5＋) cm
8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装电梯，天花板与地面平行．张强扛
着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图
中数据回答，两层楼之间的高约为( )
A．11 m B．6.2 m C．5.5 m D．2.2 m
(第8题) (第9题) (第10题)
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F
在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F
到BC的距离为( )
A．1 B．2 C．12 －6 D．6－6
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点
P不与点B，C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C′
处，作∠BPC′的平分线交AB于点E.设BP＝x，BE＝y，那么y关于x的
函数图象大致为( )
A B C D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若△ABC∽△A′B′C′，且对应中线之比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面
积之比为________．
12．如果a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，那么b∶c等于________．
(第13题)
13．如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E分别为边AB、AC上的点，AC＝3AD，
AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得
△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角
形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那
么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．已知线段CD是△ABC
的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝
46°，则∠ACB的度数为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于
点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N.求证：＝.
（第15题）
16．如图，已知∠ADC＝∠BAC，BC＝16 cm，AC＝12 cm，求DC的长．
（第16题）
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，△ABC，△DEF均为等边三角形，D，E分别在AB，BC上，请
找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．
（（第17题）
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，
2)，B(－3，4)，C(－2，6)．
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；
(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△AB1C1三条边放大为原来的2
倍后的△A2B2C2.
(3)△ABC与△A2B2C2的面积比为________．
（第18题）
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.
(1)求证：点E为线段AB的黄金分割点；
(2)若AB＝4，求BC的长．
( （第19题)
20．如图，某数学兴趣小组为了估计河的宽度，在河对岸选定一点P，在近岸取
点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS
垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b
的交点R.如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，请计算河的宽度PQ.
(
第 （第20题)
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，点D，E是边AB上的点，CD平
分∠ECB，且BC2＝BD·BA．求证：
(1)△CED∽△ACD；(2)＝. (第21题)
七、(本题满分12分)
22．如图①，点O在△ABC内部，连接AO、BO、CO，点A′、B′、C′分别在AO、
BO、CO上，且AB∥A′B′、BC∥B′C′，连接A′C′.
(1)求证：△ABC∽△A′B′C′；
(2)将点O移至△ABC外，如图②，若其他条件不变，请补充图形．(1)中的结
论仍成立吗？如果成立，请换一种判定方法证明；如果不成立，请说明理由．
(第22题)
八、(本题满分14分)
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，AC为对角线，点P沿AB
边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点
A以1 cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，用t(s)表示移动的时间(0
(2)求四边形QAPC的面积．
(3)直接写出当t为何值时，△PAQ与△ABC相似．
(第23题)
答案
一、1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B 7.A
8.C 点拨：如图，连接FC，作DE∥BC交FC于点E，
易得△ABC∽△CED，∴＝.设AB＝xm，则CE＝(x－2.2)m，而ED
＝10－4＝6(m)，∴＝，解得x＝5.5，故两层楼之间的高约为5.5 m.
9.D 点拨：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于
点H，易证△ADG∽△ABC，∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC，∴AN⊥DG.∵四
边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.由勾股定理可得AM＝12 .易知＝，即＝.
∴AN＝6 .∴MN＝AM－AN＝6 .∴FH＝MN－GF＝6 －6.
10.C 点拨：由翻折的性质，得∠CPD＝∠C′PD.∵PE平分∠BPC′，∴∠BPE
＝∠C′PE，∴∠BPE＋∠CPD＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CPD＋∠PDC＝90°，
∴∠BPE＝∠PDC.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD，∴＝，
即＝，∴y＝x(5－x)＝－＋，故选C.
二、11.1∶4 12.3∶2
13.∠A＝∠BDF(答案不唯一) 点拨：∵＝＝，∠DAE＝∠CAB，∴
△ADE∽△ACB，故只需要补充条件使得△FDB与△ABC相似即可．
14.113°或92° 点拨：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°.∵∠ADC＞
∠BCD，∴∠ADC＞∠A，∴AC≠CD.①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC
＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°；②当DA＝DC时，∠
ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.故答案为113°或92°.
三、15.证明：∵直线DN∥AM，∴＝，＝.∵AM是BC边上的中线，
∴MB＝MC，∴＝.
16.解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC.∴＝.
∵BC＝16 cm，AC＝12 cm，∴DC＝＝9(cm)．
四、17.解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似，任选一个即可．如选△GAD
证明如下：∵△ABC与△EFD均为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∠FDE
＝60°.又∵∠BDG＝∠A＋∠AGD，即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°，∴∠
BDE＝∠AGD. ∴△DBE∽△GAD.
18．解：(1)如图，△AB1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)1∶4
(第18题)
五、19.(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝(180°－36°)＝72° .
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝×∠ACB＝×72°＝36°，∴∠A
＝∠ACE＝∠BCE，∴AE＝CE.易知∠BEC＝72°，∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝AE.∵∠B＝∠B，∠A＝∠BCE，∴△ABC∽△CBE，∴
＝，∴BC2＝AB·BE，即AE2＝AB·BE，∴点E为线段AB的黄金分
割点．
(2)解：由(1)知BC＝EC＝AE，点E为线段AB的黄金分割点，∴BC＝AE
＝·AB＝×4＝2 －2.
20．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，
则＝，即＝，解得PQ＝90 m.
六、21.证明：(1)∵BC2＝BD·BA，∴BD∶BC＝BC∶BA.∵∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC.∴∠BCD＝∠A.又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD＝∠
BCD.∴∠ECD＝∠A.又∵∠EDC＝∠CDA，∴△CED∽△ACD.
(2)由(1)知△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴＝，＝.∴
＝.
七、22.(1)证明：∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴△OA′B′∽△OAB，
△OB′C′∽△OBC，∠A′B′O＝∠ABO，∠C′B′O＝∠CBO，
∴＝＝，∠A′B′C′＝∠ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)解：如图，成立． （第22题）
证明：∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，∴＝＝，∵∠A′OC′＝∠AOC，
∴△OA′C′∽△OAC，∴∠OA′C′＝∠OAC.∴A′C′∥AC.易知∠ABC＝∠
A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.
八、23.解：(1)若△QAP为等腰直角三角形，则只需AQ＝AP.由题意可得AQ＝(6
－t) cm，AP＝2t cm，列方程得6－t＝2t，解得t＝2.即当t＝2时，△QAP
为等腰直角三角形．
(2)四边形QAPC的面积＝矩形ABCD的面积－△CDQ的面积－△PBC的
面积，即四边形QAPC的面积＝12×6－t·12－×6×(12－2t)＝72－36＝
36(cm2)．
(3)当t＝3或1.2时，△PAQ与△ABC相似．