初中数学 沪科版 九年级上 第23章解直角三角形 达标测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学 沪科版 九年级上 第23章解直角三角形 达标测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 83.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 22:29:44 | ||
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文档简介
第二十三章达标测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格
点上，则tan A的值为( )
A． B． C． D．
(第1题) (第4题) (第5题) (第6题)
2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cos α等于( )
A． B． C． D．
3．当30°＜∠A＜90°时，sin A的值( )
A．大于 B．小于
C．小于 D．大于，小于1
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝，
BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6 m，∠ACB＝52°，则拉线
AC的长为( )
A． m B． m C．6 cos 52° m D． m
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的
正割，用“secA”表示，如设该直角三角形各边为a，b，c，则secA＝，则
下列说法正确的是( )
A．secB·sinA＝1 B．secB＝
C．secA·cosB＝1 D．sec2A·sec2B＝1
7．已知sinα＜cosα，那么锐角α的取值范围是( )
A．30°＜α＜45° B．0°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜90°
8．如图是某拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2 ，
则斜坡AB的长为( )
A．4 m B．6 m C．12 m D．24 m
9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的，若把甲
杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
(第8题) (第9题) (第10题)
10．小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的含30°角(∠BAC)的直
角三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使点C落在AB上的点D处，
这样就可以求出75°角的正切值是( )
A．2－ B．2＋ C．2.5 D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sinB＝________．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，如果sinA∶
sinB＝2∶3，那么a∶b＝________．
13．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α
＋β)________tanα＋tanβ.(填“＞”“＝”或“＜”)
(第13题) (第14题)
14．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan
∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝________，…，按此规律，
写出tan∠BAnC＝________．(用含n的代数式表示)
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
(1)6sin2 30°＋sin 45°tan 30°；
(2)＋sin2 45°.
16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tanB的值．
(第16题)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知α为锐角，且sin2α－sin α＋1＝0，求sin α的值．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC＝，AD＝24，求BC的长．
(第18题)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．一种拉杆式旅行箱的示意图如图，箱体长AB＝50 cm，拉杆最大伸长距
离BC＝30 cm，点A到地面的距离AD＝8 cm，旅行箱与水平面AE成
60°角，求拉杆把手处C到地面的距离．(结果保留根号形式)
(第19题)
20．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2 m，
CD＝5.4 m，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米．(结
果精确到0.1 m，≈1.73)
(第20题)
六、(本题满分12分)
21．某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌AB，
放置在教学楼的顶部(如图)．小明在操场上的点D处，用1 m高的测角
仪从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼方向走了4 m
到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高
BM＝17 m，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(精确
到0.1 m，参考数据：≈1.73，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
(第21题)
七、(本题满分12分)
22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三
角形．
小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图①，则tan∠BAP
的值为________；
请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan∠BAP的值．
（第22题）
八、(本题满分14分)
23．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故
障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A
的北偏东60°方向上，在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得
船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD；(如果运算结果有根号，请保留根号)
已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC航行，在去营救船C的途中有无触暗礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)
（第23题）
答案
一、1.D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B
二、11. 12.2∶3
13．＞ 点拨：如图，易知△ABC是等腰直角三角形，∴tan(α＋β)＝tan45°
＝1，tanα＋tanβ＝＋＝＜1，∴tan(α＋β)＞tanα
＋tanβ. (第13题)
14.； 点拨：作CH⊥BA4于H，由勾股定理，
得A4B＝＝，A4C＝＝.由S△BA4C＝A4B·CH＝
×CH＝×1×1，得CH＝.∴A4H＝＝
＝，∴tan∠BA4C＝＝.
∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，…，∴tan∠BAnC＝.
三、15.解：(1)原式＝6×＋×＝＋＝.
(2)原式＝＋＝1＋＝.
16．解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，则S△ABC＝BC·AD
＝×6×AD＝12，解得AD＝4.在Rt△ABD中，BD＝＝
＝4 ，∴tanB＝＝＝. (第16题)
四、17.解：由题意，得sin α＝2或sin α＝.
∵α为锐角，∴0＜sin α＜1.∴sin α＝.
18．(1)证明： 在Rt△ABD和Rt△ADC中，tanB＝，cos∠DAC＝.
∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.
(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝，则AC＝＝＝26.
∴CD＝＝＝10.
∴BC＝BD＋CD＝AC＋CD＝26＋10＝36.
五、19.解：如图，作CG⊥AE于点G. 在Rt△ACG中，
AC＝AB＋BC＝50＋30＝80(cm)，sin∠CAG＝，
∴CG＝AC·sin∠CAG＝80×＝40 (cm)，
则拉杆把手处C到地面的距离是(40 ＋8)cm. (第19题)
20．解：在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝＝，解得DF＝2.7 m.
∵∠CDF＋∠DCF＝90°，∠ADE＋∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF＝30°.∴cos∠ADE＝＝＝，解得DE＝ m.
∴EF＝DE＋DF≈2.7＋1.73≈4.4(m)，
即该车位所占的宽度EF约为4.4m.
六、21.解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上．
设AB＝x m，则AN＝x＋(17－1)＝x＋16(m)．
在Rt△AEN中，∠AEN＝45°，∴EN＝AN＝(x＋16)m.
在Rt△BCN中，∠BCN＝37°，BN＝17－1＝16(m)，
∴tan ∠BCN＝≈0.75，即≈0.75，
得x≈≈1.3.经检验，x≈1.3是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3 m.
七、22.解：(1)1
(2)(画法一)如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.
∵AP＝AD＝6，AB＝3，∴在Rt△ABP中，BP＝＝3 .
∴tan∠BAP＝＝.
(第22题)
(画法二)如图②所示．∵四边形ABCD是
矩形，∴∠B＝∠C＝90°.
∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，
∴在Rt△CPD中，CP＝＝3 .
∴BP＝BC－CP＝6－3 .∴tan∠BAP＝＝2－.
八、23.解：(1)如图，过点 C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
由题意知∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里．
在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝x海里，
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x海里，
则AB＝x＋x＝100(＋1)海里，解得x＝100，则AC＝2x＝200海里.
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.
设AF＝y海里，则CF＝DF＝AF·tan60°＝y海里，
则AC＝y＋y＝200海里，解得y＝100(－1)，
则AD＝2y＝200(－1) 海里.
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D
之间的距离AD为200(－1)海里． (第23题)
(2)由(1)可知，DF＝AF＝×100(－1)≈127(海里)，因为127＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航行，在去营救船C的途中没有触暗礁的危险.
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格
点上，则tan A的值为( )
A． B． C． D．
(第1题) (第4题) (第5题) (第6题)
2．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cos α等于( )
A． B． C． D．
3．当30°＜∠A＜90°时，sin A的值( )
A．大于 B．小于
C．小于 D．大于，小于1
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝，
BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6 m，∠ACB＝52°，则拉线
AC的长为( )
A． m B． m C．6 cos 52° m D． m
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的
正割，用“secA”表示，如设该直角三角形各边为a，b，c，则secA＝，则
下列说法正确的是( )
A．secB·sinA＝1 B．secB＝
C．secA·cosB＝1 D．sec2A·sec2B＝1
7．已知sinα＜cosα，那么锐角α的取值范围是( )
A．30°＜α＜45° B．0°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜90°
8．如图是某拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2 ，
则斜坡AB的长为( )
A．4 m B．6 m C．12 m D．24 m
9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的，若把甲
杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
(第8题) (第9题) (第10题)
10．小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的含30°角(∠BAC)的直
角三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使点C落在AB上的点D处，
这样就可以求出75°角的正切值是( )
A．2－ B．2＋ C．2.5 D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sinB＝________．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B的对边，如果sinA∶
sinB＝2∶3，那么a∶b＝________．
13．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α
＋β)________tanα＋tanβ.(填“＞”“＝”或“＜”)
(第13题) (第14题)
14．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan
∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝________，…，按此规律，
写出tan∠BAnC＝________．(用含n的代数式表示)
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
(1)6sin2 30°＋sin 45°tan 30°；
(2)＋sin2 45°.
16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tanB的值．
(第16题)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知α为锐角，且sin2α－sin α＋1＝0，求sin α的值．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC＝，AD＝24，求BC的长．
(第18题)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．一种拉杆式旅行箱的示意图如图，箱体长AB＝50 cm，拉杆最大伸长距
离BC＝30 cm，点A到地面的距离AD＝8 cm，旅行箱与水平面AE成
60°角，求拉杆把手处C到地面的距离．(结果保留根号形式)
(第19题)
20．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2 m，
CD＝5.4 m，∠DCF＝30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米．(结
果精确到0.1 m，≈1.73)
(第20题)
六、(本题满分12分)
21．某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌AB，
放置在教学楼的顶部(如图)．小明在操场上的点D处，用1 m高的测角
仪从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼方向走了4 m
到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高
BM＝17 m，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(精确
到0.1 m，参考数据：≈1.73，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
(第21题)
七、(本题满分12分)
22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三
角形．
小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA＝PD，如图①，则tan∠BAP
的值为________；
请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan∠BAP的值．
（第22题）
八、(本题满分14分)
23．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故
障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A
的北偏东60°方向上，在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得
船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD；(如果运算结果有根号，请保留根号)
已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC航行，在去营救船C的途中有无触暗礁的危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)
（第23题）
答案
一、1.D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B
二、11. 12.2∶3
13．＞ 点拨：如图，易知△ABC是等腰直角三角形，∴tan(α＋β)＝tan45°
＝1，tanα＋tanβ＝＋＝＜1，∴tan(α＋β)＞tanα
＋tanβ. (第13题)
14.； 点拨：作CH⊥BA4于H，由勾股定理，
得A4B＝＝，A4C＝＝.由S△BA4C＝A4B·CH＝
×CH＝×1×1，得CH＝.∴A4H＝＝
＝，∴tan∠BA4C＝＝.
∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，…，∴tan∠BAnC＝.
三、15.解：(1)原式＝6×＋×＝＋＝.
(2)原式＝＋＝1＋＝.
16．解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于D，则S△ABC＝BC·AD
＝×6×AD＝12，解得AD＝4.在Rt△ABD中，BD＝＝
＝4 ，∴tanB＝＝＝. (第16题)
四、17.解：由题意，得sin α＝2或sin α＝.
∵α为锐角，∴0＜sin α＜1.∴sin α＝.
18．(1)证明： 在Rt△ABD和Rt△ADC中，tanB＝，cos∠DAC＝.
∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD.
(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝，则AC＝＝＝26.
∴CD＝＝＝10.
∴BC＝BD＋CD＝AC＋CD＝26＋10＝36.
五、19.解：如图，作CG⊥AE于点G. 在Rt△ACG中，
AC＝AB＋BC＝50＋30＝80(cm)，sin∠CAG＝，
∴CG＝AC·sin∠CAG＝80×＝40 (cm)，
则拉杆把手处C到地面的距离是(40 ＋8)cm. (第19题)
20．解：在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝＝，解得DF＝2.7 m.
∵∠CDF＋∠DCF＝90°，∠ADE＋∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF＝30°.∴cos∠ADE＝＝＝，解得DE＝ m.
∴EF＝DE＋DF≈2.7＋1.73≈4.4(m)，
即该车位所占的宽度EF约为4.4m.
六、21.解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上．
设AB＝x m，则AN＝x＋(17－1)＝x＋16(m)．
在Rt△AEN中，∠AEN＝45°，∴EN＝AN＝(x＋16)m.
在Rt△BCN中，∠BCN＝37°，BN＝17－1＝16(m)，
∴tan ∠BCN＝≈0.75，即≈0.75，
得x≈≈1.3.经检验，x≈1.3是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.3 m.
七、22.解：(1)1
(2)(画法一)如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.
∵AP＝AD＝6，AB＝3，∴在Rt△ABP中，BP＝＝3 .
∴tan∠BAP＝＝.
(第22题)
(画法二)如图②所示．∵四边形ABCD是
矩形，∴∠B＝∠C＝90°.
∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，
∴在Rt△CPD中，CP＝＝3 .
∴BP＝BC－CP＝6－3 .∴tan∠BAP＝＝2－.
八、23.解：(1)如图，过点 C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
由题意知∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里．
在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝x海里，
在Rt△BCE中，BE＝CE＝x海里，
则AB＝x＋x＝100(＋1)海里，解得x＝100，则AC＝2x＝200海里.
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.
设AF＝y海里，则CF＝DF＝AF·tan60°＝y海里，
则AC＝y＋y＝200海里，解得y＝100(－1)，
则AD＝2y＝200(－1) 海里.
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D
之间的距离AD为200(－1)海里． (第23题)
(2)由(1)可知，DF＝AF＝×100(－1)≈127(海里)，因为127＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航行，在去营救船C的途中没有触暗礁的危险.