沪科版九年级第一学期数学期末测试卷（含答案）

第一学期期末测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．已知a，d，c，b是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则d的长度为(　　)
A．4 cm B．1 cm C．9 cm D．5cm
2．把抛物线y＝x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后所得抛物线的表达式为(　　)
A．y＝(x－1)2－3 B．y＝(x＋1)2－3
C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x＋1)2＋3
3．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于(　　)
A. B. C. D.
4．如图，点D在△ABC的边AC上，若CD＝2，AC＝6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为(　　)
A．3 B．2  C．6 D．12
5．已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是(　　)
A．－10.5 B．2 C．－2.5 D．－6
6．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象为(　　)
7．如图，直线y＝－x＋2分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点．若AB＝2EF，则k的值是(　　)
A．－1 B．1 C. D.
8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝－1，sinB＝，则菱形的周长是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．4
9．如图，已知边长为4的正方形EFCD截去一角成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.在AB上找一点P，使得矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM面积的最大值是(　　)
A．8 B．12 C. D．14
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2 x的顶点为A，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋AP的最小值为(　　)
A. B. C．3 D．2 
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________．
12．如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，且＝，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
13．如图，点A，C是反比例函数图象上的点，AB，CD分别垂直于y轴、x轴，垂足分别为B，D，若阴影部分面积为8，则该反比例函数的表达式为________．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(8，0)，C(8，4)，连接AC，BC得到四边形AOBC，点D在边AC上，连接OD，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为点P，若点P到四边形AOBC较长两对边的距离之比为1∶3，则点P的坐标为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．已知二次函数图象的顶点是(2，－1)，且经过点(0，1)，求这个二次函数的表达式．
16．如图，在△ABC中，AB＝4 ，AC＝10，∠B＝60°，求△ABC的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为t(单位：小时)．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
18.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BC，AC上，且DC＝DE.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若AB＝5，AE＝1，DE＝3，求BC的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20 km，BC段与AB，CD段都垂直，长为10 km，CD段长为30 km，求两高速公路间的距离．(结果保留根号)
20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 M，并写出点M的坐标．
六、(本题满分12分)
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝.
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOC的面积；
(3)直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时自变量x
的取值范围．
七、(本题满分12分)
22．如图，正方形ABCD的边长为6，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MC，NC，MN.
(1)求证：BM·DN＝36； (2)求∠MCN的度数．
八、(本题满分14分)
23．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天
1≤x＜50
50≤x≤90
售价(元/件)
x＋40
90
每天销量(件)
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天当天销售利润不低于4 800元？ 答案
一、1.B　2.C　3.A　4.B　5.C　6.C　7.D　8.D
9.B　点拨：延长NP交EF于点G，设PG＝x，则PN＝4－x.
∵PG∥BF，∴△APG∽△ABF，∴＝，即＝，
解得AG＝2x，∴MP＝EG＝EA＋AG＝2＋2x，
∴S矩形PNDM＝PM·PN＝(2＋2x)(4－x)＝－2x2＋6x＋8＝－2＋(0≤x≤1)，当x＝1时，函数有最大值12，
即矩形PNDM面积的最大值是12.
10.C　点拨：连接AB，过点P作PC⊥AB于点C.设抛物线的对称轴与x轴的交点为点D.易求出抛物线的对称轴为直线x＝，顶点A(，3)，故BD＝OD＝，AD＝3，在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴∠BAD＝30°，∴PC＝AP.
当O，P，C三点共线时，OP＋PC的长最短，最短距离为sin∠OBC·OB＝sin60°×2 ＝3，∴OP＋AP的最小值为3.
二、11.
12．∠BFD＝∠A (答案不唯一)
13．y＝－
14．(，3)或(，1)或(2，－2)　点拨：由题意可知四边形AOBC为矩形．过点P作直线MN⊥OB于点M，交AC于点N，则MN⊥AC.当点P在矩形内部且PN∶PM＝1∶3时，有PM＝OA＝3，则OM＝＝＝，故此时点P的坐标为(，3)；当点P在矩形内部且PM∶PN＝1∶3时，有PM＝OA＝1，则OM＝＝＝，故此时点P的坐标为(，1)；当点P位于矩形外部时，点P在第四象限，有＝＝＝，解得PM＝2，故OM＝＝＝2 ，故此时点P的坐标为(2 ，－2)．综上所述，点P的坐标为(，3)或(，1)或(2 ，－2)．
三、15.解：由题意，设这个二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－1.把点(0，1)的坐标代入，得1＝4a－1，解得a＝.∴这个二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，即y＝x2－2x＋1.
16．解：过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝4 ×＝6，BD＝AB·cos B＝4 ×＝2 .在Rt△ACD中，CD＝＝＝8，
∴BC＝BD＋CD＝2 ＋8.∴S△ABC＝BC·AD＝×(2 ＋8)×6＝6 ＋24.
四、17.解：(1)由题意可得100＝vt，则v＝.
(2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，则v≥＝20.
答：平均每小时至少要卸货20吨．
18．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DC＝DE，∴∠DEC＝∠C.
∴∠B＝∠DEC.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DEC.
(2)解：∵AB＝AC＝5，AE＝1，∴CE＝AC－AE＝4，
∵△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，解得BC＝.
五、19.解：过点A作AE⊥DC，交DC延长线于点E，过点E作l1的垂线与l1，l2分别交于点H，F，则HF⊥l2.由题意易得四边形ABCE为矩形，则AE＝BC，AB＝CE.∴DE＝CD＋CE＝30＋20＝50(km)．由AB与l1成30°角，易得∠EDF＝30°，∠EAH＝60°，∴在Rt△DEF中，EF＝DE·sin30°＝25 km，
在Rt△EAH中，EH＝AE·sin60°＝5  km，
∴HF＝(25＋5 )km，即两高速公路间的距离为(25＋5 )km.
20．解：(1)如图，△OA1B1即为所求，点A1，B1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)．
(2)如图，△O2A2B2即为所求，点A2，B2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)．
(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，位似中心M的位置如图，点M的坐标为(－4，2)．
六、21.解：(1)过点A作AD⊥x轴于点D.
在Rt△OAD中，sin∠AOD＝＝，
∴AD＝OA＝4，∴OD＝＝3，∴A(－3，4)．
把 (－3，4)代入y＝，得m＝－3×4＝－12，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
把 (6，n)代入y＝－，得6n＝－12，解得n＝－2.
把(－3，4)，(6，－2)分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.
(2)在 y＝－x＋2中，令y＝0，得－x＋2＝0，
解得x＝3，则C(3，0)，∴S△AOC＝×4×3＝6.
(3)当x＜－3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
七、22.(1)证明：∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CDN＝∠CBM＝45°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝∠BAD＝90°，∴∠ADN＝∠ABM＝135°.
又∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∵∠BAM＋∠BMA＝45°，∴∠DAN＝∠BMA，
∴△ADN∽△MBA，∴＝，
∴BM·DN＝BA·DA＝36.
(2)解：∵BM·DN＝BA·DA，∴BM·DN＝BC·DC，
∴＝，∵∠CBM＝∠CDN，
∴△CBM∽△NDC，∴∠BMC＝∠DCN.
∵∠BCM＋∠BMC＝135°，∴∠BCM＋∠DCN＝135°，
∴∠MCN＝360°－∠BCD－∠BCM－∠DCN＝135°.
八、23.解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2 000；
当50≤x≤90时，y＝(200－2x)×(90－30)＝－120x＋12 000，
综上所述，y＝
(2)当1≤x＜50时，二次函数图象开口向下，二次函数图象的对称轴为直线x＝45，故当x＝45时，
y最大＝－2×452＋180×45＋2 000＝6 050；
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
故当x＝50时，y最大＝6 000，
综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6 050元．
(3)当1≤x＜50时，令y＝4 800，得－2x2＋180x＋2 000＝4 800，解得x1＝20，x2＝70(舍去)，结合函数图象，易知当20≤x＜50时，y≥4 800，因此当天销售利润不低于4 800元的是第20天到第49天，共30天；
当50≤x≤90时，y＝－120x＋12 000≥4 800，解得x≤60，
因此当天销售利润不低于4 800元的是第50天到第60天，共11天，所以该商品在销售过程中，共有41天当天销售利润不低于4 800元．