3.1.1 倾斜角与斜率
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）理解直线倾斜角的唯一性.
（3）理解直线斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
（二）教学重点与难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
（三）教学方法
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入
我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？
直线的倾斜角的概念.
学生回答（不能确定）
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.
设疑激趣导入课题
概念形成
1．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.
教师提问：
倾斜角的取值范围是什么？
当直线l与x轴重合时
（由学生结合图形回答）
概念深化
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.
教师提问：
如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？
学生回答后作出结论.
一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.
通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素
概念形成
2．直线的斜率
一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时
k = tan45°= 1
= 135°时 k = tan135°= –1
教师提问：（由学生讨论后回答）
（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？
k = tan0°= 0
（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？
= 90°，k不存在
设疑激发学生思考得出结论
概念形成
3．直线的斜率公式
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；
（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合.
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
教师提出问题：
给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？
可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.
借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.
应用举例
例1 已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）
分析：已知两点坐标，而且x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值；
而当时，倾斜角是钝角；
而当时，倾斜角是锐角；
而当时，倾斜角是0°.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.
分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.
学生分析求解 ，教师板书
例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.
直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角.
例2 略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1 = (y – 0)/(x – 0)
所以 x = y
可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.
同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）
课堂练习：P91 1题、2题、3题、4题.
通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义
归纳总结
（1）直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）直线的斜率公式.
师生共同总结——交流——完善
引导学生学会自己总结
课后作业
布置作业
见习案3.1第一课时
由学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)；
（3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2)
【解析】（1），所以倾斜角是锐角；
（2），所以倾斜角是钝角；
（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°
（4），所以倾斜角为0°
例2 已知点P点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 .
【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为(0，6)
直线PQ的斜率k = tan120°=
∴ ∴b = –2，即Q点坐标为
3. 1.1?直线的倾斜角与斜率
【学习目标?】
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；?
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；?
3．能用公式和概念解决问题.?
【教学重难点】
重点：倾斜角与斜率的概念
难点：直线的斜率与倾斜角的关系
【教学过程】
一、课前准备
（预习教材?~?，找出疑惑之处）
复习?1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不 能确定一条直线呢??
复习?2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,?有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢??
二、新课导学
探究点一：①倾斜角的概念
当直线??与轴相交时，取轴作为基准，?轴正向与直线??向上方向之间所成的角 叫做直 线??的倾斜角（angle?of? ? inclination）.?
发现：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.?
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为?0?度..?
思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度” ，则坡度的公式是怎样的？
②斜率与倾斜角的关系
一条直线的倾斜角? ( ) 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为k=? tan? .?
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
（1）=0°时，则
（2）0°<< 90°,则
（3）= 90°，,则
（4）90?°<< 180°，则
③ 已知直线上两点(,()的直线的斜率公式：
?.
探究任务二：?
1.已知直线上两点?运用上述公式计算直线的斜率时，与?A B?两点坐标的顺序有关吗？?
2．当直线平行于?轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
三、典型例题分析
例1? 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
? ；
?；
?
?
解（略）
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.?
（1）=0； （2） = 1 ；（3）? = ； （4）不存在.?
解（略）
例2? 求经过两点? (2,3), (4,7)? A B? 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解（略）
变式.?1 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.?
（1）? A(2,3),B ( 1,4)? ； （2）?A (5,0), B(4, 2)? .
解（略）?
? 2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.?
3．判断? A( -2,12),B (1,3), C(4, -6)? 三点的位置关系，并说明理由.?
解略
四、总结提升
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角 的范围是[0,180°).?
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；
⑵ 利用直线上两点(,的坐标来求；
（3）当直线的倾斜角? = 90°时，直线的斜率是不存在的.
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的斜率公式
定义
=tan a
?.
取值范围
[0,180°)?
()
五、当堂检测
1.? 下列叙述中不正确的是（ ）.?
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应?
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角?
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0?°或90°
D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana?
2.? 经过A? ( 2,0), B( 5,3)?两点的直线的倾斜角 （ ）.?
A．45° B．135° C．90 °D．60 °
3.? 过点?P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于?1，则?m?的值为(? ? ? ? ).?
A.1? ? ? ? ? ? ? ? B.4? ? ? ? ? ? ? ? C.1?或?3? ? ? ? ? D.1?或?4?
4.直线经过二、三、四象限，的倾斜角为 ，斜率为?，则为 角；的取值范围? .?
5、已知直线??的倾斜角为?，则??关于??轴对称 的直线的倾斜角 为________.?
【板书设计】
一、直线的倾斜角
二、直线的斜率
三、直线的倾斜角与斜率的关系
四、求直线的斜率
【作业布置】
课后巩固练习与提高
3.1.1?直线的倾斜角与斜率
课前预习学案
一、预习目标
（1）知道确定直线的要素
（2）知道直线倾斜角的定义
（3）知道直线的倾斜角与斜率的关系
二、预习内容
在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？要想确定一条直线，的给出什么条件呢？
通过咱们的预习，什么是直线的倾斜角？倾斜角的范围是什么？
什么是直线的斜率？它与直线的倾斜角的关系是什么？
如果知道了直线上的两个点，直线已经确定了，那么如何求直线的斜率？
5、练习：
①倾斜角为，求斜率 ②倾斜角为，求斜率
③直线过点（18， 8）（4， -4）求斜率④直线过点（0， 0）（-1， ）求斜率
课内探究学案
一．学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；?
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；?
3．能用公式和概念解决问题.?
学习重点：倾斜角与斜率的概念
学习难点：直线的斜率与倾斜角的关系
二、学习过程
1、探究一：直线的倾斜角的定义及范围
（1）倾斜角的定义：
（2）倾斜角的范围：
（3）倾斜角与斜率的关系
例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
(1)? ；(2)?；(3)?; (4)
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.?
（1）=0； （2）= 1 ；? （3）= ； ⑷不存在.?
2、探究二：由直线上的两点求直线的斜率（阅读课本的推导过程）
思考：（1）已知直线上两点?运用上述公式计算直线的斜率时，与?A B?两点坐标的顺序有关吗？?
（2）当直线平行于?轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么?
例2：求经过两点? (2,3), (4,7)? A B? 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
变式：
1、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.?
（1）? A(2,3),B ( 1,4)? ； （2）?A (5,0), B(4, 2)? .?
? 2．画出斜率为0,1, -1 且经过点(1,0)的直线.?
3．判断? A( -2,12),B (1,3), C(4, -6)? 三点的位置关 系，并说明理由.?
3、当堂检测
（1）? 下列叙述中不正确的是（ ）.?
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应?
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角?
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0?°或90°
D．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为tana?
（2）? 经过A? ( 2,0), B( 5,3)?两点的直线的倾斜角 （ ）.?
A．45° B．135° C．90 °D．60 °
（3）? 过点?P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于?1，则?m?的值为(? ? ? ? ).?
A.1? ? ? ? ? ? ? ? B.4? ? ? ? ? ? ? ? C.1?或?3? ? ? ? ? D.1?或?4?
（4）? 直线经过二、三、四象限，???的倾斜角为 ，斜 率为?，则 为 角；?的取值范围? .?
（5） 已知直线??的倾斜角为?，则??关于??轴对称 的直线??的倾斜角 为________.?
课后巩固提升学案
1.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（ ）
A. B.0 C. D.
2.过点（0，）与点（7，0）的直线，过点（2，1）与点（3，）的直线，与两坐标轴围成四边形内接于一个圆，则实数k为（ ）
A. B.3 C. D.6
3.经过两点A（2,1），B（1,）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.或
4.若三点A（2 , 2）,B（）,C（0，）（）共线，则的值等于________。
5.已知直线l的斜角，则直线l的斜率的取值范围是_________。
6.? 已知点?A (2,3),B ( 3, 2)? ，若直线??过点?p (1,1)? 且与线段AB?相交，求直线??的斜率?的取值范围.?
7.? 已知直线?过??两点，求此直线的斜率和倾斜角.
课后提升作业 十七
倾斜角与斜率
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·烟台高一检测)若直线l经过原点和点(-1，1)，则直线l的倾斜角为
( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
【解析】选B.由题可知，k=-1，所以tanα=-1，解得α=-135°.所以选B.
2.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 ( )
A.-2 B.0 C. D.2
【解析】选B.由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan60°+tan120°=+(-)=0.
3.(2018·大连高一检测)如图，若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A.k1C.k3【解析】选B.由图象，l3的倾斜角为钝角，所以斜率为负，l1和l2的倾斜角为锐角，斜率为正，而锐角大的斜率大，故k34.(2018·成都高一检测)三点A(m，2)，B(5，1)，C(-4，2m)在同一条直线上，则m的值为 ( )
A.2 B.
C.2或 D.不确定
【解析】选C.因为kAB=，kBC=，
且A，B，C三点共线，
所以kAB=kBC，即=，解得m=2或.
【补偿训练】若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)，(a，b≠0)共线，则log3+=________.
【解析】由于A，B，C三点共线，则kAB=kAC.
所以=，即ab=3a+3b，
故+=，所以log3+=-1.
答案：-1
5.经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是 ( )
A.m<1 B.m>-1
C.-11或m<-1
【解析】选A.kAB==1-m，
因为直线AB的倾斜角为锐角，
所以kAB>0，即1-m>0，所以m<1.
6.若直线l经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角的范围是 ( )
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°≤α<180°
【解析】选C.因为直线l经过第二、三、四象限，所以斜率k<0，所以倾斜角为钝角，故选C.
【补偿训练】直线l经过第一、三、四象限，其倾斜角为α，斜率为k，则 ( )
A.ksinα>0 B.ksinα≥0
C.kcosα<0 D.kcosα≤0
【解析】选A.因为直线l经过第一、三、四象限，所以倾斜角α为锐角，所以sinα>0，k=tanα>0，
所以ksinα>0.
7.过两点A(4，y)，B(2，-3)的直线的倾斜角是135°，则y等于 ( )
A.1 B.5 C.-1 D.-5
【解析】选D.由斜率公式可得：=tan135°，
所以=-1，所以y=-5，故选D.
8.(2018·广州高一检测)已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 ( )
A.k≤或k≥5 B.≤k≤5
C.k≤或k≥5 D.≤k≤5
【解题指南】利用斜率公式求出直线PA，PB的斜率，根据l与线段AB有公共点，求出l的斜率k的取值范围.
【解析】选B.如图所示：
因为点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，
所以kPA==5，kPB==，由图可知
kPB≤k≤kPA，所以≤k≤5.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·北京高一检测)已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为________.
【解析】设Q(x，0)，k==tan150°=-tan30°=-，解得x=3+2，所以Q(3+2，0).
答案：(3+2，0)
10.已知直线PQ的斜率为-，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________.
【解析】由kPQ=-得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，
所以所得直线的斜率k=tan60°=.
答案：
【延伸探究】本题中“将直线绕点P顺时针旋转60°”换为“将直线绕点P逆时针旋转60°”其结论又如何呢？ 【解析】由kPQ=-得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P逆时针旋转60°，所得直线的倾斜角为0°，故所得直线的斜率k=tan0°=0.
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
【解题指南】利用菱形的基本性质：对边平行且相等，对角线平分每一组内对角，两条对角线互相垂直，先求倾斜角，再求斜率.
【解析】因为OD∥BC，∠BOD=60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan60°=；.Com]
DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；由菱形的性质知，∠COB=30°，∠OBD=60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC=tan30°=，直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°，斜率kBD=tan120°=-.
12.已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(-1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.
【解析】由题意可知kAB==2，
kAC==，
kAD==，
所以k=2==，
解得a=4，b=-3，
所以直线的斜率k=2，a=4，b=-3.
【能力挑战题】
已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2，+1)，
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
【解析】(1)由斜率公式得
kAB==0，
kAC==.
(2)如图所示.
kBC==.
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
课件31张PPT。
第 三 章 直线与方程新知自解相交x轴x轴正方向向上平行或重合[0°，180°)正切值kk＝tan α0°＜α＜90°90°＜α＜180°0不存在答案： B答案： B答案： (1，－5)课堂探究答案： (1)－5 (2)1 (3)0答案： B
谢谢观看！课件27张PPT。3.1.1 倾斜角与斜率第三章 § 3.1 直线的倾斜角与斜率1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 直线的倾斜角思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直1线呢？答案 不能.答案思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线
如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案 不同.1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为 .
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个 以及它的 .答案正向0°≤α<180°定点倾斜角知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“ ” 表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案前进量升高量?思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，
图(2)中，坡度＝tan β.答案答案1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
2.斜率与倾斜角的对应关系正切值tan α知识点三 过两点的直线的斜率公式?返回?答案题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线的倾斜角例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A.α＋40°
B.α－140°
C.140°－α
D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°解析答案反思与感悟解析 根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.答案 D反思与感悟反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.解析答案跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.60°或120°类型二 直线的斜率例2 直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解析答案反思与感悟?反思与感悟应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解.跟踪训练2 (1)若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝___.解析答案?2(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_________ (其中m≥1).解析答案?0°<α≤90°解析答案类型三 斜率与倾斜角的综合应用?解析答案(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围.
解 如图所示：
当点D由B运动到C时，
直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是 . 反思与感悟反思与感悟(1)用斜率公式可解决三点共线问题(2)斜率与倾斜角的关系如图：跟踪训练3 (1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.解析答案?(2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线l的斜率k的取值范围.返回解析答案解 如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线.
当l在PN位置转到l′位置时，
当l在l′位置转到PM位置时，
倾斜角大于90°，k≤kPM＝－4.123达标检测 4解析答案1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4解析 ①②③正确.C1234解析答案2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必( )
A.在同一条直线上 B.是直角三角形的顶点
C.是等腰三角形的顶点 D.是等边三角形的顶点解析 ∴A，B，C三点共线.A1234解析答案3.已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则m的值为____.解析 由题意知，kAC＝3kBC，41234解析答案4.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1)，(2,4)；解 所以倾斜角是锐角；所以倾斜角是钝角；(2)(－3,5)，(0,2)；解 1234解析答案(3)(2,3)，(2,5)；(4)(3，－2)，(6，－2).解 由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；所以倾斜角为0°.解规律与方法直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：返回第三章 直线与方程
§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一、基础过关
1．下列说法中：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为 ( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 ( )
A．－2 B．0 C. D．2
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．
6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．
7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的
坐标．
二、能力提升
9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 ( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
10. 若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则 ( )
A．k1C．k311．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．
12．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．
答案
1．B 2．C 3.B 4．C
5．30°或150° 或－
6．(－2,1)
7．解 直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°.
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－.
8．解 设P(x,0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，
即＝，解得x＝2，即P(2,0)．
9．D 10．D
11.20°≤α<200°
12．解 如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，
∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴kAB＝tan 150°＝－，
kAC＝tan 30°＝.
13．解 画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
由图象可知：>>.
