3. 1.2两条直线平行与垂直的判定
【教学目标】
（1）掌握直线与直线的位置关系。
（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。
【教学重点难点】
教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。
【教学过程】
一、引入：
问题1：平面内两条直线的位置关系
问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系
二、新课
问题探究1：
（1）、如何判定两条不重合直线的平行？
（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？
（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？
总结归纳直线与直线平行的判定方法
例题1（课本87页的例题3）
解答过程见课本
变式：判断下列各小题中的直线与是否平行。
（1）经过点A（-1，-2）,B(2,1), 经过点M（3，4），N（-1，-1）
答案：不平行
（2）经过点A（0，1）,B(1,0), 经过点M（-1，3），N（2，0）
答案：平行
例题2（课本87页的例题4）
解答过程见课本
变式：判断下列各小题中的直线与是否垂直。
（1）经过点A（-1，-2）,B(1,2), 经过点M（-2，-1），N（2，1）
答案：不垂直
（2）经过点A（3，4）,B(3,100), 经过点M（-10，40），N（10，40）
答案：垂直
问题探究2
（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？
（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？
总结直线与直线垂直的判定方法：
例题3（课本87页的例题5）
解答过程见课本
变式：已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在轴上，且，试求点P的坐标。
分析：利用两直线的条件建立点p的坐标满足的方程与关系式。
答案;P的坐标为（0，-6）或（0，7）。过程略
例题4（课本87页的例题6）
解答过程见课本
变式：已知定点A（-1，3），B（4，2），以A、B为直径的端点，作圆与轴有交点C，求交点C的坐标。
分析：本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为圆上的点，所以，因此，必有，列出方程，求解即可。答案：C（1，0）或（2，0）。过程略
例5（创新应用）
已知一直线恒过定点A（2，1），直线外有一点B（3，-2），问当直线的斜率为多少时，点B（3，-2）到直线的距离最大？最大距离是多少？
分析：结合图形观察直线绕点A转动时，点B到直线距离的变化
答案：当=时，最大距离为。过程略
变式：已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________
答案：()。过程略
归纳总结
1、两条直线平行的判定程序：
（1）斜率存在的情况
（2）直线斜率不存在的情况
2、两条直线垂直的判定程序：
（1）斜率存在的情况
（2）直线斜率不存在的情况
三、达标检测
1、练习：教材89页练习第1题
2、练习：教材89页练习第2题
3、课本89页习题3.1 A组6，7
【板书设计】
一、两直线平行的判定
二、两直线垂直的判定
三、综合应用
【作业布置】
课后作业与提高
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
课前预习导学案
一、预习目标
知道直线的位置关系
初步明确直线的平行与垂直的判定
二、预习内容
（1）平面内两条直线的位置关系
（2）两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系
（3）在坐标系中画出下列各组直线，判断他们的位置关系。并求出他们的斜率，试发现：直线的斜率与直线的位置关系之间的联系。
① ②
③ ④
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究导学案
一、学习目标
（1）明确直线平行于垂直的条件。
（2）利用直线的平行与垂直解决有关问题。
学习重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法。
二、学习过程
1、直线平行的判定方法
问题探究1：
（1）、如何判定两条不重合直线的平行？
（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？
（3）、直线l1和直线l2的斜率k1=k2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？
总结归纳直线与直线平行的判定方法
应用
例题1（课本87页的例题3）
变式：判断下列各小题中的直线与是否平行。
（1）经过点A（-1，-2）,B(2,1), 经过点M（3，4），N（-1，-1）
（2）经过点A（0，1）,B(1,0), 经过点M（-1，3），N（2，0）
例题2（课本87页的例题4）
变式：判断下列各小题中的直线与是否平行。
（1）经过点A（-1，-2）,B(1,2), 经过点M（-2，-1），N（2，1）
（2）经过点A（3，4）,B(3,100), 经过点M（-10，40），N（10，40）
2、直线垂直的判定方法
（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？
（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？
总结直线与直线垂直的判定方法：
例题3（课本87页的例题5）
变式：已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在轴上，且，试求点P的坐标。
分析：利用两直线的条件建立点p的坐标满足的方程与关系式。
例题4（课本87页的例题6）
变式：已知定点A（-1，3），B（4，2），以A、B为直径的端点，作圆与轴有交点C，求交点C的坐标。
例5（创新应用）
已知一直线恒过定点A（2，1），直线外有一点B（3，-2），问当直线的斜率为多少时，点B（3，-2）到直线的距离最大？最大距离是多少？
分析：结合图形观察直线绕点A转动时，点B到直线距离的变化
变式：已知定点A（0，1），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________
当堂达标检测：
1、练习：教材89页练习第1题
2、练习：教材89页练习第2题
3、课本89页习题3.1 A组6，7
课后巩固练习与提高
有如下几种说法：①若直线，都有斜率且斜率相等，则//;②若直线，则他们的斜率之积为-1③两条直线的倾斜角的正弦值相等，则两直线平行。
以上三种说法中，正确的个数是（ ）
A、 1 B、2 C、3 D、0
2、顺次连接A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，1）四点所组成的图形是（ ）
A、平行四边形 B、直角梯形 C等腰梯形 D 以上都不对
3、若过点P（1，4）和Q（a，2a+2）的直线与直线平行，则a的值是（ ）
A、1 B、-1 C D
4、已知直线的斜率为3，直线经过点A(1,2),B(2,a).若直线//,则a=______;若，则a=______
5、已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D使CDAB且CB//ＡＤ
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2．过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.
3．情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：两条直线平行和垂直的条件.
难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.
由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.
设置情境引入新课
概念形成
1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.
两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0° ，两直线互相垂直.
由学生讨论得出答案
概念深化
2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.
设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？
首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）
∴tga1 = tga2.
即k1 = k2.
反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1 = k2，那么tga1 = tga2.
由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，
∴a1 = a2
又∵两条直线不重合，
∴l1∥l2.
结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1 = k2.
注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定.
借助计算机，让学生通过度量，感知的关系.
通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.
下面我们研究两条直线垂直的情形.
如果l1⊥l2，这时，否则两直线平行.
设（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
.
因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即，所以.
∴.
即或k1k2 = –1，
反过来，如果即k1·k2 = –1不失一般性，设k1＜0.
k2＞0，
那么.
可以推出a1 = 90°+.
l1⊥l2.
结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.
借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等.
通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.
应用举例
例1 已知A (2,3)，B (–4,0)，P（– 3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略）
例1 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，
直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，
因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.
通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
例3 已知A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.
例4 已知A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，试判断三角形ABC的形状.
分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，再通过计算加以验证.（图略）
课堂练习 P94 练习1、2.
借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.
例2 解：直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，
直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，
因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.
例3 解：直线AB的斜率k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3，
直线PQ的斜率k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2，
因为k1·k2 = –1，所以AB⊥PQ.
归纳总结
（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；
（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直.
（3）应用直线平行的条件，判定三点共线.
由学生归纳，教师再补充完善.
培养学生的概括能力
课后作业
见习案3.1的第二课时
由学生独立完成
巩固深化新学知识
备选例题
例1 试确定M的值，使过点A(m + 1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行.
【解析】由题意得：
由于AB∥CD，即kAB = kCD，
所以，所以m = –2.
例2 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D的坐标.
【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y)
因为AD⊥CD，AD∥BC 所以kAD·kCD = –1，且kAD = kBC
，
所以第四个顶点D的坐标为(2，3).
例3 已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.
【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC，设C (x，0)
则
所以
所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)
课后提升作业 十八
两条直线平行与垂直的判定
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·天津高一检测)若直线2mx+y+6=0与直线(m-3)x-y+7=0平行，则m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.1或-1 D.3
【解析】选B.因为两条直线平行，所以=≠.
解得m=1.
2.下列各对直线不互相垂直的是 ( )
A.l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)
B.l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q
C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)
D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)
【解析】选C.选项C中，kPQ=，所以l1不与l2垂直.
3.(2018·吉林高一检测)已知过点A(a，b)与B(b-1，a+1)的直线l1与直线l2平行，则l2的斜率为 ( )
A.1 B.-1 C.不存在 D.0
【解析】选B.由题意可知l2的斜率为：k2=k1==-1.
【延伸探究】若本题条件“平行”换为“垂直”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 【解析】选A.因为l1⊥l2，所以k1·k2=-1，又因为k1==-1，所以k2=1.
4.直线l1过点A(3，1)，B(-3，4)，直线l2过点C(1，3)，D(-1，4)，则直线l1与l2的位置关系为 ( )
A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法判断
【解析】选A.由l1过点A(3，1)，B(-3，4)，
得kAB=-，由l2过点C(1，3)，D(-1，4)，
得kCD=-，结合所过点的坐标知l1∥l2.
5.(2018·烟台高一检测)已知直线l与过点M(-，)，N(，-)的直线垂直，则直线l的倾斜角是 ( )
A.60° B.120° C.45° D.135°
【解析】选C.设直线l的倾斜角为θ.
kMN==-1.
因为直线l与过点M(-，)，N(，-)的直线垂直，
所以klkMN=-1，所以kl=1.所以tanθ=1，
因为0°≤θ<180°，所以θ=45°.
6.(2018·北京高一检测)已知l1的斜率是2，l2过点A(-1，-2)，B(x，6)，且l1∥l2，则lox= ( )
A. B.- C.2 D.-2
【解析】选B.因为l1∥l2，所以=2，即x=3，故lox=lo3=-.
7.设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为kPQ==-，kSR==-，
kPS==，kQS==-4，kPR==.
又P，Q，S，R四点不共线，
所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.
故①②④正确.
8.(2018·合肥高一检测)已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A.1 B.0
C.0或2 D.0或1
【解题指南】分直线AB与CD的斜率存在与不存在两种情况分别求m的值.
【解析】选D.当AB与CD斜率均不存在时，m=0，
此时AB∥CD，当kAB=kCD时，m=1，此时AB∥CD.
【误区警示】解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=____________；若l1∥l2，则b=____________.
【解题指南】利用一元二次方程根与系数的关系k1·k2=-及两直线垂直与平行的条件求解.
【解析】若l1⊥l2，则k1k2=-1.
又k1k2=-，所以-=-1，所以b=2.
若l1∥l2，则k1=k2.
故Δ=(-3)2-4×2·(-b)=0，所以b=-.
答案：2 -
10.已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则log8(7+y)=____ ________.
【解析】由M，N，P三点的坐标，得MN垂直x轴，
又∠NMP=90°，所以kMP=0，所以y=-3，
所以log8(7+y)=log84=.
答案：
【延伸探究】若把本题中“∠NMP=90°”改为“log8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=____________. 【解析】由log8(7+y)=，得y=-3， 故点P(5，-3)，因为MN垂直x轴，kMP=0， 所以∠NMP=90°. 答案：90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.直线l1经过点A(m，1)，B(-3，4)，直线l2经过点C(1，m)，D(-1，m+1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值.
【解析】当l1∥l2时，由于直线l2的斜率k2存在，则直线l1的斜率k1也存在，
则k1=k2，即=，解得m=3；
当l1⊥l2时，由于直线l2的斜率k2存在且不为0，则直线l1的斜率k1也存在，则k1·k2=-1，
即·=-1，解得m=-.
综上所述，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为-.
12.(2018·郑州高一检测)已知点M(2，2)，N(5，-2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标.
(1)∠MOP=∠OPN(O是坐标原点).
(2)∠MPN是直角.
【解析】设P(x，0)，
(1)因为∠MOP=∠OPN，所以OM∥NP.
所以kOM=kNP.又kOM==1，
kNP==(x≠5)，
所以1=，所以x=7，即点P的坐标为(7，0).
(2)因为∠MPN=90°，所以MP⊥NP，
根据题意知MP，NP的斜率均存在，
所以kMP·kNP=-1.
kMP=(x≠2)，kNP=(x≠5)，
所以×=-1，
解得x=1或x=6，即点P的坐标为(1，0)或(6，0).
【能力挑战题】
如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD=5m，宽AB=3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
【解析】如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系.
由AD=5m，AB=3m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3).
设点M的坐标为(x，0)，
因为AC⊥DM，所以kAC·kDM=-1.
所以·=-1，即x==3.2，即BM=3.2m时，两条小路AC与DM相互垂直.
课件29张PPT。新知自解k1＝k2l1∥l2k1·k2＝－1垂直答案： B答案： C答案： 1或3课堂探究答案： C
谢谢观看！课件28张PPT。第三章 § 3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直
的判定1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；
3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 两条直线平行的判定思考1 如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角
分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间
有什么关系？k1与k2之间有什么关系？答案 α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，
因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.
当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在.答案思考2 对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？
为什么？答案 一定有l1∥l2.因为k1＝k2?tan α1＝tan α2?α1＝α2?l1∥l2.答案k1＝k2知识点二 两条直线垂直的判定思考1 如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？答案 α2＝90°＋α1，
因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和.答案思考2 已知tan(90°＋α)＝－ ，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？答案 因为α2＝90°＋α1，
所以tan α2＝tan(90°＋α1)，
由于tan(90°＋α)＝－ ，tan α2＝－ ，
即tan α2tan α1＝－1，
所以k1·k2＝－1.答案思考3 如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？答案答案 当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.
不妨设k2<0，即α2为钝角，
因为k1·k2＝－1，则有tan α2tan α1＝－1，
所以tan α2＝－ ＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，
所以l1⊥l2.当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，
因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，则k2不存在，
所以k1·k2＝－1不成立.答案 k1·k2＝－1l1⊥l2返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 两条直线平行的判定例1 下列直线l1与直线l2平行的有________.
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；解析答案②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， )，N(－2，－ )；④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5).反思与感悟∴l1不平行l2.∴k ＝k ，∴l1∥l2.∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. l1，l2斜率均不存在且不重合，
∴l1∥l2.②③④答案 ①③④反思与感悟反思与感悟判断两直线是否平行的方法：跟踪训练1 已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为________.解析答案解析 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝
因为直线PQ∥直线MN，
所以kPQ＝kMN，
即 ，解得m＝0或m＝1.
综上，m的值为0或1.答案 0或1类型二 两条直线垂直的判定例2 (1)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.可能重合 D.无法确定解析 由方程3x2＋mx－3＝0知，
Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，
设两根为x1，x2，
则k1k2＝x1x2＝－1，故l1⊥l2，所以选B.解析答案B(2)已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标.解 以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC，
设C(x,0)，解析答案所以x＝1或2，所以交点C的坐标为(1,0)或(2,0).反思与感悟反思与感悟使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论.跟踪训练2 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________.解析答案解析 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2的斜率存在.
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意.
当k2≠0时，即a≠5，
由k1·k2＝－1，得 ＝－1，
解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.类型三 垂直与平行的综合应用例3 已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.解析答案反思与感悟解析答案解 ①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，
由已知AB∥DC，
AD⊥AB，而kCD＝0，
故A(1，－1).②若∠A＝∠B＝90°，如图(2) .反思与感悟反思与感悟该题目通过数形结合，排除了∠C为直角的可能性，也可通过计算kCD·kBC＝0≠－1.说明∠C不可能为直角.跟踪训练3 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标.解析答案返回解 设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.所以第四个顶点D的坐标为(2,3).123达标检测 45解析答案1.已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A.－3 B.3 C.－ D.解析 因为直线l∥AB，B12345解析答案2.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为 的直
线垂直，则a的值为( )
A. B. C.10 D.－10∴a＝－10.D123453.若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.－1解析答案12345解析答案4.已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为________.解析 设P(0，y)，
因为∠BAP为直角，
所以kAB·kAP＝－1，12345解析答案5.已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标.解 设D(x，y)，
∵AB⊥CD且AD∥BC，∴D(10，－6).规律与方法两直线平行或垂直的判定方法返回3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、基础过关
1．下列说法中正确的有 ( )
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为 ( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
3．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为 ( )
A．45° B．135° C．－45° D．120°
4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
5．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝________.
6． 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
7．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD.
(2)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)且l1⊥l2，求实数a的值．
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．
二、能力提升
9．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是 ( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
10．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是____________．
11．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
答案
1．A 2．A 3.B 4.D
5．52
6．2 －
7．(1)证明 由斜率公式得：
kAB＝＝，
kCD＝＝－，
则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.
(2)解 ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
8．解 由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
9．B
10．平行或重合
11．(－19，－62)
12．解 由斜率公式可得
kAB＝＝，
kBC＝＝0，
kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
13．解 ∵四边形ABCD是直角梯形，
∴有2种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD∥BC，AD⊥AB，
?
∴.
综上或.
