3. 2.1 直线的点斜式方程
【教学目标】
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
【教学重难点】
重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
1．情境1：过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？
学生思考、讨论。
(二)预习检查、交流展示
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（三）合作探究、精讲精炼。
问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？
学生可能的回答：
（1）两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2）；
（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；
（3）斜率和直线在y轴上的截距（说明斜率存在）；
（4）直线在x轴和y轴上的截距（学生没有学过直线在x轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）。
问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l。
（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？
（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？
直线上的任意一点P(x,y)（除P1点外）和P1(x1，y1)的连线的斜率是一个不变量，即为k，即：k＝， 即y - y1= k (x - x1)学生在讨论的过程中：（1） 强调P（x，y）的任意性。（2） 不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与。
问题3：（1）P1（x1，y1）的坐标满足方程吗？
（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？
教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上。
让学生感受直线的方程和方程的直线的意义。
如此，我们得到了关于x，y的一个二元一次方程。这个方程由直线上一点和直线的斜率确定，今后称其为直线的点斜式方程。
设点P（x，y）是直线l上不同于P1的任意一点根据经过两点的直线斜率
公式，得
由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。
讨论: 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?
(引导学生从斜率的角度去考虑)
结论:不能表示垂直于轴的直线.
（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
①当直线的倾斜角为0°时，tan0°＝0，即k＝0，这时直线与x轴平行或重合，直线l的方程就是y－y0＝0或y＝y0
②当直线l的倾斜角为90°时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，这时直线上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程为x－x0＝0或x＝x0
例1．一条直线经过点P1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程。
分析：应用点斜式方程
解：由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2)，即2x-y+7=0.
点评：寻找点斜式的条件，然后直接用
变式1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o”，求这条直线的方程；
变式2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程是什么？
例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。
分析：同例1，直接用
解：根据直线的点斜式方程，得直线l的方程为y-b=k(x-0)，即y=kx+b.
点评：介绍截距和斜截式方程的概念。
由点斜式方程可知,若直线过点且斜率为,则直线的方程为:
方程称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中为直线在轴上的截距.
变式：（1）斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：由已知得k =5， b= 4，代入斜截式方程
y= 5x + 4
2．思考
情境2：P76，用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2，y=x+2，y= -x+2，y=3x+2，y= -3x+2的图象。
问题4：直线y=kx+2有什么特点？
学生观察、归纳、发现：直线y=kx+2过定点（0，2），随着k的变化，直线绕点（0，2）作旋转运动。
用几何画板演示。
情境3：用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2 x，y=2x+1，y=2x-2，y=2x+4，y=-2x-4的图象.
问题5：直线y=2x+b有什么特点？
学生观察、归纳、发现：直线y=2x+b的方向不变，随着b的变化，直线作平行移动。
用几何画板演示。
（四）反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
我们已经学习了直线的点斜式方程，记住它的使用条件。那么，直线方程还有其他形式吗？在下一节课我们一起学习直线方程的其他形式。这节课后大家可以先预习这一部分，并完成本节的课后练习及课后延伸拓展作业。
【板书设计】
一、直线的点斜式方程
二、探究3个问题
三、典例
例一
例二
（学生爬黑板展示变式—）
【作业布置】
导学案课后练习与提高
3.2.1 直线的点斜式方程导学案
课前预习学案
预习目标
通过预习同学们知道点斜式从斜率公式上进行一般化，变形，得到点斜式方程。什么是截距以及直线的斜截式方程。
预习内容
1、过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？
2、确定一条直线需要几个独立的条件？
学生回答：
3、给出两个独立的条件，例如：一个点P1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l。
（1）你能在直线l上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？
（2）这条直线上的任意一点P（x，y）的坐标x，y满足什么特征呢？
三、提出疑惑
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
学习重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
学习难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
二、学习过程（自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练）
问题：（1）P1（x1，y1）的坐标满足方程吗？
（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？
讨论: 直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?
(引导学生从斜率的角度去考虑)
结论:
（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
（3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？
例1．一条直线经过点P1（-2，3），斜率为2，求这条直线的方程。
解：由直线的点斜式方程得y-3=2(x+2)，即2x-y+7=0.
变1：在例1中，若将“斜率为2”改为“倾斜角为45o”，求这条直线的方程；
变2：在例1中，若将直线的倾斜角改为90o，这条直线的方程是什么？
例2．已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程。
解：
变式：（1）斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：
2．思考
情境2：P76，用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2，y=x+2，y= -x+2，y=3x+2，y= -3x+2的图象。
问题4：直线y=kx+2有什么特点？
用几何画板演示。
情境3：用计算机在同一直角坐标系中分别作出直线y=2 x，y=2x+1，y=2x-2，y=2x+4，y=-2x-4的图象.
问题5：直线y=2x+b有什么特点？
反思总结
直线的点斜式的所需要的条件，和坐标轴垂直的直线方程是什么。
经过特殊化后得到斜截式，它的几何意义是什么。什么是截距。
当堂检测
1已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和斜截式.
2方程表示过点、斜率是、倾斜角是、在y轴上的截距是的直线。
3已知直线的点斜式方程是y＋2=(x＋1)，那么此直线经过定点_______，直线的斜率
是______，倾斜角是_______.
课后练习与提高（视学生学习情况添加）
1经过点（- ，2）倾斜角是30度的直线的方程是
（A）y＋ = （ x－2） （B）y+2= （x－ ）
（C）y－2= （x＋ ）（D）y－2= （x＋ ）
2已知直线方程y－3= （x－4），则这条直线经过的已知
点，倾斜角分别是
（A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6
（C）（4，3）；π/ 6 （D）（－4，－3）；π/ 3
3直线方程可表示成点斜式方程的条件是
（A）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在
（C）直线不过原点 （D）不同于上述答案
4直线l经过点P0(－2, 3)，且倾斜角(＝45o，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
5.已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，那么直线的斜率是_____，倾斜角是_____，
此直线必过定点______；
6已知直线的方程为,求过点且垂直于的直线方程.
3.2.1 直线的点斜式方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2．过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.
3．情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
（三）教学设想
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
学生回顾，并回答. 然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.
使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知.
概念形成
2．直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系.
学生根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，，即y – y0 = k (x – x0) （1）
老师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程.
培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法.
3．（1）过点P 0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？
学生验证，教师引导.
使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.
（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P 0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？
学生验证，教师引导. 然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(point slope form).
使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件.
概念深化
4．直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
学生分组互相讨论，然后说明理由.
使学生理解直线的点斜式方程的适用范围.
5．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？
（2）经过点P 0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？
（3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？
教师引导学生通过画图分析，求得问题的解决.
进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式.
应用举例
6．例1. 直线l经过点P0 (– 2，3)，且倾斜角= 45° . 求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知哪些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求. 在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画.
例1 解析：直线l经过点P0 (–2，3)，斜率k = tan45°=1代入点斜式方程得
y – 3 = x + 2
画图时，只需再找出直线l上的另一点P1 (x1，y1)，例如，取x1= –1，y1 = 4，得P1 的坐标为（– 1，4），过P0 ，P1的直线即为所求，如右图.
学生会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：
（1）一个定点；
（2）有斜率. 同时掌握已知直线方程画直线的方法.
概念深化
7．已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程.
学生独立求出直线l的方程：y = kx + b （2）
再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵.
引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形.
8．观察方程y = kx + b，它的形式具有什么特点？
学生讨论，教师及时给予评价.
深入理解和掌握斜截式方程的特点？
9．直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？
学生思考回答，教师评价.
使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.
方法探究
10．你如何从直线方程的角度认识一次函数y = kx + b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x – 1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？
学生思考、讨论，教师评价. 归纳概括.
体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
应用举例
11．例2 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：
（1）l1∥l2的条件是什么？
（2）l1⊥l2的条件是什么？
教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平行、垂直结论. 思考（1）l1∥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？（2）l1⊥l2时，k1，k2；b1，b2有何关系？在此由学生得出结论；l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k 2 = –1.
例2 解析：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .
于是我们得到，对于直线
l1：y = k1x + b1，l2：y = kx + b2
l1∥l2k1 = k2，且b1≠b2；l1⊥l2k1k 2 = –1.
掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行，或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k，b的几何意义.
12．课堂练习第100页练习第1，2，3，4题.
学生独立完成，教师检查反馈.
巩固本节课所学过的知识.
归纳
13．小结
教师引导学生概括：（1）本节课我们学过哪些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉.
课后作业
见习案3.2的第一课时
学生课后独立完成.
巩固深化
备选例题
例1 求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是.
（1）经过点； （2）在y轴上的截距是–5.
【解析】∵直线的斜率， ∴其倾斜角=120°
由题意，得所求直线的倾斜角.故所求直线的斜率.
（1）∵所求直线经过点，斜率为，
∴所求直线方程是，即.
（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为–5，
∴所求直线的方程为， 即
【点评】（1）由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的，故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1，2)，倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.
（2）截距和距离是两不同的概念，y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标，x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.
例2 直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.
【解析】设直线l的斜率为k，
∵直线l过点(–2，3)，
∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)]，令x = 0，得y = 2k + 3；令y = 0得.
∴A、B两点的坐标分别为A，B(0，2k + 3). ∵AB的中点为(–2，3)
∴
∴直线l的方程为，即直线l的方程为3x – 2y +12 = 0.
课后提升作业 十九
直线的点斜式方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·广州高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则 ( )
A.直线经过点(-1，2)，斜率为-1
B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1
C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1
D.直线经过点(-2，-1)，斜率为1
【解析】选C.直线的方程可化为y-(-2)=-x-(-1)]，故直线经过点(-1，-2)，斜率为-1.
2.倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是 ( )
A.y=x+1 B.y=x-1
C.y=-x+1 D.y=-x-1
【解析】选D.倾斜角θ=135°，所以k=tanθ=-1，直线方程截距式y=-x-1.
3.(2018·长春高一检测)已知两条直线y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行，则a等于 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选B.根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k1=a，k2=2-a.两直线平行，则有k1=k2.所以a=2-a，解得a=1.
4.已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为 ( )
A. B.2 C.log26 D.0
【解题指南】先将直线l的方程化为斜截式，然后求出斜率a与截距b即可.
【解析】选B.直线l的方程为y=2x+4，故a=2，b=4，所以logab=log24=2.
【延伸探究】本题条件不变，求ab的值.
【解析】因为a=2，b=4，所以ab=24=16.
5.(2018·成都高一检测)过点(1，0)且与直线y=x-1垂直的直线方程是 ( )
A.y=x- B.y=x+
C.y=-2x+2 D.y=-x+
【解析】选C.因为直线y=x-1的斜率为，设所求直线的斜率为k，则k=-2，所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2.
【延伸探究】若把本题中的垂直改为平行，则此时直线的方程又是什么？ 【解析】由题意知所求直线的斜率k=，由点斜式方程知： y-0=(x-1)，即x-2y-1=0.
6.(2018·长沙高一检测)与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 ( )
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4.Com]
【解析】选D.因为所求直线与y=2x+1垂直，所以设直线方程为y=-x+b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y=-x+4.
7.直线y+2=(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为 ( )
A.60°，2 B.60°，-2
C.120°，-2 D.30°，2-
【解析】选B.斜率为，则倾斜角为60°，当x=0时，y=-2，即在y轴上的截距为-2.
8.已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，点B(a，-1)，且l1与l垂直，直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于 ( )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
【解析】选B.由题意知l的斜率为-1，则l1的斜率为1，kAB==1，a=0.由l1∥l2，得-=1，b=-2，
所以a+b=-2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·大庆高一检测)过点(-3，2)且与直线y-1=(x+5)平行的直线的点斜式方程是_ _.
【解析】与直线y-1=(x+5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y-2=(x+3).
答案：y-2=(x+3)
10.直线l经过点A(-2，2)且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________.
【解题指南】根据直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距及过点A(-2，2)求出直线l的斜率，然后再写直线l的斜截式方程.
【解析】直线y=x+6在y轴上的截距为6，即所求直线过点(0，6)，直线l又经过点A(-2，2)，所以kl==2，因此直线l的斜截式方程为y=2x+6.
答案：y=2x+6
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·临沂高一检测)已知直线l经过点(0，-2)，其倾斜角是60°.
(1)求直线l的方程.
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，故其斜率为tan60°=，又直线l经过点(0，-2)，所以其方程为y=x-2.
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是，-2，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=.
12.(2018·宁波高一检测)求经过点A(-2，2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.
【解析】因为直线的斜率存在，所以设直线方程为l：y-2=k(x+2)，即y=kx+2k+2，
令x=0，得y=2k+2，令y=0，得x=-，
由2k+2>0，->0，得：-1因为S△=1，所以(2k+2)=1，
解得：k=-2，或k=-，
因为-1所以直线方程为l：x+2y-2=0.
【补偿训练】已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程.
【解析】设直线方程为y=x+b，令x=0得y=b；令y=0得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.
由b2=4得b=±2.所以直线方程为y=x±2.
即x-2y+4=0或x-2y-4=0.
【能力挑战题】
已知直线l：y=kx+2k+1.
(1)求证：直线l恒过一个定点.
(2)当-3【解析】(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(-2，1).
(2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当-3需满足即
解得-≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是-≤k≤1.
课件29张PPT。新知自解y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b纵坐标b答案： D答案： D课堂探究答案： B
谢谢观看！课件28张PPT。第三章 § 3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案答案 由斜率公式得k＝ ，
则x，y应满足y－y0＝k(x－x0).思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点
斜式方程来表示？答案答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，
过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.答案斜率k k(x－x0)知识点二 直线的斜截式方程思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案答案 将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案 y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.思考3 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
①l1∥l2?________________，
②l1⊥l2?________________.k1＝k2且b1≠b2k1k2＝－1答案y＝kx＋b返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.解析 ∵直线与y轴平行，
∴该直线斜率不存在，
∴直线方程为x＝－3.(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程是_______________.解析 由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，
则直线l的斜率为－ .
由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－ (x－1).x＝－3y－3＝－ (x－1)解析答案(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：
y＝ x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为______________.解析 ∵直线l2的方程为y＝ x，
设其倾斜角为α，
则tan α＝ 得α＝30°，
那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，
则l1的点斜式方程为
y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝ (x＋1).y＋2＝ (x＋1)解析答案跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；解析答案解 y－5＝4(x－2)；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；解 ∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线方程为y－3＝x－2；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.
解 y＝－1.类型二 直线的斜截式方程例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________________.解析答案解析 ∵直线的倾斜角是60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝ ，
∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，
∴直线在y轴上的截距是3或－3，
∴所求直线方程是y＝ x＋3或y＝ x－3.y＝ x＋3或y＝ x－3(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.解 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1.
由题意知l2在y轴上的截距为－2，
所以l在y轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.解析答案反思与感悟反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2 (1)已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；解 设直线方程为y＝ x＋b，
则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得 ·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，
∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝ x＋1或y＝ x－1.解析答案(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.解 ∵l1⊥l，
直线l1：y＝－2x＋3，
∴l的斜率为 ，
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝ x＋2.解析答案类型三 平行与垂直的应用例3 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？解析答案解 由题意可知，∵l1∥l2，解得a＝－1.
故当a＝－1时，
直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解析答案反思与感悟解 由题意可知，∵l1⊥l2，
∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝ .
故当a＝ 时，
直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.反思与感悟设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1＝b2?两条直线重合；(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1.跟踪训练3 已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3).
(1)求AB边上的高所在直线的方程；解 直线AB的斜率k1＝ ＝ ，
AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，
所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1).解析答案(2)求BC边上的高所在直线的方程；解 直线BC的斜率k2＝ ＝－1，
BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，
所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x.返回(3)求过A与BC平行的直线方程.
解 由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为－1，
其方程为y＝－x.解析答案123达标检测 4解析答案1.方程y＝k(x－2)表示( )
A.通过点(－2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线解析 易验证直线通过点(2,0)，
又直线斜率存在，
故直线不垂直于x轴.C1234解析答案2.倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是________________.解析 ∵斜率为tan 30°＝ ，
∴直线的方程为y－1＝ (x－2).y－1＝ (x－2)12343.(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________；解析 由题意可知a(a＋2)＝－1，
解得a＝－1.(2)若直线l1∶y＝ 与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________.解析 由题意可知解得a＝－ .－1解析答案1234解析答案4.(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；解 ∵与直线y＝2x＋7平行，
∴该直线斜率为2，
由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1
∴所求直线的方程为y＝2x－1.1234解析答案(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程.
解 ∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，
∴该直线的斜率为－ ，由点斜式方程得：
y＋2＝－ (x＋2)，
即y＝－ x－ .
故所求的直线方程为y＝－ x－ .规律与方法1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.3.判断两条直线位置关系的方法
直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若k1≠k2，则两直线相交.
(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，
当b1≠b2时，两直线平行；
当b1＝b2时，两直线重合.
(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直.
(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑.返回
