3. 2.3 直线的一般式方程
【教学目标】
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
【教学重难点】
重点：直线方程的一般式。
难点：对直线方程一般式的理解与应用。
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标。
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是
斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b则直线方程是
两点式：已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则直线的方程是：
截距式：已知直线在X轴Y轴上的截距为a，b，
则直线的方程是
2.直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？
提示：讨论直线的斜率是否存在。
直线l经过点P0（x0，y0），斜率为k，则直线的方程为：①
当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x－x0＝0 ②
(二)预习检查、总结疑惑
任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？
当B≠0时，上述方程可变形为：
它表示过点（0，）斜率为的直线。
当B＝0时，是一条平行于y轴的直线。由上述可知，关于x，y的二元一次方程，它表示一条直线。
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）。
（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。
探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
答: 直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程
探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
例1.已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.
分析：直接用点斜式写出，然后化简。
解：所求的直线方程为：
y＋4＝－（x－6），化为一般式： 4x＋3y－12＝0。
点评：对刚学的知识进行检验。
变式：
求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。
例2、把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它
在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
分析：对式子变形，考察对截距的理解。
解：将直线l的一般式方程化成斜截式：
y＝x＋3
因此，直线的斜率为k＝，它在y轴上的截距为3。
在直线方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得
x＝－6
过两点可以画一条直线，就是直线l 的图形。
直线与x轴、y轴的交点分别为A（－6,0），B（0,3）
直线在x轴上的截距为－6。
点评：考察对截距的理解，对式子进行变形，然后描点连续。
变式：已知直线经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
【板书设计】
直线的一般式方程
定义
形式
二.探究问题
三、例题
例1
变式1
例2
变式爬黑板
【作业布置】
导学案课后练习与提高
3.2.3 直线的一般式方程
课前预习学案
预习目标
通过预习同学们知道直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？
预习内容
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
2.直线的方程都可以写成关于的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线？
提示：讨论直线的斜率是否存在。
3.任意一个二元一次方程：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）是否表示一条直线？
三、提出疑惑
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标：
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
学习重点：直线方程的一般式。
学习难点：对直线方程一般式的理解与应用。
二、学习过程
探究一：方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合。
探究二：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
答:
探究三：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
例1.已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.
分析：直接用点斜式写出，然后化简。
解
变式：
求经过A（3，-2）B（5，-4）的直线方程，化为一般式。
例2、把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它
在x轴与y轴上的截距，并画出图形。
分析：对式子变形，考察对截距的理解。
变式：已知直线经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程。
反思总结
二元一次方程的每一组解都可以看与平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组的集合，就是坐标满足二元一次方程的体点的集合，这些点的集合组成了一条直线。平面直角坐标系就是把方程和曲线连起的桥梁。我们已经学习了直线的一般式方程，那么，直线方程之间的区别与联系是什么？关键是理解方程和直线之间的关系。
当堂检测
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为45度，则m的值是 （ ）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是________
答案B -6
课后练习与提高
1.若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（ A ）
(A)AB<0 C<0 (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0
2. 直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（C ）
(A) A·B>0,A·C>0 (B) A·B>0,A·C<0
(C) A·B<0,A·C>0 (D) A·B<0,A·C<0
3. 设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是(C )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
4.若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，
则直线l的点斜式方程是___________
直线l的斜截式方程是___________
直线l的一般式方程是___________
5.已知直线l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
6.直线与直线没有公共点，求实数m的值。
3.2.3 直线的一般式方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
2．过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题.
3．情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点：
1．重点：直线方程的一般式；
2．难点：对直线方程一般式的理解与应用.
（三）教学设想
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
引入课题
形成概念
1．（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同时为0)都表示一条直线吗?
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题(1),即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程. 对于问题(2),教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式. 为此要对B分类讨论，即当B≠0时和当B = 0时两种情形进行变形. 然后由学生去变形判断，得出结论：
关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线.
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
我们把关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0 (A, B不同为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(general form).
使学生理解直线和二元一次方程的关系.
概念深化
2．直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
学生通过相比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.
使学生理解直线方程的一般式的与其他形式的不同点.
3．在方程Ax + By + C = 0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y重合.
教师引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合，与y轴平行和重合的直线方程的形式. 然后由学生自主探索得到问题的答案.
使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响.
应用举例
4．例5
已知直线经过点A (6, – 4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
学生独立完成. 然后教师检查、评价、反馈. 指出：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式.
使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点.
5．例6
把直线l的一般式方程x – 2y + 6 = 0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书. 然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在y轴上的截距. 求直线与x轴的截距，即求直线与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y = 0，解出x值，即为与直线与x轴的截距.
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点.
例6 解：将直线l的一般式方程化成斜截式y =x + 3.
因此，直线l的斜率k =，它在y轴上的截距是3. 在直线l 的方程x –2y + 6 = 0中，令y = 0，得x = – 6，
即直线l在x轴上的截距是– 6 .
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(– 6，0)，B (0，3)，
过点A，B作直线，就得直线l的图形.
使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法.
6．二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解.
使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直角坐标系把直线与方程联系起来.
7．课堂练习
第105练习第2题和第3（2）
学生独立完成，教师检查、评价.
巩固所学知识和方法.
归纳总结
8．小结
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系.
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围.
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
使学生对直线方程的理解有一个整体的认识.
课后作业
布置作业
见习案3.2的第3课时 .
学生课后独立思考完成.
巩固课堂上所学的知识和方法.
备选例题
例1 已知直线mx + ny + 12 = 0在x轴，y轴上的截距分别是–3和4，求m，n.
解法一：将方程mx + ny + 12 = 0化为截距式得：，
解法二：由截距意义知，直线经过A(–3，0)和B (0,4)两点，
例2 已知A(2，2)和直线l：3x + 4y – 20 = 0求：
（1）过点A和直线l平行的直线方程； （2）过点A和直线l垂直的直线方程
【解析】（1）将与l平行的直线方程设为3x + 4y + C1 = 0，又过A(2，2)，
所以3×2 + 4×2 + C1 = 0，所以C1 = –14.
所求直线方程为：3x + 4y – 14 = 0.
（2）将与l垂直的直线方程设为4x – 3y + C2 = 0，又过A (2，2)，
所以 3×2 + 4×2 + C2 = 0 ，所以C2 = –2
所求直线方程为：4 – 3 – 2 = 0.
例3 设直线l的方程为(m2 – 2m – 3)x + (2m2 + m – 1)y = 2m – 6，根据下列条件分别确定实数m的值.
（1）l在x轴上的截距为–3； （2）斜率为1.
【解析】（1）令y = 0，依题意，得：
由①得：m≠3，且m≠–1，由②得：3m2 – 4m – 15 = 0，
解得m = 3或，所以综合得.
由题意得：
由③得：m≠–1且m≠，
由④得：m = –1或，所以
课后提升作业 二十一
直线的一般式方程
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是 ( )
A. B.- C.2 D.-2
【解析】选A.因为直线的倾斜角为120°，所以直线的斜率k=-，即-=-，所以a=.
【补偿训练】平面直角坐标系中，直线x+y+2=0的斜率为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.将直线化为斜截式y=-x-.故斜率为-.
2.(2018·海淀高一检测)已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x-y+2=0平行，那么直线l的方程是 ( )
A.2x-y-3=0 B.x+2y-4=0
C.2x-y-4=0 D.x-2y-4=0
【解析】选A.由题意可设所求的方程为2x-y+c=0，
代入已知点 (2，1)，可得4-1+c=0，即c=-3，
故所求直线的方程为2x-y-3=0.
3.直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为 ( )
A.， B.-，-
C.-，- D.，
【解析】选C.根据斜率公式k=-=-，令x=0，则y=-，即在y轴上的截距为-.
4.若三直线l1：2x+3y+8=0，l2：x-y-1=0，l3：x+ky+k+=0能围成三角形，则k不等于 ( )
A. B.-2
C.，-1 D.，-1，-
【解析】选D.由得交点P(-1，-2)，若P在直线x+ky+k+=0上，则k=-，此时三条直线交于一点；k=时，直线l1与l3平行；k=-1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠-，和-1.
5.(2018·杭州高一检测)已知直线l：ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 ( )
A.1 B.-1
C.-2或-1 D.-2或1
【解析】选D.当截距都为0时，-2-a=0即a=-2；当截距都不为0即a≠-2时，直线方程可变形为：+=1，由已知有=a+2，得a=1.
6.(2018·北京高一检测)已知直线ax+by+c=0的图象如图，则 ( )
A.若c>0，则a>0，b>0
B.若c>0，则a<0，b>0
C.若c<0，则a>0，b<0
D.若c<0，则a>0，b>0
【解析】选D.由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.
如题图，k<0，即-<0，
所以ab>0，
因为->0，->0，
所以ac<0，bc<0.
若c<0，则a>0，b>0；
若c>0，则a<0，b<0.
7.(2018·威海高一检测)直线l过点(-1，2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是 ( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
【解析】选A.由直线l与直线2x-3y+4=0垂直，可知直线l的斜率是-，由点斜式可得直线l的方程为y-2=-(x+1)，即3x+2y-1=0.
【补偿训练】过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
【解析】选A.设所求直线的方程为x-2y+m=0，把点(1，0)代入，得m=-1，故选A.
8.已知m≠0，直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2，则直线的斜率为 ( )
A.1 B.- C.- D.2
【解析】选A.令x=0，得y=-，
因为直线在y轴上的截距为2，
所以-=2，
所以a=-3m，
原直线化为-3mx+3my-6m=0，
所以k=1.
【延伸探究】把题中的“在y轴上的截距为2”改为“在两坐标轴上的截距之和为2”，则直线的斜率为 ( ) A.1 B.- C.- D.2 【解析】选D.令x=0，得y=-，令y=0，得x=-2， 因为在两坐标轴上的截距之和为2， 所以-+(-2)=2，所以a=-6m，原直线化为-6mx+3my-12m=0，所以k=2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·广州高一检测)垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.
【解析】设直线方程是4x+3y+d=0，分别令x=0和y=0，得直线在两坐标轴上的截距分别是-，-.
所以6=××=.
所以d=±12，则直线在x轴上的截距为3或-3.
答案：3或-3
10.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m的取值范围是______________.
【解题指南】求x，y的系数不同时为0的m值即可，即先求出x与y的系数均为零时m的值，再取补集即可.
【解析】由得m=1，故要使方程表示一条直线，需2m2+m-3与m2-m不同时为0，故m≠1.
答案：m≠1
三、解答题
11.(10分)求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.
【解析】方法一：由题意知：可设l的方程为3x-4y+m=0，
则l在x轴，y轴上的截距分别为-，.
由-+=1知，m=-12.
所以直线l的方程为：3x-4y-12=0.
方法二：设直线方程为+=1，
由题意得
解得
所以直线l的方程为：+=1.
即3x-4y-12=0.
【补偿训练】(2018·大连高一检测)已知直线2x+(t-2)y+3-2t=0，分别根据下列条件，求t的值.
(1)过点(1，1).
(2)直线在y轴上的截距为-3.
【解析】(1)因为直线2x+(t-2)y+3-2t=0过点(1，1)，所以2+(t-2)+3-2t=0，即t=3.
(2)令x=0，得y==-3，解得t=.
课件37张PPT。新知自解平行于平行于原点Ax＋By＋C＝0不同时为零答案： B解析： 利用截距式方程．
答案： C课堂探究
谢谢观看！课件33张PPT。第三章 § 3.2 直线的方程3.2.3 直线的一般式方程1.掌握直线的一般式方程；
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？答案 能.
思考2 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？
答案 一定.答案思考3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？答案Ax＋By＋C＝0不同时为0所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线一般式的性质例1 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________.解析 令y＝0，得m＝ 或m＝3(舍去).
∴m＝ .解析答案(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.反思与感悟－2解析 由直线l化为斜截式方程得m＝－2或m＝－1(舍去).
∴m＝－2.解析答案反思与感悟(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程注意验根.跟踪训练1 (1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足________.解析答案得a＝－2，
∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，
∴a≠－2. a≠－2(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，
①若l在两坐标轴上的截距相等，求a；解 令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则
∵l在两坐标轴上的截距相等，
得a＝2或a＝0.解析答案②若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解 由①知，在x轴上截距为
在y轴上的截距为a－2，得a<－1或a＝2.解析答案类型二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；解 直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；∴l1与l2重合.解析答案∴l1∥l2.(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.
解 由题意知，当a＝－1时，
l1：y＝5，l2：x＋2＝0，
∴l1⊥l2.
当a≠－1时，
故l1不平行于l2，
又(－a－1)×2＋(2a＋2)×1＝0，
∴l1⊥l2，综上l1⊥l2.反思与感悟解析答案反思与感悟(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练2 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；解析答案解 方法一
由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行.
解得m＝2或m＝－3，
∴m的值为2或－3.解析答案方法二
令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，
l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，
l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线
l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解析答案解 方法一
由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，
直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.
②若2a＋3＝0，即a＝ 时，
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直.解析答案③若1－a≠0，且2a＋3≠0，
则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，
直线l1⊥l2.解析答案方法二
由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意.
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.类型三 求平行、垂直的直线方程例3 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；解析答案(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解 方法一 l的方程可化为
∴l的斜率为
(1) ∵l′与l平行，
∴l′的斜率为－ 又∵l′过点(－1,3)，即3x＋4y－9＝0.(2) ∵l′与l垂直，又l′过点(－1,3)，即4x－3y＋13＝0.解析答案反思与感悟方法二 (1) 由l′与l平行，
可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2) 由l′与l垂直，
可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.跟踪训练3 已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；解 将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，
所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.解析答案返回(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解 将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，
所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.解析答案123达标检测 4解析答案1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.D1234解析答案2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 C解析 由ax＋by＝c，
∵ab<0，bc<0，
∴直线的斜率k＝
直线在y轴上的截距
由此可知直线通过第一、三、四象限.12343.已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
(1)若l1∥l2，则m＝________.－1得m＝－1.(2)若l1⊥l2，则m＝________.
解析 由题意知1×(m－2)＋m×3＝0，
得m＝ .解析答案1234解析答案4.求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程.
解 由题意，设l的方程为3x＋4y＋C＝0，
将点(1,2)代入l的方程
3＋4×2＋C＝0 得C＝－11，
∴直线l的方程为3x＋4y－11＝0.规律与方法1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误.返回3.2.3 直线的一般式方程
一、基础过关
1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为 ( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则 ( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
3．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为 ( )
A. B.或0 C．0 D．－2或0
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
5．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
6．若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为________．
7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．
二、能力提升
9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是 ( )
10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( )
A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0
C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0
11．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________．
12．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．
三、探究与拓展
13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
答案
1．D 2.D 3.A 4.A
5．－
6．0或－1
7．解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
8．解 设直线为Ax＋By＋C＝0，
∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B＝－C，B＝－.
由三角形面积为6，得||＝12，
∴A＝±，
∴方程为±x－y＋C＝0，
所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.
9．C 10．D
11．x－y＋1＝0
12．解 当m＝5时，l1：8x＋y－11＝0，l2：7x－8＝0.
显然l1与l2不平行，同理，当m＝－3时，l1与l2也不平行．
当m≠5且m≠－3时，l1∥l2?，
∴m＝－2.
∴m为－2时，直线l1与l2平行．
13．(1)证明 将直线l的方程整理为
y－＝a(x－)，
∴l的斜率为a，且过定点A(，)．
而点A(，)在第一象限，故l过第一象限．
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)解 直线OA的斜率为k＝＝3.
∵l不经过第二象限，∴a≥3.
