3.3.1 两条直线的交点坐标
【教学目标】
1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，
2.当两条直线相交时，会求交点坐标.
3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.
【重点难点】
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.
教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
【教学过程】
导入新课
问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.
课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.
问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.
新知探究
提出问题
①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？
②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
③解下列方程组(由学生完成)：
(ⅰ); (ⅱ); (ⅲ).
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.
讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线l1与l2的交点A
②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.
设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.
(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;
(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;
(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即
直线l1、l2联立得方程组
(代数问题) (几何问题)
③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：
(ⅰ)≠;(ⅱ);(ⅲ)≠.
一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有
方程组.
注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.
(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.
④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.
(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.
(c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合.
应用示例
例1 求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.
解:解方程组得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2).
变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解:解方程组x-2y+2=0,
2x-y-2=0,
得x=2,
y=2,所以l1与l2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.
点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.
(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.
(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.
活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.
解:(1)解方程组得
所以l1与l2相交,交点是(,).
(2)解方程组
①×2-②得9=0,矛盾,
方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得6x+8y-10=0.
因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
变式训练
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.
(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.
(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.
(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.
答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).
例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.
解：(方法一)由方程组得
∵直线l和直线3x+y-1=0平行，
∴直线l的斜率k=-3.
∴根据点斜式有y-()=-3［x-()］，
即所求直线方程为15x+5y+16=0.
(方法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，
∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，
即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.
∵直线l与直线3x+y-1=0平行，
∴.解得λ=.
从而所求直线方程为15x+5y+16=0.
点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
变式训练
求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程
例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.
思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.
另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.
解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，
得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.
这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).
解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.
由于m的取值的任意性，有解得
所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3)
点评 含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点
变式训练 当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（ ）
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(1,) D.(-2,0)
解析：直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0,由定点（-2，3）.
答案：B
课堂小结
本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.
当堂检测
导学案课内探究部分
【板书设计】
一、两条直线的交点坐标
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高
两条直线的交点坐标
课前预习学案
一、预习目标
根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点
预习内容
1、阅读课本102-104，找出疑惑之处。同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
2、知识概览
①两直线相交,则交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是两直线方程的解,若两直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则以这个解为坐标的点必是两直线的交点.
②两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点情况,取决于方程组的解的情况.
若方程组有唯一解,则两直线相交.
若方程组无解,则两直线平行.
若方程组有无数个解,则两直线重合.
3、思考 当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；
了解过两条直线交点的直线系方程的问题.
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.
教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
二、学习过程
自主学习
【知识点一】、两条直线的交点
如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即（
); 把两条直线的方程组成方程组，若方程组有( )解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组( )，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有( )，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
.
【知识点二】、直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量).
(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直线l2.
(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是( )，λ是参变量.
(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是( )
(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系：当斜率k一定而m变动时，( )表示斜率为k的平行线系，( )表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x=x0).
问题 设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？
探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组
①×B2-②×B1,得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.
当A1B2-A2B1≠0时，得x=；再由①×A2-②×A1，当A1B2-A2B1≠0时，可得y=.因此，当A1B2-A2B1≠0时，方程组有唯一一组解x、y.
这时两条直线相交，交点的坐标就是(x，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A1B2-A2B1≠0.
精讲点拨
求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.
变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.
(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.
(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.
. 变式训练
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.
(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.
(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.
(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.
问题 当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？
求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
变式训练
求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程.
例4 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标
.
.
变式训练 当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（ ）
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(1,) D.(-2,0)
反思总结 1. 两条直线的交点。直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.
2. 直线系方程。如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.
当堂检测
1.两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A.-24 B.6 C.±6 D.以上答案均不对
2.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为( )
A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1)
3.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0
平行直线方程.
参考答案
1.解析:l1:2x+3y-m=0在y轴上的截距为，l2:x-my+12=0在y轴上的截距为，根据两直线的交点在y轴上得m=±6.
答案：C
2.思路解析:直线方程展开按是否含参数k合并同类项,得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，由直线系方程,知此直线过两直线的交点，即为解得
交点为(3,-1).
3.解析:由
∴l1与l2的交点为（1，3）.
(1)解法一：设与直线2x-y-1=0平行的直线为2x-y+c=0，则2-3+c=0，∴c=1.
∴所求直线方程为2x-y+1=0.
解法二：∵所求直线的斜率k=2，且经过点（1，3），∴所求直线方程为y-3=2(x-1)，
即2x-y+1=0.
课后巩固练习与提高
知能训练
课本本节练习1、2.
拓展提升
1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p)，则m-n+p为（ ）
A.24 B.20 C.0 D.-4
2.已知点P(-1,0),Q(1,0)，直线y=-2x+b与线段PQ相交，则b的取值范围是（ ）
A.［-2,2］ B.［-1,1］ C.［-,］ D.［0,2］
3.三条直线x+y=2、x-y=0、x+ay=3构成三角形，求a的取值范围.
4. 已知两直线l1:x+my+6=0，l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，当m为何值时，直线l1与l2：①相交；②平行；③重合；④垂直.
5.三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？
(2)由可得直线x+y=2和直线x-y=0的交点坐标为(1，1).若三线共点，则点(1，1)在直线x+ay=3上，
所以有1+a=3.解得a=2.
综上,可知a满足的条件为a{-1,1,2}.
4.解:联立方程组
(1)当m=0时，则l1：x＋6=0，l2：－2x＋3y=0,∴l1、l2相交.
当m=2时，则l1：x＋2y＋6=0，l2：3y＋4=0,∴l1、l2相交.
(2)当m≠0且m≠2时,,,.
若=m=-1或m=3;若=m=3.
∴当m≠-1且m≠3时(≠),方程组有唯一解,l1、l2相交.
当m=-1时(=≠),方程组无解,l1与l2平行.
当m=3时(==),方程组有无数解,l1与l2重合.
(3)当m-3+3m=0即m=时,l1与l2垂直(∵l1⊥l2A1A2+B1B2=0).
点评：要注意培养学生分类讨论的思想.
5.解析：三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.
解法一:任两条直线都相交，则,,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点，
故其中两条直线的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.
综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.
解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.
若三条直线交于同一点，则其中两条直线的交点(-1-a,1)在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.
若l1∥l2，则有,a=1；若l1∥l3，则有,a=1；若l2∥l3，则有,a=±1.
所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.
3.3.1 两直线的交点坐标
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）直线和直线的交点.
（2）二元一次方程组的解.
2．过程和方法
（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.
（2）掌握数形结合的学习法.
（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.
3．情态和价值
（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.
（2）能够用辩证的观点看问题.
（二）教学重点、难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标.
难点：两直线相交与二元一次方程的关系.
（三）教学方法：启发引导式
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.
教具：用POWERPOINT课件的辅助式数学.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系.
课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
设置情境导入新课
概念形成与深化
1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线L1：A1x + B1y + C1 = 0，L2：A2x + B2y + C2 = 0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空.
几何元素及关系
代数表示
点A
A (a，b)
直线L
L：Ax + By + C = 0
点A在直线上
直线L1与L2的交点A
师：提出问题
生：思考讨论并形成结论
通过学生分组讨论，使学生理解掌握判断两直线位置的方法.
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
（1）若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交.
（2）若二元一次方程组无解，则L1与L2平行.
（3）若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合.
课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
应用举例
例1 求下列两直线交点坐标
L1：3x + 4y –2 =0
L2：2x + y +2 =0
例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
（1）L1：x–y=0，L2：3x+3y–10=0
（2）L1：3x–y=0，L2：6x–2y=0
（3）L1：3x+4y–5=0，L2：6x+8y–10=0.
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系.
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.
同类练习：书本110页第1，2题.
例1 解：解方程组
得x = –2，y =2.
所以L1与L2的交点坐标为M(–2，2)，如图：
例2解：（1）解方程组
，
得
所以，l1与l2相交，交点是M ().
（2）解方程组
①×② – ②得9 = 0，矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
（3）解方程组
①×2得6x + 8y –10 = 0.
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
训练学生解题格式规范条理清楚，表达简洁.
方法探究
课堂设问一. 当λ变化时，方程3x + 4y–2+λ(2x + y +2) =0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点的坐标，
（1）可以用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
（3）结论，方程表示经过这两直线L1与L2的交点的直线的集合。
培养学生由特殊到一般的思维方法.
应用举例
例3 已知a为实数，两直线l1：ax + y + 1= 0，l2：x + y – a = 0相交于一点.
求证交点不可能在第一象限及x轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
例3 解：解方程组若，则a＞1. 当a＞1时，–，此时交点在第二象限内.
又因为a为任意实数时，都有a2 +1≥1＞0，故.
因为a≠1 (否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在x轴上，得交点（）.
引导学生将方法拓展与廷伸
归纳总结
小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用.
师生共同总结
形成知识体系
课后作业
布置作业
见习案3.3第一课时
由学生独立完成
巩固深化新学知识
备选例题
例1 求经过点(2，3)且经过l1：x + 3y– 4 = 0与l2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程.
解法1：联立，
所以l1，l2的交点为(–2,2).
由两点式可得：所求直线方程为即x – 4y + 10 = 0.
解法2：设所求直线方程为：x + 3y – 4 +(5x + 2y + 6) = 0.
因为点(2，3)在直线上，所以2+3×3–4+(5×2+2×3+6) = 0，
所以，即所求方程为x + 3y – 4 + ()(5x + 2y + 6) = 0，
即为x – 4y + 10 = 0.
例2 已知直线l1：x + my + 6 = 0，l2：(m – 2)x + 3y + 2m = 0，试求m为何值时，l1 与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.
【解析】当l1∥l2(或重合) 时：
A1B2 – A2B1 = 1×3 – (m – 2)·m = 0，解得：m = 3，m = –1.
（1）当m = 3时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以l1与l2重合；
（2）当m = –1时，l1：x – y + 6 = 0，l2：–3x + 3y – 2 = 0，所以l1∥l2；
（3）当l1⊥l2时，A1A2 + B1B2 = 0，m – 2 + 3m = 0，即；
（4）当m≠3且m≠–1时，l1与l2相交.
例3 若直线l：y = kx – 与直线2x + 3y – 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是：
A． B．
C． D．
【解析】直线l1：2x + 3y – 6 = 0过A(3，0)，B (0，2)而l过定点C
由图象可知
所以l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)，故选B.
§3.3.2两点间的距离
【教学目标】
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.
【重点难点】
教学重点：①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
【教学过程】
一、导入新课、展示目标
问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
二、检查预习、交流展示
核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练
探究一 平面内两点间的距离公式
问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
(2)求B(3，4)到原点的距离.
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.
教师 ①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
②求点B(3，4)到原点的距离.
③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.
④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).
学生 回答 ①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.
②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.
③
图1
在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.
在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.
因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，
所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=
教师 ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.
(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.
(c)猜想了任意两点间距离公式.
(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!
应用示例
例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
解:设B(x，3)，根据|AB|=13，
即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.
点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.
变式训练1
课本106页练习第一题
例2 已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
解:设所求点P(x，0)，于是有.
由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.
即所求点为P(1，0),且|PA|==2.
点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
,
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
≥2中的等号成立的条件.
解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。
答案：x=y=
点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。
当堂检测
导学案当堂检测
课堂小结
通过本节学习，要求大家:
①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；
②能灵活运用此公式解决一些简单问题；
③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.
【板书设计】
一、两点间距离公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
例3
变式3
【作业布置】
课本习题3.3 必做题 A组6、7、8；
选做题B组6.
及 导学案课后练习与提高
§ 3.3.2两点间的距离
课前预习学案
一、预习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
二、预习内容
（一）巩固所学
1．直线，无论取任意实数，它都过点 .
2．若直线与直线的交点为，则 .
（二）探索新知，提出疑惑
预习教材P104~ P106，找出疑惑之处
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
并回答下列问题：
1.已知平面上两点，则｜P1P2｜ = （ ）.
特殊地：与原点的距离为 ｜P1P2｜= （ ）.
2.特别地，当P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜= （ ）；
当P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜=（ ）
课内探究学案
一、学习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
学习重点：①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题
二、学习过程
问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
探究一 平面内两点间的距离公式
问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?
(2)求B(3，4)到原点的距离.
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.
（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)
得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=
例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.
图2
变式训练1
课本106页练习第一题
例2 已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式
≥2中的等号成立的条件.
学习小结
1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
当堂检测
1.在x轴上求一点P，使P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等.
2.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.
3.已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案
1. 解:设点P坐标为(x,0)，由P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等及两点间的距离公式，可得x=，即点P坐标为(,0).
2.答案：(,0)或(0,5).
3.解:由两点间的距离公式，可得|AB|=≠|BC|=|CA|=，故选C.
答案：C
4.答案：C
课后巩固练习与提高
1.点M(x,)、N(y,)之间的距离为( )
A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y
2.光线从点A(-3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知A(3，-1)、B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使｜PA｜+｜PB｜取最小值，则P点坐标是( )
A.(1，-1) B.(-1，1) C.() D.(-2，2)
4.已知A(1，3)、B(5，-2)，点P在x轴上，则使｜AP｜-｜BP｜取最大值的点P的坐标是( )
A.(4，0) B.(13，0) C.(5，0) D.(1，0)
5.已知A(a，3)、B(3，3a+3)两点间的距离是5，则a的值为_____________.
6.以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是______________三角形.
7.已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(，)，则AB边上的中线CM的长为_____________________.
8.若2a-b=3，求证：三点A(-2，3)、B(3，a)、C(8,b)在一条直线上.
9.如图3-3-3，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试证明AE=CD.
图3-3-3
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
参考答案
1．思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式.
MN==|x+y|.
故选A.
2. 思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x轴的对称点
A′(-3，-5)，则｜A′B｜即为所求，由两点间距离易求得｜A′B｜=.
答案:C
3. 思路解析:点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3=(x-1)，即y=，与x+y=0联立,解得x=，y=.
答案:C
4. 思路解析:点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连结A′B交x轴于点P，
即为所求.直线A′B的方程是y+3=(x-1)，即y=.令y=0，得x=13.
答案:B
5. 思路解析:由两点间距离公式得｜AB｜=，解之,可得a=-1或.
答案:-1或
6.
思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.
由两点间的距离公式可得|AB|=.
同理可得|AC|=，|BC|=.
所以|AB|=|AC|.
又AB2+AC2=BC2=26，所以△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角
7.
答案: 思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1).
由两点间的距离公式，有|CM|=.
∴AB边上的中线CM的长为.
答案:
9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.
解:以B为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设等边△ABD和△BCE的边长分别为2a和2b，于是可得相关各点坐标：B(0，0)，A(-2a,0)，C(2b,0)，D(-a,)，E(b,),由两点间的距离公式，则|AE|=，
|CD|=，所以|AE|=|CD|
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
思路解析:根据题意，可将问题用数学表达式写出：已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.
求证：对角线AC=BD.
所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明.
解:设等腰梯形ABCD中，AB∥CD，并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和ｃ，建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.
可设A(-a，0)，B(a，0)，D(-b，c)，C(b，c)，
则由两点间距离公式得｜AC｜=，
｜BD｜=，∴|AC|=｜BD｜，即等腰梯形两对角线长相等.
3.3.2 两点间的距离
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法
启发引导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习数轴上两点的距离公式.
设问一：
同学们能否用以前所学知识解决以下问题：
已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2|
设置情境导入新课
概念形成
过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.
在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2，
|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.
通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.
应用举例
例1 已知点A (–1，2)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.
解：设所求点P (x，0)，于是有
∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11
解得x = 1
∴所求点P (1，0)且
同步练习，书本112页第1、2题.
教师讲解思路，学生上台板书.
教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出
解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为
线段AB的垂直平分线的方程是
在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.
所以所求点P的坐标为(1，0).因此
通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).
设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，
|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2
|AC|2 = (a + b)2 + c2，
|BD|2 = (b – a)2 + c2
所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =
2 (a2 + b2 + c2)
|AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，
|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运算.
第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题.
让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.
归纳总结
主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.
师生共同总结
让学生更进一步体会知识形成过程
课后作业
布置作业
见习案3.3的第二课时.
由学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标
【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：
解得：x = 11或x = –5.
所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2 在直线l：3x – y – 1 = 0上求一点P，使得：
（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).
AB′：2x + y – 9 = 0
由 解得P(2，5).
（2）C关于l对称点
由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|
当P是AC′与l的交点时“=”成立，
∴.
例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P到Q的长度.
【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点
因为QQ′⊥l，k1 = –1，所以
又因为Q′Q的中点在直线l上，所以
所以得，所以Q′(–3，–1)
因为Q′在入射光线所在直线l1上，设其斜率为k，
所以
l1：即2x – 5y + 1 = 0
（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M|
所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| =
所以沿这光线从P到Q的长度为.
入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
课后提升作业 二十二
两条直线的交点坐标 两点间的距离
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为 ( )
A.12 B.10 C.-8 D.-6
【解析】选B.将点(2，-1)代入3x+my-1=0可求得m=5，将点(2，-1)代入4x+3y-n=0，得n=5，所以m+n=10.
2.直线y=2x+10，y=x+1，y=ax-2交于一点，则a的值为 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】可先求直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标，然后将交点坐标代入直线y=ax-2即可求出a的值.
【解析】选C.直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标为(-9，-8)，代入y=ax-2，得-8=a· (-9) -2，所以a=.
3.直线y=x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于 ( )
A.4 B.4 C.2 D.2
【解析】选B.由题意易知P(1，1)，Q(5，5)，
所以|PQ|==4.
4.经过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y=0的直线方程是
( )
A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0
C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0
【解析】选A.首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为-2，可得方程y-6=-2(x-1)，即2x+y-8=0.
5.(2018·长沙高一检测)已知直线上两点A，B的坐标分别为(3，5)，(a，2)，且直线与直线3x+4y-5=0垂直，则|AB|的值为 ( )
A. B. C. D.5
【解析】选B.由直线的斜率计算公式可得：kAB=，又直线3x+4y-5=0的斜率为-，则有×=-1，即有a=，所以|AB|==.
【延伸探究】本题中条件“与直线3x+4y-5=0垂直”若换为“与直线3x+4y-5=0平行”，其结论又如何呢？ 【解析】选D.因为kAB=，又因为直线3x+4y-5=0的斜率为-.故=-，即a=7，所以|AB|==5.
6.(2018·杭州高一检测)已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1，p)，则m-n+p= ( )
A.24 B.20 C.0 D.-4
【解题指南】先由两直线垂直求出m的值，然后由垂足是两直线的交点即可求p与n.
【解析】选B.因为两直线互相垂直，
所以-·=-1，所以m=10..Com]
又因为垂足为(1，p)，所以代入直线10x+4y-2=0得p=-2，
将(1，-2)代入直线2x-5y+n=0得n=-12，
所以m-n+p=20.
7.(2018·成都高一检测)已知A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选C.|AB|=
==，
所以当a=时，|AB|取最小值.
8.直线m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0(m，n∈R且m，n不同时为0)经过定点 ( )
A.(-1，1) B.( 1，-1)
C.(2，1) D.(1，2)
【解析】选A.m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0表示过两直线交点的直线系方程，解方程组得x=-1，y=1，所以直线m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0(m，n∈R且m，n不同时为0)经过定点为(-1，1).
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·深圳高一检测)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.
【解析】设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.
令x=0，得y=；
令y=0，得x=.
由=，得λ=或λ=.
直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.
答案：x+y+1=0或3x+4y=0
10.(2018·汉口高一检测)已知点M(m，-1)，N(5，m)，且|MN|=2，则实数m=____________.
【解析】由题意得=2，解得m=1或m=3.
答案：1或3
【补偿训练】已知点(x，5)关于点(1，y)的对称点
为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点O的距离是____________.
【解析】因为点(x，5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则解得
则|OP|==.
答案：
三、解答题
11.(10分)已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A(-4，0)，B(2，0)，试求：(1)C点坐标.(2)△ABC的面积.
【解析】(1)因为△ABC为等边三角形，
所以|AC|=|BC|=|AB|，.Com]
因为|AB|=|-4-2|=6，所以设C(x，y)，
得解得
所以所求点C的坐标为(-1，±3).
(2)因为|AB|=6，所以S△ABC=×62=9.
【补偿训练】已知直线l经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点.
(1)若直线l平行于直线3x-2y+4=0，求直线l的方程.
(2)若直线l垂直于直线4x-3y-7=0，求直线l的方程.
【解析】由得即直线2x+y-8=0和x-2y+1=0交于点(3，2)，
所以直线l经过点(3，2)，
(1)因为直线l平行于直线3x-2y+4=0，可设直线l的方程为3x-2y+m=0，则有3×3-2×2+m=0得m=-5，
所以直线l的方程为3x-2y-5=0.
(2)因为直线l垂直于直线4x-3y-7=0，可设直线l的方程为3x+4y+n=0，则有
3×3+4×2+n=0得n=-17，
所以直线l的方程为3x+4y-17=0.
课件30张PPT。新知自解相交(x0，y0)0平行1相交无数重合答案： D答案： C答案： －2或4课堂探究答案： (1)1或3 (2)(0,0)或(6,0)
谢谢观看！课件34张PPT。第三章 § 3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；
3.掌握两点间距离公式并会应用.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 直线的交点与直线的方程组解的关系思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.答案答案思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案 (1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合.答案1.两直线的交点A1a＋B1b＋C1＝0答案2.两直线的位置关系无解无数个相交平行知识点二 两点间的距离已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？
答案 |P1P2|＝|x2－x1|.
思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
答案 |P1P2|＝|y2－y1|.答案返回思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由.
答案 如图，
在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 两条直线的交点问题
例1 (1)直线l1：2x－6y＝0与直线l2： 交点的个数为___.②×6－①，得3＝0矛盾，
故方程组无解，
∴两直线无交点.0解析答案(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则
k＝________.解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，解得k＝±6.±6解析答案(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________.反思与感悟∴两直线交点为(－1，－2)，2x－y＝0解析答案反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1 (1)直线l1：2x－6y＋3＝0与l2： 的位置关系是______.解析答案②×6，整理得2x－6y＋3＝0，
所以①、②可以化成同一方程，
即①和②表示同一条直线，
∴l1与l2重合.重合(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0的交点，且与x＋3y－1＝0平行的直线l的方程.设所求的直线方程为x＋3y＋c＝0，即5x＋15y＋24＝0.解析答案类型二 两点间的距离公式及其应用例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；解析答案∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形.解析答案反思与感悟(2)求△ABC的面积.∴△ABC的面积为26.反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.跟踪训练2 已知点A(－1,2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.解析答案∵|PA|＝|PB|，得x＝1，∴P(1,0)，类型三 运用坐标法解决平面几何问题例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2
＝2(|AD|2＋|DC|2).解析答案反思与感悟证明 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，
如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0).
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)解析答案故|AC|＝|BD|.解析答案类型四 直线恒过定点问题
例4 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是____________.解析答案解析 方法一 取m＝1，得直线y＝－4.
取m＝ ，得直线x＝9.
故两直线的交点为(9，－4)，
下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4).
将x＝9，y＝－4代入方程，
左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，
故直线恒过点(9，－4).反思与感悟方法二 直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
∵对任意m该方程恒成立，故直线恒过定点(9，－4).答案 (9，－4)反思与感悟反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).返回解析答案跟踪训练4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.解析答案解 方法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0.得两条直线的交点坐标为(2，－3).
将点(2，－3)代入方程组左边，
得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，
所给直线均经过定点(2，－3).返回方法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0
整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).123达标检测 4解析答案1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )B1234解析答案2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0
解析 首先解得交点坐标为(1,6)，
再根据垂直关系得斜率为－2，
可得方程y－6＝－2(x－1)，
即2x＋y－8＝0.A12343.已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则 的值为( )解析 由两点间的距离公式，D解析答案1234解析答案4.当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为__________.
解析 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，
则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即 (－1，－2).(－1，－2)规律与方法1.方程组 有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.返回§3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
一、基础过关
1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为 ( )
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6 C．±6 D．以上答案均不对
5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
6．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．
7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距的两倍的直线l的方程．
二、能力提升
9．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是
( )
A. B．(0,2)
C. D.
10．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，
－1)，则直线l的斜率为 ( )
A. B. C．－ D．－
11．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
三、探究与拓展
13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
答案
1．D 2．A 3.B 4．C
5．2
6．8x＋16y＋21＝0
7．解 (1)≠，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)＝≠，所以方程组没有解，两直线平行．
(3)＝＝，方程组有无数个解，两直线重合．
8．解 (1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0.
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
∴－＝2·
解之得λ＝，此时y＝x.
即2x－3y＝0.
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0.
9．A 10．D
11．(－1，－2)
12．解 如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A
的角平分线所在直线的交点．
由，得，
故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1，
∴AC所在直线方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，∴BC所在直线方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
13．解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组，解得，
∴反射光线与直线l的交点坐标为.
3.3.2 两点间的距离
一、基础过关
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于 ( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 ( )
A．5 B．4 C．2 D．2
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是 ( )
A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋2
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．
6．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
7．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
二、能力提升
9．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0) C. D.
10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为 ( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
12．△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．
三、探究与拓展
13．已知直线l过点P(3,1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
答案
1．A 2．C 3．C 4．B
5. 6.(2,10)或(－10,10)
7．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
当x0＝1时，AB方程为x＝1，
当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0.
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
8．证明 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，
以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|.
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
9．B 10．A
11．2
12．证明 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得
b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
13．解 设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②
联立①②可得
或，
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.
