点到直线的距离
【教学目标】
1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.
2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
【重点难点】
教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.
教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.
【教学过程】
导入新课
思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.
思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0).
图1
新知探究
提出问题
①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?
②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？
③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)
活动：
①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:
(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=；
(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=.
观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=?
学生应能得到猜想：d=.
启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)
证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0).
∴P′N=. (*)
∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上,
∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.
代入(*)得|P′N|=
即d=,.
②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.
证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.
又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=.
讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.
②当A=0或B=0时，上述公式也成立.
③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.
应用示例
例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：
(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
解:(1)根据点到直线的距离公式得d=.
(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=.
点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.
变式训练
点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.
解:=4|3a-6|=20a=20或a=.
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.
解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.
|AB|=，
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.
点C到x+y-4=0的距离为h=，
因此，S△ABC=×=5.
点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
变式训练
求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.
解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.
例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.
解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,
d=.
点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.
变式训练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.
答案：.
解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-,)，
则直线MO′的方程为y-3=x.
直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求，
相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.
2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.
3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.
当堂检测
导学案当堂检测
【板书设计】
一、点到直线距离公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
课本习题3.3 A组9、10；B组2、4及导学案课后练习与提高
3.3.3 点到直线的距离
课前预习学案
一、预习目标
让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离
二、学习过程
预习教材P117~ P119，找出疑惑之处
问题1．已知平面上两点，则的中点坐标为 ，间的长度为 .
问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢?
5分钟训练
1.点（0，5）到直线y=2x的距离是( )
A. B. C. D.
2.两条平行直线3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为________________.
3.已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x-y+3=0的距离为1,则a的值等于( )
A. B. C. D.
答案：C
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；??
2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离
3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题
学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.
学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立
二、学习过程
知识点1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.
注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.
例 分别求出点到直线
的距离.
问题2：求两平行线：，：
的距离.
知识点2：已知两条平行线直线，
，则与的距离为
注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.
典型例题
例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：
(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
变式训练
点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.
例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积
变式训练
求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离
当堂检测
课本本节练习.
拓展提升
问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值.
.
学习小结
点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
课后巩固练习与提高
30分钟训练
1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为( )
A. B. C. D.
2.点P(m-n,-m)到直线=1的距离为( )
A. B. C. D.
3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )
A. B. C. D.2
4.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为( )
A.直线2x+y-2=0 B.直线2x+y=0
C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0
5.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1：_________________,l2：_______________.
7.已知直线l过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l的距离为3，求直线l的方程.
8.已知直线l过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l的距离相等，求直线l的方程.
9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a＞0),直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0,且l1与l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列3个条件:①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能,求P点的坐标;若不能,请说明理由.
参考答案
1.解析:由点到直线的距离公式可得d=.
答案：C
2.解析:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得
.
答案：A
3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.
答案：B
4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜=1，解得m=2或m=0.
故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
答案：D
8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB==-1，
即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l的方程为y=1.
综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1.
9.解：(1)根据题意得：l1与l2的距离d=a=3或a=-4(舍).
(2)设P点坐标为(x0,y0),则x0＞0,y0＞0.若P点满足条件②,
则2×｜8x0-4y0+12｜=｜4x0-2y0-1｜,
8x0-4y0+12=4x0-2y0-1或8x0-4y0+12=-(4x0-2y0-1)4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0; ①
若P点满足条件③,
则｜2x0-y0+3｜=｜x0+y0-1｜,
2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-(x0+y0-1),
x0-2y0+4=0或3x0+2=0; ②
由①②得
解得
故满足条件的点P为(-3,)或()或()或().
3.3.3 点到直线的距离
（一）教学目标
1．知识与技能
理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.
2．过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3．情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
（二）教学重点、难点
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
（三）教学方法
学导式
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？
设置情境导入新课
概念形成
1．点到直线距离公式
点P (x0，y0)到直线l：Ax + By + C = 0的距离为
推导过程
方案一：
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种方法.
（1）教师提出问题
已知P (x0，y0)，直线l：Ax + By + C = 0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？
学生自由讨论
（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，
由
得
所以
由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.
所以
可证明，当A = 0时仍适用.
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.
通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.
应用举例
例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离.
解：
例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.
学生分析求解，老师板书
例2 解：设AB边上的高为h，则
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x + y – 4 = 0.
点C到x + y – 4 = 0的距离为h
，
因此，
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化
2．两平行线间的距离d
已知l1：Ax + By + C1 = 0
l2：Ax + By + C2 = 0
证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为
.
又Ax0 + By0 + C2 = 0
即Ax0 + By0= –C2，
∴
教师提问：
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？
学生交流后回答.
再写出推理过程
进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例
例3 求两平行线
l1：2x + 3y – 8 = 0
l2：2x + 3y – 10 =0的距离.
解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是
解法二：直接由公式
课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y – 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.
在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.
开拓学生思维，培养学生解题能力.
归纳总结
小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.
老师和学生共同总结——交流——完善
培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.
课后作业
布置作业
见习案3.3的第三课时
独立完成
巩固深化
备选例题
例1 求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.
解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为：y – 1 = k(x + 2)即kx – y + 2k + 1 = 0.
由，
解得k = 0或.
故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且，则l的方程为x + 2y = 0.
若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1.
所以所求直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0.
例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程.
（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程.
【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0
由P点到两直线的距离相等，即
，所以C = –38.
所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.
（2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0.
则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离，
到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为
所以d1 = d2即，所以.
即l的方程为：.
例3 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3y – 6 = 0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为，因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为，从而方程
即3x – 2y – 7 = 0
又点A(1，–2)到直线BC：2x + 3y – 6 = 0的距离为，
且.
由于点B在直线2x + 3y – 6 = 0上，可设，
且点B到直线AC的距离为
所以或，所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0
所以AC的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0
AB的直线方程为：x – 5y – 11 = 0或5x + y – 3 = 0.
课后提升作业 二十三
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P的坐标为 ( )
A.(8，0) B.(-12，0)
C.(8，0)或(-12，0) D.(0，0)
【解析】选C.设P(x0，0)，因为d==6，
所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.
【延伸探究】本题中“P为x轴一点”若换为“P为y轴上一点”其他条件不变，试求点P的坐标. 【解析】设P(0，y0)，由d==6得|6-4y0|=30，即y0=-6或9. 故点P的坐标为(0，9)或(0，-6).
2.已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为 ( )
A.1 B.-1 C. D.±
【解析】选D.由题意，得=1，
即|a|=，所以a=±.
3.点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为 ( )
A.a>7 B.a<-3.Com]
C.a>7或a<-3 D.a>7或-3
【解析】选C.根据题意，得>3，解得a>7或a<-3.
4.(2018·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是 ( )
A.4 B. C. D.
【解题指南】本题考查两平行直线间的距离公式，d=，先求出直线方程，然后根据两平行线间的距离公式求解.
【解析】选D.因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.
直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，
由两条平行直线间的距离公式可得：
d===.
5.过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为 ( )
A.4x+y-6=0
B.x+4y-6=0
C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0
D.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
【解题指南】由点斜式设出直线方程，根据点到直线的距离公式，建立关系求解.
【解析】选D.显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
【误区警示】此题易错在用直线的点斜式方程，不考虑斜率不存在时不成立.其次求出两个解，只考虑与直线AB平行不考虑相交情况舍掉一个解.
6.(2018·泸州高一检测)点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P坐标为( )
A.(1，2) B.(2，1)
C.(1，2)或(2，-1) D.(2，1)或(-1，2)
【解题指南】本题考查点到直线的距离公式，设点P坐标为(a，5-3a)，代入距离公式即可求出答案..Com]
【解析】选C.设点P坐标为(a，5-3a)，
由题意知：d==，
解之得a=1或a=2，所以点P坐标为(1，2)或(2，-1).
7.过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是 ( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.x+3y-5=0
【解析】选A.所求直线与两点A(1，2)，O(0， 0)连线垂直时与原点距离最大.kOA=2，故所求直线的斜率为-，方程为y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0.
8.两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是
( )
A.0C.0【解析】选B.当两平行线垂直于AB时它们之间的距离最大，此时d=|AB|==5，故0二、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知直线l与两直线l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0平行且距离相等，则l的方程为__________.
【解析】设所求的直线方程为2x-y+c=0，分别在l1：2x-y+3=0和l2：2x-y-1=0上取点A(0，3)和B(0，-1)，则此两点到2x-y+c=0距离相等，即=.
解得c=1，直线l的方程为2x-y+1=0.
答案：2x-y+1=0
10.(2018·沧州高一检测)已知直线l1：2x-y+a=0，l2：4x-2y-1=0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a=________.
【解析】由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0，a)，依题意得，l1与l2的距离为=，整理得=，解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a=3.
答案： 3
三、解答题
11.(10分)在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.
【解析】由题知|AB|==5，
因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.
设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.
所以
解得或
所以点C的坐标为(-1，0)或.
【补偿训练】如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
【解析】设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1， 0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC=b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.
课件38张PPT。新知自解垂线段一点距离答案： D答案： D课堂探究
谢谢观看！课件37张PPT。第三章 § 3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离1.了解点到直线距离公式的推导方法；
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；
3.初步掌握用解析法研究几何问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 点到直线的距离
思考1 如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？答案思考2 根据思考1的思路，点P到直线
Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？思考3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
答案 仍然适用，
①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，答案②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，答案1.定义：点到直线的 的长度.
2.图示：垂线段3.公式：.知识点二 两条平行直线间的距离思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
答案 点A、B、C到直线l2的距离分别为
规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.答案1.定义：夹在两平行线间的 的长.
2.图示：
3.求法：转化为点到直线的距离.公垂线段答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.②3y＝4；
解 3y＝4可化为3y－4＝0，解析答案③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0，解析答案(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程. 解析答案反思与感悟解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意，
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.解析答案反思与感悟反思与感悟方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，
设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，当l过AB的中点(－1,4)时，
直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.(1)应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是__________.解析答案(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为_____________________________.解析答案解析 过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，
故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离
为____.将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，解析答案(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为____________.解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0，解析答案反思与感悟得c＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.2x－y＋1＝0跟踪训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线
方程；解析答案解 方法一 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.所以C＝32，或C＝－20，方法二 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，解得C＝32，或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.解析答案(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2距离为5，求两直线方程.
解 依题意，两直线的斜率存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.类型三 利用距离公式求最值例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 的最小值为________.解析答案∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，解析答案反思与感悟②求当d取最大值时，两条直线的方程.两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在直线方程为y＝x，解析答案∴P点坐标为(2,2).(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.解 由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，解析答案即x＋2y－5＝0.类型四 对称问题解析答案反思与感悟例4 求点P(－5,13)关于直线l：2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标.反思与感悟解 设P′的坐标为(x0，y0)，即2x0－3y0－55＝0. ①即3x0＋2y0－11＝0. ②∴P′的坐标为(11，－11).(2)直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程.返回跟踪训练4 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程.解析答案返回解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，
两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.123达标检测 45解析答案1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A.1 B.－1D12345解析答案2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( )解析 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，C123453.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为( )解析 ∵点A关于x轴的对称点A′(－3，－5)，由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离.C解析答案12345解析答案4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，
则a＋d＝____. 10∴a＋d＝10.12345解析答案5.在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是__________.
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|为最小，(5，－3)∴所求点的坐标为(5，－3).1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.
2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.
3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝ 求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平分两条件列方程组可求解对称点坐标.返回3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
一、基础过关
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C. D．±
2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是 ( )
A. B．2 C. D．2
3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为 ( )
A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积S.
8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
二、能力提升
9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋 转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是 ( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程．
三、探究与拓展
13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在直线方程．
答案
1．D 2.B 3．C 4．C
5.
6．2x＋y－5＝0
7．解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题意知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，
即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝＝2，
又|BC|＝＝4，
则S△ABC＝·|BC|·d
＝×4×2＝8.
8．解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
9．C 10．B
11．①⑤
12．解 因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.
又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.
解得C＝21或C＝5.
故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
13．解 已知BC的斜率为－，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而方程y＋2＝
(x－1)，即3x－2y－7＝0，又点A(1，－2)到直线BC：2x＋3y－6＝0的距离为|AC|＝，且|AC|＝|BC|＝.由于点B在直线2x＋3y－6＝0上，可设B(a,2－a)，且点B到直线AC的距离为＝，|a－11|＝10.
所以a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝或，
所以B或B
所以直线AB的方程为y＋2＝·(x－1)或y＋2＝(x－1)．即x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0，
所以AC所在的直线方程为3x－2y－7＝0，AB所在的直线方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.
