第三章 直线与方程
§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一、基础过关
1．下列说法中：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②任何一条直线都有唯一的斜率；
③倾斜角为90°的直线不存在；
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为 ( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 ( )
A．－2 B．0 C. D．2
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
5．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为__________．
6．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_______．
7. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
/
8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的
坐标．
二、能力提升
9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 ( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
10. 若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则 ( )
/
A．k1C．k311．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________．
12．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．
答案
1．B 2．C 3.B 4．C
5．30°或150° 或－
6．(－2,1)
7．解 直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°.
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－.
8．解 设P(x,0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，
由光的反射定律得kPA＝－kPB，
即＝，解得x＝2，即P(2,0)．
9．D 10．D
11.20°≤α<200°
12．解 如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，
∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴kAB＝tan 150°＝－，
kAC＝tan 30°＝.
13．解 画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
由图象可知：>>.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、基础过关
1．下列说法中正确的有 ( )
①若两条直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为 ( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
3．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为 ( )
A．45° B．135° C．－45° D．120°
4．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1
5．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l1与过点C(4,5)和点D(a，－7)的直线l2平行，则a＝________.
6． 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
7．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD.
(2)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)且l1⊥l2，求实数a的值．
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．
/
二、能力提升
9．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是 ( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
10．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是____________．
11．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
三、探究与拓展
13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．
答案
1．A 2．A 3.B 4.D
5．52
6．2 －
7．(1)证明 由斜率公式得：
kAB＝＝，
kCD＝＝－，
则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.
(2)解 ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
8．解 由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形．
9．B
10．平行或重合
11．(－19，－62)
12．解 由斜率公式可得
kAB＝＝，
kBC＝＝0，
kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
13．解 ∵四边形ABCD是直角梯形，
∴有2种情形：
(1)AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD∥BC，AD⊥AB，
?
∴.
综上或.
3.2.2 直线的两点式方程
一、基础过关
1．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是 ( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程 ( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
3．直线－＝1在y轴上的截距是 ( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是 ( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
5．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．
6．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是______________．
7．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程．
8．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
二、能力提升
9．直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是 ( )
/
/
10．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是 ( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
11．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．
12．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．
三、探究与拓展
13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．
答案
1．D 2.B 3.B 4.B
5.＋＝1或＋y＝1
6.＋＝1
7．解 设所求直线l的方程为y＝kx＋b.
∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b.
令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；
令y＝0，∴x＝－，与x轴的交点为.
根据勾股定理得2＋b2＝37，
∴b＝±6.因此直线l的方程为y＝6x±6.
8．解 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为
＝，
即7x－y－11＝0，化为截距式方程为
－＝1.
9．B 10．D
11．(0,1)
12．解 (1)由截距式得＋＝1，
∴AC所在直线的方程为x－2y＋8＝0，
由两点式得＝，
∴AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.
(2)D点坐标为(－4,2)，由两点式得＝.
∴BD所在直线的方程为2x－y＋10＝0.
(3)由kAC＝，∴AC边上的中垂线的斜率为－2，又D(－4,2)，
由点斜式得y－2＝－2(x＋4)，
∴AC边上的中垂线所在直线的方程为2x＋y＋6＝0.
13．解 当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，
故直线l的斜率为，
∴所求直线方程为y＝x，
即x－7y＝0.
当直线l不过原点时，
设其方程为＋＝1，
由题意可得a＋b＝0，①
又l经过点(7,1)，有＋＝1，②
由①②得a＝6，b＝－6，
则l的方程为＋＝1，
即x－y－6＝0.
故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0.
3.2.3 直线的一般式方程
一、基础过关
1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为 ( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则 ( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
3．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为 ( )
A. B.或0 C．0 D．－2或0
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
5．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
6．若直线l1：x＋ay－2＝0与直线l2：2ax＋(a－1)y＋3＝0互相垂直，则a的值为________．
7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．
二、能力提升
9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是 ( )
/
10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( )
A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0
C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝0
11．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________________．
12．已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m为何值时，直线l1与l2平行．
三、探究与拓展
13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
答案
1．D 2.D 3.A 4.A
5．－
6．0或－1
7．解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
8．解 设直线为Ax＋By＋C＝0，
∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B＝－C，B＝－.
由三角形面积为6，得||＝12，
∴A＝±，
∴方程为±x－y＋C＝0，
所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.
9．C 10．D
11．x－y＋1＝0
12．解 当m＝5时，l1：8x＋y－11＝0，l2：7x－8＝0.
显然l1与l2不平行，同理，当m＝－3时，l1与l2也不平行．
当m≠5且m≠－3时，l1∥l2?，
∴m＝－2.
∴m为－2时，直线l1与l2平行．
13．(1)证明 将直线l的方程整理为
y－＝a(x－)，
∴l的斜率为a，且过定点A(，)．
而点A(，)在第一象限，故l过第一象限．
/
∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)解 直线OA的斜率为k＝＝3.
∵l不经过第二象限，∴a≥3.
§3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
一、基础过关
1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为 ( )
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6 C．±6 D．以上答案均不对
5．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
6．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．
7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距的两倍的直线l的方程．
二、能力提升
9．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是
( )
A. B．(0,2)
C. D.
10．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，
－1)，则直线l的斜率为 ( )
A. B. C．－ D．－
11．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．
12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
三、探究与拓展
13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
答案
1．D 2．A 3.B 4．C
5．2
6．8x＋16y＋21＝0
7．解 (1)≠，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)＝≠，所以方程组没有解，两直线平行．
(3)＝＝，方程组有无数个解，两直线重合．
8．解 (1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0.
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
∴－＝2·
解之得λ＝，此时y＝x.
即2x－3y＝0.
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0.
9．A 10．D
11．(－1，－2)
12．解 如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A
的角平分线所在直线的交点．
由，得，
故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1，
∴AC所在直线方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，∴BC所在直线方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
13．解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组，解得，
∴反射光线与直线l的交点坐标为.
3.3.2 两点间的距离
一、基础过关
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于 ( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 ( )
A．5 B．4 C．2 D．2
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是 ( )
A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋2
4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．
6．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
7．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
二、能力提升
9．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0) C. D.
10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为 ( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
12．△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．
三、探究与拓展
13．已知直线l过点P(3,1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
答案
1．A 2．C 3．C 4．B
5. 6.(2,10)或(－10,10)
7．解 由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
当x0＝1时，AB方程为x＝1，
当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0.
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
8．证明 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，
以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|.
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
9．B 10．A
11．2
12．证明 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得
b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
13．解 设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②
联立①②可得
或，
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
一、基础过关
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C. D．±
2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是 ( )
A. B．2 C. D．2
3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为 ( )
A．3x－4y－11＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)．
(1)求BC边的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积S.
8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
二、能力提升
9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋 转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是 ( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程．
三、探究与拓展
13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在直线方程．
答案
1．D 2.B 3．C 4．C
5.
6．2x＋y－5＝0
7．解 (1)设BC边的高所在直线为l，
由题意知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，
即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线方程为
y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，
点A(－1,4)到BC的距离
d＝＝2，
又|BC|＝＝4，
则S△ABC＝·|BC|·d
＝×4×2＝8.
8．解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
9．C 10．B
11．①⑤
12．解 因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.
又2d1＝d2，∴2|C－9|＝|C＋3|.
解得C＝21或C＝5.
故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
13．解 已知BC的斜率为－，因为BC⊥AC，所以直线AC的斜率为，从而方程y＋2＝
(x－1)，即3x－2y－7＝0，又点A(1，－2)到直线BC：2x＋3y－6＝0的距离为|AC|＝，且|AC|＝|BC|＝.由于点B在直线2x＋3y－6＝0上，可设B(a,2－a)，且点B到直线AC的距离为＝，|a－11|＝10.
所以a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝或，
所以B或B
所以直线AB的方程为y＋2＝·(x－1)或y＋2＝(x－1)．即x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0，
所以AC所在的直线方程为3x－2y－7＝0，AB所在的直线方程为x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.
章末检测
一、选择题
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为 ( )
A．－3 B．－6 C．－ D.
3．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为( )
A. B. C．10 D．－10
4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 ( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
5．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
6．点M(1,2)与直线l：2x－4y＋3＝0的位置关系是 ( )
A．M∈l B．M?l C．重合 D．不确定
7．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是 ( )
A．mn>0 B．mn<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n<0
8．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 ( )
A．k≤或k≥ B．k≤－或k≥－
C.≤k≤ D．－≤k≤－
9．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为 ( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
10．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是 ( )
A．y＝1 B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
11．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线x－y＝3倾斜角的2倍，则 ( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
12．过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于 ( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
二、填空题
13．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.
14．甲船在某港口的东50 km，北30 km处，乙船在同一港口的东14 km，南18 km处，那么甲、乙两船的距离是________．
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
16．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，则的最大值为________．
三、解答题
17．已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
18．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
19．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的方程．
20．如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
21．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
22．某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．
/
答案
1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B
13．－2或4或6
14．60 km
15．－
16．2
17．解 在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x＝－.若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.
18．解 设直线l2上的动点P(x，y)，直线l1上的点Q(x0,4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．
∴直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
19．解 (1)设C(x0，y0)，则AC中点M，
BC中点N.
∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.
∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．
(2)∵M，N(1,0)．
∴直线MN的方程为＋＝1.
即5x－2y－5＝0.
20．解 设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，
由条件可得：
，
得，
解得，即B(6,4)，
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0.
21．解 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的坐标为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
22．解 在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x轴，y轴，建立直角坐标系，
/
则AB的方程为＋＝1，
设P，则长方形的面积
S＝(100－x)(0≤x≤30)．
化简得S＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．
当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为6 017 m2.
单元质量评估(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.已知点A(1，)，B(-1，3)，则直线AB的倾斜角是 ( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
【解析】选C.直线AB的斜率为=-，则直线AB的倾斜角是120°.
2.(2018·兰州高一检测)直线-=1在y轴上的截距为 ( )
A.|b| B.-b2
C.b2 D.±b
【解析】选B.令x=0，则y=-b2.
【误区警示】解答本题易出现选C的错误，出现这种错误的原因是对直线截距的定义理解不准确.
3.过点P(-1，3)，且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为 ( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0
【解析】选A.根据垂直关系可知k=-2，所以y-3=-2(x+1)，即2x+y-1=0.
【延伸探究】本题中条件“垂直于直线x-2y+3=0”若换为“平行于直线x-2y+3=0”，其他条件不变，其结论又如何呢？
【解析】选D.设所求直线方程为x-2y+m=0，
因为直线过P(-1，3)，
故-1-6+m=0，
所以m=7，
即所求直线方程为x-2y+7=0.
4.(2018·武汉高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 ( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
【解析】选B.kAB==-2，
所以m=-8.
因为B(-8，4)不在直线2x+y-1=0上，
所以m=-8符合题意.
5.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a的值为 ( )
A.-3 B.-6
C. D.
【解析】选B.由题意得a·(-1)-2×3=0，
所以a=-6.
【补偿训练】直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0垂直，则m的值为
( )
A. B.- C.或- D.-或-
【解析】选B.因为l1⊥l2，所以2m+3(m+1)=0，所以m=-.
6.(2018·长沙高一检测)直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有 ( )
A.k=-，b=3 B.k=-，b=-2
C.k=-，b=-3 D.k=，b=2
【解析】选C.直线方程一般式化成斜截式，3x+2y+6=0可化为y=-x-3，所以k=-，b=-3.
7.(2018·成都高一检测)点A(1，3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2，1)，则直线y=kx+b在x轴上的截距是 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选D.由题意知解得k=-，b=，所以直线方程为y=-x+，其在x轴上的截距为.
8.(2018·许昌高一检测)直线x+2y-5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于 ( )
A.0 B.-20
C.0或-20 D.0或-10
【解析】选C.直线2x+4y+a=0可化为x+2y+=0，
由题意得：=，即a=0或a=-20..Com]
9.实数x，y满足方程x+y-4=0，则x2+y2的最小值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】选C.令t=x2+y2，则t表示直线上的点到原点距离的平方，所以tmin=8.
10.(2015·郑州高一检测)已知两点A(3，2)和B(-1，4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值等于 ( )
A.0或- B.或-6
C.-或 D.0或
【解析】选B.依题意得=，所以|3m+5|=|m-7|，所以3m+5=m-7或3m+5=7-m，所以m=-6或m=.
11.设△ABC的一个顶点是A(3， -1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为 ( )
A.y=2x+5 B.y=2x+3
C.y=3x+5 D.y=-x+
【解题指南】分别求出点A关于∠B，∠C的平分线的对称点坐标，再利用角平分线的性质及两点式得BC的方程.
【解析】选A.点A(3，-1)关于直线x=0，y=x的对称点分别为A′(-3，-1)，
A″(-1，3)，由角平分线的性质知，点A′和点A″都在直线BC上，故得直线BC的方程为y=2x+5.
12.已知直线y=x+3k-2与y=-x+1的交点在第一象限，则k的取值范围是
( )
A. B.
C.(0，1) D.
【解析】选A.由方程组
解得
所以直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点坐标为.
要使交点在第一象限，则
解得-所以k的取值范围是.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2018·北京高一检测)若直线m被两平行线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；
④60°；⑤75°，其中正确答案的序号是__________.(写出所有正确答案的序号)
【解析】两平行线间的距离为d==.
由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.
答案：①⑤
14.过点P(3，4)在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________.
【解析】当直线过原点时设y=kx，因为3k=4，故k=，即y=x.当直线不过原点时设+=1，因为+=1，故a=7，即x+y-7=0.
答案：y=x或x+y-7=0
15.若直线ax+by+16=0与x-2y=0平行，并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点，则a=________，b=________.
【解析】若直线ax+by+16=0与直线x-2y=0平行，则a=-. ①
由得
因为点(4，-2)在直线ax+by+16=0上，
所以4a-2b+16=0， ②
由①②可解得a=-2，b=4.
答案：-2 4
16.不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第__________象限.
【解析】直线方程可变形为：(3x-y+7)+a(x+2y)=0，
由得
所以直线过定点(-2，1).因此直线必定过第二象限.
答案：二
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M(2，-1)，求l的方程.
【解析】因为已知直线的斜率为，即tanα=，
所以α=30°，所以直线l的斜率为k=tan2α=tan60°=.
又l过点(2，-1)，
所以l的方程为y-(-1)=(x-2).
即x-y-2-1=0.
18.(12分)已知三角形的顶点为A(2，4)，B(0，-2)，C(-2，3).求：
(1)AB边上的中线CM所在直线的方程.
(2)△ABC的面积.
【解析】(1)由题意有M(1，1)，CM所在直线的方程为2x+3y-5=0.
(2)点A到CM所在直线的距离为d=，|CM|=，
所以S△ABC=2S△ACM=d·|CM|=11.
【补偿训练】如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x-y-2=0，点C(2，0).
(1)求直线CD的方程.
(2)求AB边上的高CE所在直线的方程.
【解析】(1)因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AB∥CD.
所以kCD=kAB=2..Com]
所以直线CD的方程为y=2(x-2)，
即2x-y-4=0.
(2)因为CE⊥AB，
所以kCE=-=-.
所以直线CE的方程为y=-(x-2)，
即x+2y-2=0.
19.(12分)已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A.
(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由.
(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程.
【解析】(1)垂直.直线l1的斜率k1=-，直线l2的斜率k2=2，
因为k1k2=-×2=-1，
所以l1⊥l2.
(2)由方程组
解得点A的坐标为，
直线l3的斜率为-3，
所以所求直线方程为：y-=-3，化为一般式得：3x+y-1=0.
20.(12分)已知直线l1：ax+by+1=0(a，b不同时为0)，l2：(a-2)x+y+a=0，
(1)若b=0，且l1⊥l2，求实数a的值.
(2)当b=3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离.
【解析】(1)当b=0时，l1：ax+1=0，由l1⊥l2，知a-2=0，解得a=2.
(2)当b=3时，l1：ax+3y+1=0，
当l1∥l2时，有解得a=3，
此时，l1的方程为3x+3y+1=0，
l2的方程为x+y+3=0，
即3x+3y+9=0，
则它们之间的距离为d==.
21.(12分)(2018·德州高一检测)已知A(4，-3)，B(2，-1)和直线l：4x+3y-2=0，求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离等于2.
【解题指南】解决此题可有两种思路，一是代数法，由“|PA|=|PB|”和“到直线的距离为2”，列方程求解；二是几何法，利用点P在AB的垂直平分线上及距离为2求解.
【解析】方法一：设点P(x，y).
因为|PA|=|PB|，
所以=.①
又点P到直线l的距离等于2，
所以=2.②
由①②联立方程组，
解得点P(1，-4)或点P.
方法二：设点P(x，y).
因为|PA|=|PB|，
所以点P在线段AB的垂直平分线上，
由题意知kAB=-1，线段AB的中点为(3，-2)，
所以线段AB的垂直平分线的方程是y=x-5.
所以设点P(x，x-5)，
因为点P到直线l的距离等于2，
所以=2.
解得x=1或x=.
所以点P(1，-4)或点P.
22.(12分)已知A-，0，B0，-，其中k≠0且k≠±1，直线l经过点P(1，0)和AB的中点.
(1)求证：A，B关于直线l对称.
(2)当1【解析】(1)因为直线l经过AB的中点，
所以只需再证AB⊥l即可.
因为A-，0，B0，-，
所以AB的中点为-，-.
kAB==-k，kl==，
所以kAB·kl=(-k)·=-1，
所以AB⊥l，
所以A，B关于直线l对称.
(2)kl=，所以直线l方程为y=(x-1)，其在y轴的截距b=-，
因为y=-在(0，+∞)上是单调增函数，
所以1-1<-<-即-1所以直线l在y轴上的截距b的取值范围是-1，-.
阶段通关训练(三)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.(2018·长春高一检测)直线l过点P(-1，2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为 ( )
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x-y-3=0 D.x-y+3=0
【解析】选D.由题意k=tan45°=1，所以直线l的方程为y-2=1×(x+1)，即x-y+3=0.
2.(2018·东北三校高一联考)经过两点A(4，2y+1)，B(2，-3)的直线的倾斜角为135°，则y= ( )
A.-1 B.-3 C.0 D.2
【解析】选B.由==y+2，
得y+2=tan135°=-1.所以y=-3.
3.(2015·杭州高一检测)直线+=1与两坐标轴围成的三角形的周长为 ( )
A.6 B.7 C.12 D.14
【解析】选C.直线+=1与两坐标轴的交点分别为(3，0)，(0，4)，因此与两坐标轴围成的三角形周长为3+4+=12.
4.若两条直线3ax-y-2=0和(2b-1)x+5by-1=0分别过定点A，B，则|AB|等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为直线3ax-y-2=0可化为y=3ax-2，过定点A(0，-2).直线(2b-1)x+5by-1=0可化为(2x+5y)b-(x+1)=0过定点B，
所以|AB|==.
5.(2018·九江高一检测)点P(2，5)到直线y=-x的距离d等于 ( )
A.0 B.
C. D.
【解析】选B.由点到直线的距离公式知d==.
6.与直线l：3x-5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为 ( )
A.3x+5y+4=0 B.3x-5y-4=0
C.5x-3y+4=0 D.5x+3y+4=0
【解析】选A.因为点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，所以只需将已知直线中的变量y变为-y即可，即为3x+5y+4=0.
二、填空题(每小题5分，共20分)
7.(2018·长沙高一检测)直线l与直线y=1，x-y-7=0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，-1)，则直线l的斜率为__________.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=-1，
又y1=1，所以y2=-3，
代入方程x-y-7=0，得x2=4，即B(4，-3)，
又=1，所以x1=-2，即A(-2，1)，
所以kAB==-.
答案：-
8.已知直线l1：(m+1)x+y=2-m和l2：4x+2my=-16，若l1∥l2，则m的值为________.
【解析】当m=0时，l1：x+y=2，l2：x=-4，两直线不平行.当m≠0时，由=≠，得解得m=1.
答案：1
9.已知A(2，0)，B(-1，-1)，P是直线x-y+2=0上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为________.
【解题指南】找出点A关于直线x-y+2=0的对称点A′，A′与B的距离即为所求最小值.
【解析】A关于直线x-y+2=0的对称点为A′(-2，4)，则所求的最小值为
|A′B|，且|A′B|=.
答案：
【补偿训练】已知a，b， c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值为________.
【解析】点(m，n)在直线ax+by+2c=0上，且m2+n2为直线上的点到原点的距离的平方.原点到直线的距离d====2，所以m2+n2≥4.
答案：4
10.若动点A，B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为__________.
【解析】依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x+y+m=0，根据平行线间的距离公式，得=?|m+7|=|m+5|?m=-6，即l：x+y-6=0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为=3..Com]
答案：3
三、解答题(共4小题，共50分)
11.(12分)求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x，y轴上的截距.
【解析】因为直线3x-2y+24=0化成斜截式，
得y=x+12，所以直线的斜率k=，
因为对直线3x-2y+24=0令y=0，得x=-8，
所以直线交x轴于点(-8，0)，可得直线在x轴上截距是-8，因为对直线3x-2y+24=0令x=0，得y=12，
所以直线交y轴于点(0，12)，可得直线在y轴上的截距为12.
12.(12分)如图，已知△ABC中A(-8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0，求直线BC的方程.
【解析】设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，
由条件可得：
得解得即B(6，4)，
又可知C点的坐标为(5，0)，故所求直线BC的方程为=.即4x-y-20=0.
13.(13分)已知直线方程l1：2x+3y-5=0与l2：3x+2y-5=0，
(1)求两直线的交点.
(2)求经过交点，且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.
【解析】(1)由得
故两直线交点为(1，1).
(2)因为所求直线与直线x+4y+3=0平行，
所以可设所求直线方程为x+4y+c=0，
由题意知点(1，1)在直线x+4y+c=0上.
所以1+4+c=0，所以c=-5，
所以所求直线方程为x+4y-5=0.
14.(13分)已知，在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，
所以|AC|==.
又直线AC的方程为x-3y+2=0.
根据点到直线的距离公式，得点B(m，)到直线AC的距离为d=，
所以S=|AC|·d=|m-3+2|
=.
因为1所以-<-<，
所以0≤<，
所以S=-.
所以当-=0，即m=时，S最大，
故当m=时，△ABC的面积最大.
【能力挑战题】 直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12.
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】设直线方程为+=1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a+b+=12，①
又因为直线过点P，所以+=1，②
由①②可得5a2-32a+48=0，
解得或
所以所求直线的方程为+=1或+=1，
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2)，则ab=12，③
由②③整理得a2-6a+8=0，
解得或
所以所求直线的方程为+=1或+=1.
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，直线方程为3x+4y-12=0.
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第 三 章 直线与方程知能整合提升热点考点例析答案： A答案： D答案： B答案： C答案： y＝－2x＋4答案： (5,2)
谢谢观看！课件33张PPT。章末复习课第三章 直线与方程1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；
2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想.要点归纳题型探究达标检测学习目标要点归纳 主干梳理 点点落实1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角α的范围是 .
(3)斜率的求法：
①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标.答案存在0°≤α<180°2.直线方程的几种形式的转化3.两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；y=kx+b答案返回答案类型一 待定系数法的应用题型探究 重点难点 个个击破例1 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程.解析答案反思与感悟解 方法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，
由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0 ，4－y0)，即3x＋y＋1＝0.解析答案反思与感悟方法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.解得k＝－3.解析答案反思与感悟方法三 两直线l1和l2的方程为
(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0， ①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，
整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：
(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0. ②
①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程.反思与感悟反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.跟踪训练1 求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为 的直线的方程.解析答案解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.
当直线不经过原点时，解得a＝2或a＝6.所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0
或x＋y－6＝0.类型二 数形结合思想的应用解析答案反思与感悟解析答案解 将已知条件变形为故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，
∴原函数变为y＝||MA|－|MB||.
则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝|BM|时，y取最小值0.此时点M在坐标原点， y最小＝0.解得x＝0，反思与感悟又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝|AB|，
也即当A、B、M三点共线时，y取最大值.
由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，
令y＝0得x＝3，
∴当x＝3时，反思与感悟数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合.跟踪训练2 已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值.解析答案解 设点P(x，y)，则点P在直线l：4x＋3y－10＝0上，如图所示，当OP⊥l时，|OP|取最小值|OM|，即|OP|的最小值是2.
所以x2＋y2的最小值是4.类型三 分类讨论思想的应用解析答案反思与感悟例3 过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.反思与感悟解 当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意.
当直线的斜率存在时，设其斜率为k，
则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.
令y＝0，得x＝－1与x＝
由题意得 即k＝1.
∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，
即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的两直线方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，
x－y＋2＝0.反思与感悟本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在.解析答案跟踪训练3 已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，
A(－2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.类型四 对称问题的求法解析答案例4 已知直线l：y＝3x＋3，试求：
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；
解 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.∴P′点的坐标为(－2,7).解析答案反思与感悟(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程.
解 设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立.代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.
即l3的方程为3x－y－17＝0.反思与感悟(1)中心对称
①两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1 ，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点.
②两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等.
(2)轴对称
两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上.解析答案跟踪训练4 在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；解 如图，B关于l的对称点B′(3,3).
直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，即P(2,5).解析答案(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.由图象可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|.返回123达标检测 解析答案1.直线l在两坐标轴上的截距相等，且点M(1，－1)到直线l的距离为 ，则直线l的方程为_______________.45解析 当直线l经过原点时，设直线方程为y＝kx，∴直线方程为x－y＝0，
当在坐标轴上的截距不为零时，解得k＝1，即x＋y－a＝0，得a＝±2，∴直线方程为x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0.
综上所述得l的方程为x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.答案 x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝01234解析答案2.已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________.1234∴直线l过点(2,1).
由题意得，当l与点A和交点连线垂直时，点A到l的距离为最大，解析答案3.已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为___________.
解析 由题意知，直线l即为AB的垂直平分线，
∴kl·kAB＝－1，得kl＝1，1234x－y＋1＝0即x－y＋1＝0.解析答案12344.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
解 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.1234(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.解析答案规律与方法1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.返回章末检测
一、选择题
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为 ( )
A．－3 B．－6 C．－ D.
3．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为( )
A. B. C．10 D．－10
4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 ( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
5．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
6．点M(1,2)与直线l：2x－4y＋3＝0的位置关系是 ( )
A．M∈l B．M?l C．重合 D．不确定
7．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是 ( )
A．mn>0 B．mn<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n<0
8．若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 ( )
A．k≤或k≥ B．k≤－或k≥－
C.≤k≤ D．－≤k≤－
9．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为 ( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
10．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是 ( )
A．y＝1 B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
11．直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，而且它的倾斜角是直线x－y＝3倾斜角的2倍，则 ( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
12．过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于 ( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
二、填空题
13．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.
14．甲船在某港口的东50 km，北30 km处，乙船在同一港口的东14 km，南18 km处，那么甲、乙两船的距离是________．
15．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．
16．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，则的最大值为________．
三、解答题
17．已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
18．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．
19．在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的方程．
20．如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
21．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
22．某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．
答案
1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B
13．－2或4或6
14．60 km
15．－
16．2
17．解 在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．∵直线l的斜率k＝，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x＝－.若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0.
18．解 设直线l2上的动点P(x，y)，直线l1上的点Q(x0,4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有
消去x0，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．
∴直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
19．解 (1)设C(x0，y0)，则AC中点M，
BC中点N.
∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.
∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．
(2)∵M，N(1,0)．
∴直线MN的方程为＋＝1.
即5x－2y－5＝0.
20．解 设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，
由条件可得：
，
得，
解得，即B(6,4)，
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0.
21．解 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的坐标为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
22．解 在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x轴，y轴，建立直角坐标系，
则AB的方程为＋＝1，
设P，则长方形的面积
S＝(100－x)(0≤x≤30)．
化简得S＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．
当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为6 017 m2.
