4. 1.1 圆的标准方程
【教学目标】
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．
２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
【教学重难点】
教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
（二）检查预习、交流展示
求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
（三）合作探究、精讲精练
探究一：如何建立圆的标准方程呢？
1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得： (x-a)+(y-b) =r (1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．
解：(1)x+y=9；(2)(x-3)+(y-4)=5；
点评： 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．
变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)+(y-2)=5； (2)(x+4)+(y+3)=7； (3)(x+2)+ y=4
答案：(1) 圆心是(3,2),半径是；(2) 圆心是(－４,－３),半径是；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．
例２ (1)已知两点P(4，9)和P2(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解：(1) 解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为PP的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：(x-5)+(y-6)=10
解法二：(给出板书)
∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP⊥PP．
化简得：x+y-10x-12y+51=0．
即(x-5)+(y-6)=10为所求圆的方程．
解(2)：(学生阅读课本)
分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
点评：1．求圆的方程的方法
(1)待定系数法，确定a，b，r；
(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．
2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r；
(2)点在圆外 d＞r；
(3)点在圆内 d＜r．
变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．
证明：略．
（四）反馈测试
导学案当堂检测
（五）总结反思、共同提高
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
【板书设计】
探究一：圆的标准方程
1．建系设点
2．写点集
3．列方程
4．化简方程
探究二：圆的方程形式特点
例1
变式训练１
例２
变式训练２
课堂小结
【作业布置】
导学案课后练习与提高
4.１.1 圆的标准方程
课前预习学案
预习目标
回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．
预习内容
1：圆的定义是怎样的？
2：圆的特点是什么？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．
２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．
３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．
学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
学习过程
探究一：如何建立圆的标准方程呢？
1．建系设点
2．写点集
3．列方程
4．化简方程
探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3) +(y-2)=5；
(2)(x+4)+(y+3) =7；
(3)(x+2)+ y=4
例２ (1)已知两点P(4，9)和P(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．
反思总结
圆的定义
几何特征
方程特征
待定系数法法
轨迹法法
四．当堂检测
１．圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心、半径是 （ ）
A．(1,－2),4 B．(1,－2),2 C．(－1,2),4 D．(－1,2),2
２．过点A(4,1)的圆C与直线相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为 .
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
参考答案:１．Ｄ ２．
课后练习与提高
１．圆的周长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．
２．点Ｐ（）与圆的位置关系是( )
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定
３．已知圆Ｃ与圆关于直线对称，则圆Ｃ的方程为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
４．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 ．
５.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 ．
６．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．
4.1.1 圆的标准方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
（三）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？
由学生回答，然后引入课题
设置情境引入课题
概念形成
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M (x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件
①
化简可得：(x – a)2 + (y – b)2 = r2②
引导学生自己证明(x – a)2 + (y – b)2 = r2为圆的方程，得出结论.
方程②就是圆心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
通过学生自己证明培养学生的探究能力.
应用举例
例1 写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.
探究：点M(x0，y0)与圆(x – a)2 + (y – b)2 = r2的关系的判断方法：
（1）(x0 – a)2 + (y0 – b)2＞r2，点在圆外.
（2）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2，点在圆上.
（3）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 ＜r2，点在圆内.
引导学生分析探究
从计算点到圆心的距离入手.
例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)2 + ( y + 3)2 =25.
把M1 (5，–7)，M2 (，–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 (，–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)2 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上
通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.
例2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.
例2 解：设所求圆的方程是(x– a)2 + (y – b)2 = r2. ①
因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是
解此方程组，得
所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25.
师生共同分析：从圆的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)
例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在
l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.
比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：
①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本P127 第1、3、4题
师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)
例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率
kAB == –3，
因为线段AB的垂直平分线l′的方程是
y +，
即x –3y –3 = 0.
圆心C的坐标是方程组
的解.
解此方程组，得
所以圆心C的坐标是(–3，–2) .
圆心为C的圆的半径长
r =|AC|== 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x + 3)2 + (y +2)2 =25.
归纳总结
1．圆的标准方程.
2．点与圆的位置关系的判断方法.
3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.
教师启发，学生自己比较、归纳.
形成知识体系
课外作业
布置作业：见习案4.1第一课时
学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)
【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为；
（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.
例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.
解法1：设所求的圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2
由条件知
解方程组得
即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10
解法2：，AB的中点是(0，–4)，
所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0
由得
因为圆心为(–1, –2 )又.
所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.
例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.
.
因为|PA|＜|PB|＜|PC|
所以圆的半径.
故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.
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课后提升作业 二十四
圆的标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是 ( )
A.π B.2π
C. 2π D.2π
【解析】选B.根据圆的方程知半径为，所以该圆的周长为2πr=2π.
2.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是 ( )
A.5 B.3 C.4 D.2
【解析】选A.圆x2+y2=1的圆心为(0，0)，
所以d==5.
3.(2016·武汉高一检测)已知点P(3，2)和圆的方程(x-2)2+(y-3)2=4，则它们的位置关系为 ( )
A.在圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4，
所以点P在圆内.
4.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0，0)对称的圆的标准方程为 ( )
A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5
C. (x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
【解析】选A.圆(x+2)2+y2=5的圆心为(-2，0)，则关于(0，0)对称的圆的圆心为(2，0)，半径不变.
【延伸探究】圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为________. 【解析】设圆心为(a，b)，则=， =-1，所以半径不变. 答案：x2+(y+2)2=5
5.已知一圆的圆心为点A(2，-3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是 ( )
A.(x+2)2+(y-3)2=13
B.(x-2)2+(y+3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
【解析】选B.如图，结合圆的性质可知，圆的半径r=
=.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13..Com]
6.(2016·黑龙江高一检测)当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+ (y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=5
C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5
【解析】选C.直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.
由得所以点C(-1，2)，所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
7.(2016·北京高一检测)设实数x，y满足(x-2)2+y2=3，那么的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】利用的几何意义求解，即=表示P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，结合图形即可求出的最大值.
【解析】选D.如图所示，设过原点的直线方程为y=kx，则与圆有交点的直线中，kmax=，所以的最大值为.
8.(2015·湖南高考)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为，则的最大值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选B.由题意得，AC为圆的直径，
故可设A(m，n)，C(-m，-n)，B(x，y)，
所以++=(x-6，y)，
而(x-6)2+y2=37-12x≤49，
所以的最大值为7.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为 .
【解析】设C(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
【补偿训练】若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆C的方程是________.
【解析】如图所示，设圆心C(a，0)，则圆心C到直线x+2y=0的距离为=，解得a=-5，a=5(舍去)，
所以圆心是(-5，0).故圆的方程是(x+5)2+y2=5.
答案：(x+5)2+y2=5
10.(2016·大庆高一检测)点(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围是________.
【解析】由于点在圆的内部，所以(5+1-1)2+()2<26，
即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.
答案：0≤a<1
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2016·郑州高一检测)求经过A(-1，4)，B(3，2)两点且圆心在y轴上的圆的方程.
【解析】设圆心坐标为(a，b).
因为圆心在y轴上，所以a=0.
设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2.
因为该圆过A，B两点，
所以解得
所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.
12.(2016·台州高一检测)已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值.
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围.
【解析】(1)因为点M在圆上，
所以(6-5)2+(9-6)2=a2，
又由a>0，可得a=.
(2)由两点间距离公式可得
|PN|==，
|QN|==3，
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外，由于3<，所以3
【能力挑战题】
已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x+3y-15=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.
【解析】(1)依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点，
因为AB中点为(1，2)，斜率为1，
所以AB垂直平分线方程为y-2=-(x-1)，
即y=-x+3.
联立解得即圆心为(-3，6)，半径r==2，
所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-6)2=40.
(2)|AB|==4，圆心到AB的距离为d=4，P到AB距离的最大值为d+r=4+2，
所以△PAB面积的最大值为×4×(4+2)=16+8.
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课件34张PPT。
第 四 章 圆与方程新知自解圆心半径答案： B答案： B答案： (x－3)2＋(y－4)2＝25课堂探究答案： C答案： (1)－1谢谢观看！课件29张PPT。第四章 § 4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程1.掌握圆的定义及标准方程；
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 圆的标准方程思考1 确定一个圆的基本要素是什么？
答案 圆心和半径.
思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？
答案 能.
1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标
准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.答案知识点二 点与圆的位置关系思考 点A(1,1)，B(4,0)， 同圆x2＋y2＝4的关系
如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？
答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求圆的标准方程例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.D解析答案(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 ___________________.解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析答案(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.解析答案反思与感悟解析 方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.由题意知解析答案反思与感悟反思与感悟方法二 由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，
∵AB的中点为(0,0)，AB的斜率k＝－1，
则AB的垂直平分线为y－0＝x－0.则所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案 (x－1)2＋(y－1)2＝4反思与感悟(1)直接法
根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程.
(2)待定系数法
①根据题意，设出标准方程；
②根据条件，列关于a，b，r的方程组；
③解出a，b，r，代入标准方程.反思与感悟(3)常见的几何条件与可以转化成的方程
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程.
②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径.
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心.
④弦的垂直平分线经过圆心.跟踪训练1 求下列圆的标准方程：
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
解 设圆心(0，b)，得b＝0或－8，
所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.解析答案(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；
解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.解析答案即5x＋7y－50＝0上，解得圆心坐标为(3,5)，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.
解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，
令y＝0，则x＝2，
∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.解析答案类型二 点与圆的位置关系例2 (1)点P(m2 , 5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.不确定解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，∴点P在圆外.解析答案(2)已知点M(5 ＋1， )在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是____.解得0≤a<1.B[0,1)反思与感悟反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断.
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________________________.解析 由题意知，
(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1，解析答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)类型三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.解析答案当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，解析答案(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，反思与感悟解析答案反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝ 形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.解 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，解析答案(1)x2＋y2的最值；返回(2)x＋y的最值.
解 令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，解析答案123达标检测 4解析答案1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 圆心坐标为(1,1)，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.D1234解析答案2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A.－1C.a>1或a<－1 D.a＝±1
解析 ∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，
∴－1解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
由几何意义可知，1解析答案1234解析答案4.圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________________.
解析 由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.(x－2)2＋(y＋3)2＝5规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心.
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.
(3)圆心与切点的连线长是半径长.
(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.
3.求圆的标准方程常用方法：
(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为 ( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为 ( )
A. B. C．1 D.
5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
二、能力提升
9．方程y＝表示的曲线是 ( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
三、探究与拓展
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B 4．A
5．5＋
6.2＋2＝1
7．解 (1)圆的半径r＝|CP|＝＝5，
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
?
∴所求圆的方程是
x2＋2＝.
8．解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
∴由，
解得
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
9．D 10.D
11．[0,2]
12．解 能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解 设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
