4. 1.2 圆的一般方程
【教学目标】
１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
【教学重难点】
教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
教学难点：圆的一般方程的特点．
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r，现将展开可得x+y-2ax-2by+a+b-r=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
（二）检查预习、交流展示
1.写出圆的标准方程.
2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.
（三）合作探究、精讲精练
探究一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x+y+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D+E-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D+E-4F＜0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
这时，教师引导学生小结方程x+y+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、
法．
2．引出圆的一般方程的定义
当D+E-4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．
探究二：圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0．
(2)
与圆的一般方程
x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F＞0)．
(3)
的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．
当二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x和y的系数相同，不等于零，即A=C≠0；
(2)没有xy项，即B=0；
(3)D+E-4AF＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．
强调指出：
(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；
(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x+y-8x+6y=0，
(2)x+y+2by=0．
解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．
解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．
点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．
变式训练１：
１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（ ）
Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4
Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对
２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（ ）
Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0
Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0
答案：１．Ａ ２．Ｃ
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．
解：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有
解得：D=-8，E=6，F=0，
故所求圆的方程为x+y-8x+6=0．
点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：
(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；
(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．
2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．
变式训练２： 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C∶x+y-2x+10y-24=0和C∶x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
解：解方程组，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．
设所求圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为
解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝．
故所求圆的方程为：(x+3)+(y-3)=10．
（四）反馈测试
导学案当堂检测
（五）总结反思、共同提高
1．圆的一般方程的定义及特点；
2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；
3．用待定系数法，导出圆的方程．
【板书设计】
一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
2．圆的一般方程的定义
二：圆的一般方程的特点
(1)
(2)
(3)
例1
变式训练１：
例2
变式训练２：
【作业布置】
导学案课后练习与提高
4. 1. 2 圆的一般方程
课前预习学案
一．预习目标
回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．
二．预习内容
１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？
２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？
３．圆的方程的求法有哪些？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．
３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．
学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．
学习难点：圆的一般方程的特点．
学习过程
前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r，现将展开可得x+y-2ax-2by+a2+b-r=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．
探究一：圆的一般方程的定义
1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
2．引出圆的一般方程的定义
探究二：圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0． （２）
与圆的一般方程
x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F＞0)． （３）
的系数可得出什么结论？
例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x+y-8x+6y=0，
(2)x+y+2by=0．
变式训练１：
１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（ ）
Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4
Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对
２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（ ）
Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0
Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
变式训练２： 求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x+y-2x+10y-24=0和C2∶x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
反思总结
圆的一般方程
成立的条件
方程特征
待定系数法法
配方法
四．当堂检测
１．方程表示的曲线是（ ）
Ａ．在x轴上方的圆 Ｂ．在y轴右方的圆
Ｃ．x轴下方的半圆 Ｄ．x轴上方的半圆
２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 .
３．求经过两圆x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．
参考答案：１．Ｄ ２．x+y-６x+８y=0 ３．x+y-x+7y-32=0
课后练习与提高
１．方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4+9=0表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
Ａ．－＜m＜1 Ｂ．－1＜m＜
Ｃ．m＜－或m＞1 Ｄ．m＜－1或m＞
２．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于直线x＋y=0对称，则有（ ）
Ａ．D＋E=0 Ｂ．D＋F=0 Ｃ．E＋F=0 Ｄ．D＋E＋F=0
３．经过三点A(0，0)、B(1，0)、C(2，1)的圆的方程为（ ）
Ａ．x2＋y2＋x－3y－2=0 Ｂ． x2＋y2＋3x＋y－2=0
Ｃ． x2＋y2＋x＋3y=0 Ｄ． x2＋y2－x－3y=0
４．方程表示一个圆，则实数的取值范围是 .
５．过点A（－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 .
６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
4.1.2 圆的一般方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
（二）教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
（三）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
课题引入
问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.
让学生带着问题进行思考
设疑激趣导入课题.
概念形成与深化
请同学们写出圆的标准方程：(x – a)2 + (y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.
把圆的标准方程展开，并整理：
x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.
取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①
这个方程是圆的方程.
反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
（1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以为圆心，
为半径的圆；
（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点；
（3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.
只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.
整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.
圆的一般方程的特点：
（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.
②没有xy这样的二次项.
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.
通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.
应用举例
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.
（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0
（2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0
解析：（1）将原方程变为
x2 + y2 – x + 3y += 0
D = –1，E =3，F =.
∵D2 + E2 – 4F = 1＞0
∴此方程表示圆，圆心（，），半径r =.
（2）将原方程化为
x2 + y2 – x + 3y += 0
D = –1，E =3，F =.
D2 + E2 – 4F = –1＜0
∴此方程不表示圆.
学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，而不是D = –4，E = 12，F = 9.
通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.
例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：
即
解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0
∴所求圆的方程为：x2 + y2 – 8x + 6y = 0
；
.
得圆心坐标为(4，–3).
或将x2 + y2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).
例2 讲完后
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
1．根据题设，选择标准方程或一般方程.
2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以
，①
于是有x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3
因为点A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②
把①代入②，得
(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，
整理得
所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.
课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.
教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程.
归纳总结
1．圆的一般方程的特征
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹
教师和学生共同总结
让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
布置作业：见习案4.1的第二课时
学生独立完成
巩固深化
备选例题
例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.
（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；
（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；
（3）2x2 + 2y2 + 2ax – 2ay = 0 (a≠0).
【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，
所以D2 + E2 – 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；
（2）因为D ＝ 2a，E ＝ 0，F ＝ a2，
所以D2 + E2 – 4F ＝ 4a2 – 4a2 = 0， 所以方程（2）表示点(–a，0)；
（3）两边同时除以2，得x2 + y2 + ax – ay = 0，
所以D = a，E = – a，F = 0. 所以D2 + E2 – 4F＞0，
所以方程（3）表示圆，圆心为，半径.
点评：也可以先将方程配方再判断.
例2 已知一圆过P (4，–2)、Q(–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.
【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.
【解析】法一：设圆的方程为：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①
将P、Q的坐标分别代入①得
令x = 0，由①，得y2 + Ey + F = 0 ④
由已知|y1 – y2 | = ，其中y1，y2是方程④的两根.
∴(y1 – y2)2 = (y 1 + y2) – 4y1y2 = E2 – 4F = 48 ⑤
解②③⑤联立成的方程组，得
故所求方程为：x2 + y2 – 2x – 12 = 0或x2 + y2 – 10x – 8y + 4 = 0.
法二：求得PQ的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①
∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a – 1)，
又圆C的半径 ②
由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为|a|.
代入②并将两端平方，得a2 – 5a + 5 = 0，
解得a1 = 1，a2 = 5.
∴
故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.
【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.
（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.
例3 已知方程x2 + y2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求
（1）t的取值范围；
（2）该圆半径r的取值范围.
【解析】原方程表示一个圆的条件是
D2 + E2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0
即7t2 – 6t – 1＜0，∴
（2）
∴
课后提升作业 二十五
圆的一般方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程为 ( )
A.(x+1)2+y2=2
B.(x+1)2+y2=4
C.(x-1)2+y2=2
D.(x-1)2+y2=4
【解析】选B.圆x2+2x+y2=0的圆心坐标为(-1，0)，所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=4.
2.方程x2+y2-2ax+2=0表示圆心为C(2，0)的圆，则圆的半径r= ( )
A. B.2 C. D.4
【解析】选A.方程配方得(x-a)2+y2=a2-2，由于圆心C(2，0)，所以a=2，因此r==.
3.(2018·聊城高一检测)两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圆心连线方程为
( )
A.x+y+3=0
B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0
D.4x-3y+7=0
【解析】选C.两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，直线方程为y=(x-3)，即3x-y-9=0.
【延伸探究】本题条件不变，则两圆的圆心连线的垂直平分线方程是________. 【解析】两圆的圆心为A(2， -3)与B(3，0)，AB的中点为，故AB的垂直平分线方程为y+=-，即2x+6y+4=0.所以x+3y+2=0. 答案：x+3y+2=0
4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是 ( )
A.一个圆
B.只有当a=0时，才能表示一个圆
C.一个点
D.a，b不全为0时，才能表示一个圆
【解析】选D.(2a)2+4b2=4(a2+b2)，
当a=b=0时，方程表示一个点；
当a，b不全为0时，方程表示一个圆.
5.(2018·兰州高一检测)如果圆x2+y2+ax+by+c=0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么 ( )
A.a=0，b≠0，c≠0 B.b=c=0，a≠0
C.a=c=0，b≠0 D.a=b=0，c≠0
【解析】选B.符合条件的圆的方程为+y2=，即x2+y2+ax=0.
所以b=0，a≠0，c=0.
6.若直线3x+y+a=0始终平分圆x2+y2+2x-4y=0的周长，则a的值为 ( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
【解题指南】直线平分圆的周长，说明直线一定过该圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求出a的值.
【解析】选B.因为圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1，2)，所以3x+y+a=0过点(-1，2)，
即-3+2+a=0，
所以a=1.
7.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)连接的线段PQ中点的轨迹方程是 ( )
A.x2+y2+6x+5=0
B.x2+y2-6x+8=0
C.x2+y2-3x+2=0
D.x2+y2+3x+2=0
【解题指南】设出PQ中点的坐标(x，y)，然后用x，y表示出点P的坐标，将P点坐标代入圆的方程即可.
【解析】选C.设PQ中点坐标为(x，y)，则P (2x-3，2y)，代入x2+y2=1，得4x2+4y2-12x+8=0，即x2+y2-3x+2=0.
8.(2018·北京高一检测)若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ2=0表示圆，则λ的取值范围是 ( )
A.(0，+∞) B.
C. D.R
【解析】选C.D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-5λ2>0，
解不等式得λ<.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.
【解析】因为(x+1)2+(y-2)2=5-m，
所以r==，所以m=.
答案：
10.(2018·北京高一检测)已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则圆心为________，半径为________.
【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x-y+2=0上，将代入直线方程得-1-+2=0，解得a=-2.故圆C的方程为x2+y2+2x-2y-3=0.
即(x+1)2+(y-1)2=5，因此圆心为(-1，1)，半径为.
答案：(-1，1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
【解析】圆心C，因为圆心在直线x+y-1=0上，所以---1=0，即D+E=-2.①
又因为半径长r==，
所以D2+E2=20.②
由①②可得或
又因为圆心在第二象限，所以-<0，即D>0.
则
故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
12.点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点的轨迹方程.
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为(2x-2，2y).
因为点P在圆x2+y2=4上，
所以(2x-2)2+(2y)2=4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
【能力挑战题】
已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).
(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.
【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，
所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，
所以a=4，P(4，5)，
所以|PQ|==2，
kPQ==.
(2)因为圆心C坐标为(2，7)，
所以|QC|==4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
所以|MQ|max=4+2=6，
|MQ|min=4-2=2.
【拓展延伸】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系，解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面： (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (2)研究图形的形状、位置关系、性质等.
课件30张PPT。新知自解D2＋E2－4F＞0答案： D答案： D答案： x2＋y2－4y＋3＝0课堂探究
谢谢观看！课件28张PPT。第四章 § 4.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点；
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 圆的一般方程思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，
方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形.答案思考2 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？答案当D2＋E2－4F>0时，返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 圆的一般方程的概念例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，反思与感悟解析答案形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆，
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________；解 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)解析答案(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，解析答案∴该圆的面积为9π.9π类型二 求圆的一般方程例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的方程；解 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得解析答案即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解 由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，
解得a＝2或6.解析答案反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时，
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪训练2 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程.解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得解析答案类型三 与圆有关的轨迹方程例3 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.解析答案反思与感悟反思与感悟解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.用代入法求轨迹方程的一般步骤返回跟踪训练3 已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.解析答案解 设动点P的坐标为(x，y)，
当AP斜率不存在时，中点P的坐标为(1,0).
当AP的斜率存在时，设过点A的弦为MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2).解析答案∵M，N在圆O上，又∵点P为中点，又∵M，N，A，P四点共线，∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0，
经检验，点(1,0)适合上式.
综上所述，返回123达标检测 45解析答案1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为( )
A.(1,2) B.(1，－2)
C.(－1,2) D.(－1，－2) 解析 将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心
坐标是(1，－2).B12345解析答案2.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.C123453.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )解析 由D2＋E2－4F＞0，
得(－1)2＋12－4m＞0，B解析答案12345解析答案4.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆的一般方程.12345因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.12345解析答案5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.12345解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，于是有x0＝8－x ，y0＝6－y . ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆.1.判断二元二次方程表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.
2.待定系数法求圆的方程
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3.求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y).
(2)列出点M满足条件的集合.
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.
(4)将上述方程化简.
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.返回4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是 ( )
A．m≤2 B．m＜ C．m＜2 D．m≤
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于 ( )
A．1 B. C. D．2
3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
4．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
二、能力提升
9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是 ( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
11． 已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
12．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
三、探究与拓展
13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B
5．(0，－1)
6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
9．D 10．A
12．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，
所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，
所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
13．解 设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q的坐标分别代入①，
得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2
＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或.
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
