4. 2.1 直线与圆的位置关系
【教学目标】
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下.
㈡检查预习、交流展示
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？
㈢合作探究、精讲精练
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？
学生：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为
轮船航线所在直线 l 的方程为
.
教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.
让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.
由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法：
方法一：代数法
由直线与圆的方程，得： 消去y，得
因为
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
方法二：几何法
圆心（0，0）到直线的距离
所以，直线与圆相离，航线不受台风影响.
探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？
让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法.
①代数法：
由方程组，
得，
,则方程组有两解,直线与圆相交；，则方程组有一解，直线与圆相切；，则方程组无解，直线与圆相离.
②几何法：
直线与圆相交 ,则；直线与圆相切 ,则；直线与圆相离 ,则.
例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.
解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.
解:(法一)
联立方程组,消y得
因为
所以直线与圆相交.
(法二)
将圆的方程化为.
可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=<5,
所以直线与圆相交.
点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.
变式1.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.
解:将圆的方程化为.
可得圆心Ｃ(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=>5,
所以直线与圆相离.
例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．
解析:可以引导学生画图分析几何性质.
解:(法一)
将圆的方程化为.
可得圆心Ｃ(1,2),半径r=.
圆心到直线的距离
.
弦ＡＢ的长.
(法二)
联立方程组,消y得
得,
则,
所以直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
.
(法三)
联立方程组,消y得
根据一元二次方程根与系数的关系,有
直线l被圆Ｃ截得的弦ＡＢ的长
点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
位置关系
几何特征
方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
方程组有两个不同实根
d△>0
相切
有且只有一公共点
方程组有且只有一实根
d=r
△=0
相离
没有公共点
方程组无实根
d>r
△<0
【板书设计】
直线与圆的位置关系
(1)相交，两个交点；
(2)相切，一个交点；
(3)相离，无交点.
二.实例的解决
方法一
方法二
判断直线与圆位置关系的方法
例题
例1
变式1
例2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
4.2.1 直线与圆的位置关系学案
课前预习学案
预习目标
回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法．
预习内容
初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
怎样判断直线与圆的位置关系呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
学习过程
问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？
如何建立直角坐标系？
根据直角坐标系写出直线和圆的方程.
3.怎样用方程判断他们的位置关系?
探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法？
例1 已知直线l：x＋y－5=0和圆Ｃ：，判断直线和圆的位置关系.
变式１.判断直线x－y＋5=0和圆Ｃ：的位置关系.
例2．求直线l：3x-y-6=0被圆Ｃ：截得的弦ＡＢ的长．
反思总结
位置关系
几何特征
方程特征
几何法
代数法
四．当堂检测
1．已知直线与圆相切，则的值为（ ）
A．8 B．-18 C．－18或8 D．不存在
2．设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平 分线方程是 .
3．求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程．
参考答案:1.Ｃ 2．
3．解：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2
由题意则有
解得a=1，b=-2，r=，故所求圆的方程为
（x-1）2+（y+2）2=2.
课后练习与提高
1．直线与圆没有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.圆在点处的切线方程为
A、 B、 C、 D、
3．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[] B.[] C.[ D.
4．设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则________ ____．
5．已知圆和直线. 若圆与直线没有公 共点，则的取值范围是 .
6．已知圆，定点P(4，0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离？
4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（二）过程与方法
设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；
（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；
（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
（二）教学重点、难点
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.
（三）教学过程设想
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？
师；让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.
生：看图，并说出自己的看法.
启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.
概念形成
2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种
（1）直线与圆相交，有两个公共点.
（2）直线与圆相切，只有一个公共点.
（3）直线与圆相离，没有公共点.
师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.
生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.
得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.
概念深化
3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程.
生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.
使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.
4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？
方法一：利用圆心到直线的距离d.
方法二：利用直线与圆的交点个数.
师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.
生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.
抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.
应用举例
5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？
例1 如图，已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.
分析：方法一：由直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.
6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？
例2 已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0所截得的弦长为，求直线l 的方程.
师：指导学生阅读教科书上的例1.
生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.
例1 解法一：由直线l 与圆的方程，得
消去y，得x2 – 3x + 2 = 0，
因为△= (–3)2 – 4×1×2
= 1＞0
所以，直线l与圆相交，有两个公共点.
解法二：圆x2 + y2 –2y – 4 = 0可化为x2 + (y – 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C (0，1)到直线l 的距离
d =＜.
所以，直线l 与圆相交，有两个公共点.
由x2 –3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.
把x1=2代入方程①，得y1= 0；
把x2=1代入方程①，得y2= 0；
所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是
A (2，0)，B (1，3).
生：阅读例1.
师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.
生：交流自己总结的步骤.
师：展示解题步骤.
例2 解：将圆的方程写成标准形式，得
x2 + (y2 + 2)2 =25，
所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5.
如图，因为直线l 的距离为，所以弦心距为
，
即圆心到所求直线l的距离为.
因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为
y + 3 = k (x + 3)，
即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离
d =.
因此，，
即|3k – 1| =，
两边平方，并整理得到
2k2 –3k –2 = 0，
解得k =，或k =2.
所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为
y + 3 =(x + 3)，
或y + 3 = 2(x + 3).
即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.
体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.
使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.
7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？
8．通过例2的学习，你发现了什么？
半弦、弦心距、半径构成勾股弦关系.
师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题.
生：阅读教科书上的例2，并完成137页的练习题.
师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.
生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.
进一步深化“数形结合”的数学思想.
明确弦长的运算方法.
9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4.
师：引导学生完成练习题.
生：互相讨论、交流，完成练习题.
巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.
归纳总结
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学生思考：
（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
师生共同回顾
回顾、反思、总结形成知识体系
课外作业
布置作业：
见习题4.2 第一课时
学生独立完成
巩固所学知识
备选例题
例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，
（1）圆与直线有两个公共点；
（2）圆与直线只有一个公共点；
（3）圆与直线没有公共点.
解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为，圆的半径.
（1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当d = r，即b= 时，直线与圆相切，有一个公共点；
（3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.
解法2：联立两个方程得方程组.消去y2得
2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0，=16 – 4b2.
（1）当＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；
（2）当＝0，即时，直线与圆有一个公共点；
（3）当＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.
例2 直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25相交，截得弦长l为，求m的方程.
【解析】设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径r = 5，弦长的一半，
所以由勾股定理，得：，
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.
由 ，得或k = 2.
所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.
例3 已知圆C：x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l， 使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.
【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).
解方程组得AB的中点N的坐标，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|.
又，
所以
解得m = 1或m = –4.
所以存在直线l，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0，
并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.
课后提升作业 二十六
直线与圆的位置关系
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切
【解析】选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.
2.(2018·德州高一检测)设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为 ( )
A.± B.±2 C.±2 D.±4
【解析】选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，
即x+y-a=0，
所以=，a=±2.
3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.4
【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长.
【解析】选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.
4.(2018·天水高一检测)过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为 ( )
A.4 B.2 C. D.
【解析】选A.根据题意，知点P在圆上，
所以切线l的斜率k=-=-=.
所以直线l的方程为y-4=(x+2).
即4x-3y+20=0.
又直线m与l平行，
所以直线m的方程为4x-3y=0.
故直线l与m间的距离为d==4.
5.(2018·汉中高一检测)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=x D.y=-x
【解析】选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx的距离为1，所以=1.所以k=±.
又因为切点在第三象限，所以k=.
【补偿训练】圆x2+y2-4x=0在点P(1，)处的切线方程是 ( )
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
【解析】选D.圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为=-，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为，由点斜式得切线方程为：y-=(x-1)，即x-y+2=0.
6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于 ( )
A. B.2-
C.-1 D.+1
【解析】选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.
7.(2018·长沙高一检测)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为 ( )
A.1 B.2 C. D.3
【解析】选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.
8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.0°<α<30° B.0°<α≤60°
C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60°
【解题指南】求出直线与圆相切时的直线的斜率，数形结合即可得到直线l的倾斜角的取值范围.
【解析】选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d==1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·郑州高一检测)过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.
【解析】点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.
所以k=-=-=.
答案：
10.(2018·全国卷Ⅲ)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= .
【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在
△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.
答案:4
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.(2018·广州高一检测)已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P点的切线方程以及切线长.
【解析】如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，
则切线长|PA|=
==2.
(1)若切线的斜率存在，
可设切线的方程为y-3=k(x-2)，
即kx-y-2k+3=0，
则圆心到切线的距离d==1，
解得k=，
故切线的方程为3x-4y+6=0.
(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.
综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.
12.(2018·杭州高一检测)已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.
【解析】(1)因为l与m垂直，且km=-，
所以kl=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，
即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，
所以当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.
当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=k(x+1)，
即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，
所以|CM|==1，
则由|CM|==1，得k=，
所以直线l：4x-3y+4=0.
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
【能力挑战题】
(2015·广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0).
(2)设M(x，y)，则
因为点M为弦AB的中点，
所以C1M⊥AB，
所以·kAB=-1即·=-1，
所以线段AB的中点M的轨迹的方程为
+y2=.
(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心，r=为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)且E，F，
又直线L：y=k(x-4)过定点D(4，0)，
当直线L与圆C相切时，
由=得k=±，
又kDE=-kDF=-=-，kDF=，结合图形可知当k∈∪时，直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.
课件41张PPT。新知自解＜＝＞210＞＝＜答案： B答案： D课堂探究
谢谢观看！课件34张PPT。第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断答案drΔ>0Δ＝0Δ<0由返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线与圆的位置关系的判定例1 已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆
(1)相交；解析答案(2)相切；(3)相离.反思与感悟解 方法一 (代数法)联立消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.
Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)
＝－32k2＋4＝4(1－8k2).(1)(3)当直线和圆相离时，Δ<0，(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝± .解析答案由条件知，圆的半径为r＝1.方法二 (几何法)圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离(3)当直线与圆相离时，d>r，(2)当直线与圆相切时，d＝r，(1)当直线与圆相交时，d(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 (1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相离
C.相交或相切 D.相切解析 由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，
而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，
故直线与圆至少有一个公共点，
故选C.解析答案C(2)过点P(－ ，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________________.解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，解析答案0°≤α≤60°∴0°≤α≤60°.类型二 切线问题例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：
(1)此切线的方程；解析答案解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).
设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.即15x＋8y－36＝0.解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，
则△ABC为直角三角形，解析答案反思与感悟(2)其切线长.∴切线长为4.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－ ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝b或x＝a.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12解析 圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，解析答案D得b＝2或12，故选D.(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：∴点P在圆x2＋y2＝4上，解析答案②切线斜率为2.解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得：类型三 弦长问题例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.解析答案解析 方法一 (交点法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.解析答案解析答案方法二 (弦长公式)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.消去y，得2x2－2x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2 的圆的方程为________________________.解析 设圆的半径为r，由条件，得所以r2＝2＋2＝4，r＝2，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析答案(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4 ，求l的方程.解析答案反思与感悟解 方法一 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.解析答案反思与感悟方法二 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，解析答案反思与感悟反思与感悟两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝ 或k＝2，均符合题意.
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2).反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝ 求解.
(2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆
的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
(直线l的斜率k存在).(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有
通常采用几何法较为简便.跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明直线l与圆相交；证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交.解析答案返回(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短，
∵kOP＝－2，解析答案设直线l与圆交于A、B两点，即x－2y＋5＝0.123达标检测 4解析答案1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离 又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.B1234解析答案2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( )
A.? B.(1,1)
C.{(1,1)} D.{(－1，－1)} C12343.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A.0或2 B.0或4 C.2 D.4C解得m＝2或m＝0(应舍去).解析答案1234解析答案4.直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2 ，则k的取值范围是__________.解得k≤0.(－∞，0]规律与方法1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.
(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.
2.过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法
(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.返回§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是 ( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－2
C．y＝x＋ D．y＝x－
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是 ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )
A．1 B．2 C. D．3
10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________________．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明
理由．
三、探究与拓展
13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)2＋y2＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．
解方程组
得AB的中点N的坐标N(－，)，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝＝，
|ON|＝.
所以9－＝2＋2，解得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．
9．C 10．C
11．x2＋y2＝4
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过的交点M(3,1)．
又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝＝<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.
此时，kCM＝－，kl＝－.
∵l⊥CM，∴·＝－1，
解得m＝－.
∴当m＝－时，取到最短弦长为4.
