圆与圆的位置关系
【教学目标】
1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
【教学重难点】
教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系．
【教学过程】
㈠复习导入、展示目标
问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？
前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系．
㈡检查预习、交流展示
1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？
2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
㈢合作探究、精讲精练
探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？
例1.已知圆：，圆：，是判断圆与圆的位置关系.
解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系.
解:(法一)
圆的方程配方,得.
圆心的坐标是,半径长.
圆的方程配方,得.
圆心的坐标是,半径长.
连心线的距离为1,,.
因为,
所以两圆相交.
(法二)
方程与相减,得
把代入,得
因为根的判别式,所以方程有两个实数根,因此两圆相交.
点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法.
变式的位置关系
解：根据题意得，两圆的半径分别为，两圆的圆心距
因为 ，所以两圆外切．
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
判断两圆的位置关系的方法:
(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定；
(2)依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系．
【板书设计】
圆与圆的位置关系
（1）相离，无交点
（2）外切，一个交点
（3）相交，两个交点；
（4）内切，一个交点；
（5）内含，无交点.
二.判断圆与圆位置关系的方法
例1
变式
【作业布置】
导学案课后练习与提高
圆与圆的位置关系
课前预习学案
预习目标
回忆圆与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用圆的方程判断圆的位置关系的方法．
预习内容
1．圆与圆的位置关系有哪几种呢？
2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标
1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．
3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．
学习重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
学习难点：用坐标法判断两圆的位置关系．
学习过程
探究：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？
例1.已知圆：，圆：，是判断圆与圆的位置关系.
变式的位置关系.
反思总结
判断两圆的位置关系的方法:
当堂检测
圆和位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
2．两圆和的公切线有_____条．
3．求圆和的公共弦的长．
课后练习与提高
1.若直线与圆相切，则为( )
A.0或2? Ｂ. ?Ｃ.2 ?Ｄ.无解
2.两圆和的位置关系是( )
A.外切? Ｂ.内切? Ｃ.相交? Ｄ.外离
3.已知圆 的弦长为时，则a=( )
A． B． C． D．
4.两圆和的公切线有＿＿＿条
5．一圆过圆和直线的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是________________.
6.已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程．
4.2.2 圆与圆的位置关系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.
2．过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；
（5）当l＜|r1 – r2|时，圆C1与圆C2内含.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
（二）教学重点、难点
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.
（三）教学设想
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.
结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.
概念形成
2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？
利用连心线的长与两圆半径和、差的关系.
教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.
学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.
引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法.
应用举例
3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？
教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬. 同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.
培养学生“数形结合”的意识.
应用举例
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系. 如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？
师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.
生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解.
进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.
利用判别式来探求两圆的位置关系.
5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？
师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.
生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径.
进一步激发学生探求新知的精神，培养学生.
6．如何判断两个圆的位置关系呢？
师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？
引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法.
从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法.
7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题.
师：指导学生完成练习题.
生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题.
巩固方法，并培养学生解决问题的能力.
方法
拓展
延伸
8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？
师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.
生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.
得出两个圆的相交弦所在直线的方程.
9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？
师：引导学生验证结论.
生：互相讨论、交流，验证结论.
进一步验证相交弦的方程.
归纳总结
10．课堂小结：
教师提出下列问题让学思考：
（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？
回顾、反思、总结，构建知识体系.
课外作业
布置作业：见习案4.2第二课时
学生独立完成
巩固深化所学知识.
备选例题
例1 已知圆C1：x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切； （2）圆C1与圆C2内含.
【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后
C1：(x – m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y – m)2 = 4.
（1）如果C1与C2外切，则有，
所以m2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.
（2）如果C1与C2内含，则有，
所以m2 + 3m + 2＜0，得–2＜m＜–1.
所以当m = –5或m = 2时，C1与C2外切；
当–2＜m＜–1时，C1与C2内含.
例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程.
【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x – 2y – 4 + (x + y + 4) = 0.
联立方程组
得：.
因为圆与y = x相切，所以=0.
即
故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.
例3 求过两圆x2 + y2 + 6x – 4 = 0求x2 + y2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.
【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).
则连心线的方程是x + y + 3 = 0.
由 解得.
所以所求圆的圆心坐标是.
设所求圆的方程是x2 + y2 – x + 7y + m = 0
由三个圆有同一条公共弦得m = –32.
故所求方程是x2 + y2 – x + 7y – 32 = 0.
课后提升作业 二十七
圆与圆的位置关系
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
【解析】选B.将两圆化成标准方程分别为x2+y2=1，
(x-2)2+(y+1)2=9，
可知圆心距d=，
由于2所以两圆相交.
2.两圆C1：x2+y2-4x+2y+1=0与C2：x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解析】选C.r1=2，r2=3，圆心距d=5，由于d=r1+r2，所以两圆外切，故公切线有3条，选C.
【延伸探究】若本题中圆C1的方程换为 “x2+y2-2x+4y-20=0”，圆C2不变，其结论又如何呢？ 【解析】选B.因为r1=5，r2=3，圆心距d=5.所以|r2-r1|3.☉A，☉B，☉C两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.△ABC的三边长分别为5，12，13，52+122=132，
所以△ABC为直角三角形.
4.(2018·九江高一检测)圆x2+y2=50与圆x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦长为
( )
A. B. C.2 D.2
【解析】选C.x2+y2=50与x2+y2-12x-6y+40=0作差，
得两圆公共弦所在的直线方程为2x+y-15=0，
圆x2+y2=50的圆心(0，0)到2x+y-15=0的距离d=3，
因此，公共弦长为2=2.
5.(2018·黄冈高一检测)若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点，则实数m的取值范围是 ( )
A.m<1 B.m>121
C.1≤m≤121 D.1【解题指南】两圆有公共点，说明两圆有可能内切或外切或相交，即|r1-r2|≤d≤r1+r2.
【解析】选C.x2+y2+6x-8y-11=0化成标准方程为(x+3)2+(y-4)2=36.
圆心距为d==5，
若两圆有公共点，
则|6-|≤5≤6+，
所以1≤m≤121.
6.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-2ax+a2-1=0相内切，则a等于 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【解析】选C.圆C2：(x-a)2+y2=1，
因为两圆内切，所以|C1C2|=r1-r2=2-1=1，
即|a|=1，故a=±1.
【补偿训练】若圆C1：(x-a)2+y2=r2与圆C2：x2+y2=4r2(r>0)相切，则a的值为
( )
A.±3r B.±r
C.±3r或±r D.3r或r
【解析】选C.圆C1的圆心为(a，0)，半径为r，
圆C2的圆心为 (0，0)，半径为2r.
①当两圆外切时，有|a|=3r，
此时a=±3r(r>0).
②当两圆内切时，|a|=|r|，
此时a=±r(r>0).
即当a=±3r(r>0)时两圆外切，
当a=±r(r>0)时两圆内切.
综合①②可知选C.
7.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y-3)2=1内切，则此圆的方程为
( )
A.(x-4)2+(y-6)2=6
B.(x±4)2+(y-6)2=6
C.(x-4)2+(y-6)2=36
D.(x±4)2+(y-6)2=36
【解析】选D.因为半径长为6的圆与x轴相切，且与已知圆内切，
设圆心坐标为(a，b)，
则b=6.
再由=5，
可以解得a=±4，
故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
8.(2018·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+=a2,由题意,d=,所以有,a2=+2,解得a=2.所以圆M:x2+=22,圆心距=,半径和=3,半径差=1,所以二者相交.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·大连高一检测)若点A(a，b)在圆x2+y2=4上，则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是________.
【解析】因为点A(a，b)在圆x2+y2=4上，
所以a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1 (0，b)，半径r1=1，
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a，0)，半径r2=1，
则d=|C1C2|===2，
所以d=r1+r2，
所以两圆外切.
答案：外切
10.(2018·北京高一检测)已知圆C1：x2+y2-6x-7=0与圆C2：x2+y2-6y-27=0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为____________.
【解题指南】利用圆的几何性质求解本题.
【解析】AB的中垂线即为圆C1，圆C2的连心线C1C2所在的直线，
又C1(3，0)，C2(0，3)，C1C2的方程为x+y-3=0，
即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0.
答案：x+y-3=0
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.求过点A(4，-1)且与圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相切于点B(1，2)的圆的方程.
【解析】设所求圆的圆心M(a，b)，半径为r，
已知圆的圆心为C(-1，3)，
因为切点B在连心线上，
即C，B，M三点共线，
所以=，
即a+2b-5=0.①
由于AB的垂直平分线为x-y-2=0，
圆心M在AB的垂直平分线上，
所以a-b-2=0.②.Com]
联立①②解得
故圆心坐标为M(3，1)，r=|MB|=，
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
12.(2018·舟山高一检测)已知两圆x2+y2-10x-10y=0，x2+y2+6x-2y-40=0.
求：(1)它们的公共弦所在直线的方程.
(2)公共弦长.
【解析】(1)x2+y2-10x-10y=0①；
x2+y2+6x-2y-40=0②；
②-①得：2x+y-5=0为公共弦所在直线的方程.
(2)将圆x2+y2-10x-10y=0，
化为标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50，
该圆圆心为(5，5)，
则此圆心到直线2x+y-5=0的距离
d==2，
故弦长为2=2.
【能力挑战题】
已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x-y+10=0上.
(1)若动圆C过点(-5，0)，求圆C的方程.
(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)依题意，可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25，
其中圆心(a，b)满足a-b+10=0.
又因为动圆过点(-5，0)，
所以(-5-a)2+(0-b)2=25.
解方程组
可得
或
故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.
(2)圆O的圆心(0，0)到直线l的距离d==5.
当r满足r+5x2+y2=r2相外切的圆；
当r满足r+5>d时，r每取一个数值，
动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；
当r满足r+5=d时，
即r=5-5时，
动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.
故当动圆C中与圆O相外切的圆仅有一个时，r=5-5.
课件31张PPT。新知自解|C1C2|＞r1＋r2Δ＜0|C1C2|＝r1＋r2Δ＝0|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2Δ＞0|C1C2|＝|r1－r2|Δ＝0|C1C2|＜|r1－r2|Δ＜0答案： B答案： C解析： 两圆方程相减得x＋3y＝0.
答案： x＋3y＝0课堂探究答案： (1)A (2)B
谢谢观看！
