4、2、3直线与圆的方程的应用（一）
【教学目标】
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
【教学重难点】
教学重点：直线的知识以及圆的知识
教学难点：用坐标法解决平面几何.
【教学过程】
一、复习准备：
直线方程有几种形式? 分别为什么?
(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?
(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?
二、讲授新课：
提出问题、自主探究
例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．
方法一：在中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径R，而在中，
∴，从而可求得长度。
能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？
方法二：先求圆的方程，再把求长度看成的纵坐标。
首先应建立坐标系。
如何建系？四种不同的建系方案：
分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。
归纳总结、巩固步骤
总结解决应用问题的步骤：
(1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；
(2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；
(3)解模----求解数学问题，得出数学结论；
(4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．
流程图：
实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论
（审题） （建模） （解模） （还原）
变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
深入讨论、提炼思想
在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再 看下例：
例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。
(1).
思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.
对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？
证明：（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，
∵∠3=∠4 ∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2
∵ ∠5=∠1+ ∠7， ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ①
又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF∥BD ②
由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
用“建系”这一新工具尝试
证明：（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，.
用勾股定理， ，其中为中点；
先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。
设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2，考虑到圆与轴交于、两点，令y=0，得关于的一元二次方程x2-2mx+(m2+n2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标，同理可得圆心的纵坐标。
应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。
过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的坐标。
变式练习：设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？
还能有什么其他发现？
（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；
（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；
（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。
．．．．．．
课堂小结：
（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；
（2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；
（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论；
【板书设计】
一、指数函数
1．定义
2. 图像
3. 性质
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
习题4.2B组的2、3、4题
４.２.３直线与圆的方程的应用导学案（一）
课前预习学案
一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
二、预习内容：
（1）直线方程有几种形式? 分别为什么?
(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?
(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?
三、提出疑惑
；
；
。
课内探究学案
一、学习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
学习重难点：直线的知识以及圆的知识
二、讲授新课：
例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．
变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。
(1).
思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.
对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？
变式练习：设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？
还能有什么其他发现？
当堂检测:
1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．
2. 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
3. 写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．
课后练习与提高
1．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）
A B C D
2 将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A B C D
3 在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）
A 条 B 条 C 条 D 条
４ 已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________
5 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________
4、2、3直线与圆的方程的应用（二）
【教学目标】
1、坐标法求直线和圆的应用性问题；
2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.
【教学重难点】
教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题．
教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法．
【教学过程】
1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题
例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.
结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为
.配方得到标准式方程如下所示，可以得到，当时，此时半径，所求圆的方程为.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去，得.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段的中点的横坐标为，，又半径（弦长公式），所以所求的圆的方程是:.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.
变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。
例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.
结论：解法一：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则，消去y，得到如下方程所以我们可以得到下面结果，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：(k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为，当k不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为.因为M、N都在圆上，所以我们可以得到，然后我们把两式向减可以得到：设P（x,y)则.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到.所以2x+[(y-2)/(x-
1)]2y=0，所以P点的轨迹方程为（x=1时也成立），所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.
变式练习：已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程。
反思总结：
当堂检测:
已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）求的最小值．
【板书设计】
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】
1、必做题：习题4.2B组的2、3、题；
4、2、3直线与圆的方程的应用导学案（二）
课前预习学案
一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题
二、预习内容：
1．你能说出直线与圆的位置关系吗？
2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？
三、提出疑惑
；
；
。
课内探究学案
一、学习目标：
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
学习重难点：直线的知识以及圆的知识
二、学习过程：
1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题
例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.
变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。
例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.
变式练习：已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程。
反思总结：
当堂检测:
已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．
（1）求线段中点的轨迹方程；
（2）求的最小值．
课后练习与提高
1、M（为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为
A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交
2.从直线：上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A、 B、 C、 D、
3、已知分别是直线上和直线外的点，若直线的方程是，则方程表示
A、与重合的直线 B、过P2且与平行的直线
C、过P1且与垂直的直线 D、不过P2但与平行的直线
4.如果实数 ．
5、已知集合A＝｛(x,y)｜＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，若
A∩B＝，则实数a的值为 ．
6.等腰三角形ABC的顶点，求另一端点C的轨迹方程.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.
（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2．过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.
（二）教学重点、难点
重点与难点：直线与圆的方程的应用.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
你能说出两点间的距离公式直线方程的四种形式及圆的方程的两种形式吗？
学生思考后作答
教师再引入课题
现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用.
启发并引导学生回顾，从而引入新课.
应用举例
3．阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题？
例4 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB = 20m，拱高OP = 4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).
解析：建立图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是
x2 + (y – b)2 = r2.
下面确定b和r的值.
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2 + (y – b)2 = r2.于是，得到方程组
解得
b = –10.5，r2 = 14.52
所以，圆的方程是
x2 + (y + 10.5)2 = 14.52.
把点P2的横坐标x = –2代入圆的方程，得
(–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，
取(P2的纵坐标y＞0平方根取正值).所以
≈14.36 – 10.5
=3.86(m)
师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面坐标系求解.
生：自学例4，并完成练习题1、2.
师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间.
指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择.
4．你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？
教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值.
使学生加深对圆的方程的认识.
5．你能利用“坐标法”解决例5吗？
例5 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.
生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法.
证明：如图，以四边形ABCD互直垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(0，d).
过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点.由线段的中点坐标公式，得
所以
又
所以.
巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力.
6．完成教科书第140页的练习题2、3、4.
练习2 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
练习3 某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？
练习4 等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且，|CE| = |CA|，AD、BE相交于点P.求证AP⊥CP.
教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4，教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据.
练习2解：建立如图所示的直角坐标系.|OP| = 7.2m，|AB| = 37.4m.即有
A(–18.7，0)，B (18.7，0)，C(0，7.2) .
设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
于是有
解此方程组，得
a = 0，b = –20.7，r = 27.9.
所以这这圆拱桥的拱圆的方程是
x2 + (y + 20.7)2 = 27.92 (0≤y≤7.2)
练习3解：建立如图所示的坐标系.依题意，有
A(–10，0)，B (10，0)，P(0，4)，D(–5，0)，E(5，0).
设所求圆的方程是(x – a)2 + (y – b)2 = r2.于是有
解此方程组，得
a = 0，b = –10.5，r = 14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2 + (y + 10.5)2 = 14.52 (0≤y≤4).
把点D的横坐标x = –5代入上式，得y = 3.1.
由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下穿过.
练习4解： 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立如图所示的坐标系.则
.
由已知，得D(2,0)，.
直线AD的方程为.
直线BE的方程为
.
解以上两方程联立成的方程组，得
.
所以，点P的坐标是.
直线PC的斜率.
因为，
所以，AP⊥CP.
使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤.
练习题 直角△ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为长定长n的圆，BC的延长线交此圆于P、Q两点，求证|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|2为定值.
7．你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？
学生独立解决练习题，教师组织学生讨论交流.
证明：如图， 以O为原点，分别以直线PQ为x轴，建立直角坐标系.
于是有，
，
设A(x，y)，由已知，点A在圆上.
AP2 + AQ2 + PQ2
=
=(定值)
反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识.
归纳总结
8．小结：
（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？
（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？
师：指导学生完成练习题.
生：阅读教科书的例3，并完成.
教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究.
对知识进行归纳概括，体会利用“坐标法”解决实际问题的作用.
课后作业
布置作业习案4.2第2课时
学生独立完成
巩固所学知识
备选例题
例1 一圆形拱桥，现时的水面宽为22米，拱高为9米，一艘船高7.5米，船顶宽4米的船，能从桥下通过吗？
【解析】建立坐标系如图所示：
C(–11，0 )，D(11，0)，M(0，9)
可求得过C、D、M三点的圆的方程是
故A点坐标是(2，y1)，则
得y1≈8.82，(取y1＞0)
∴y1＞7.5，因此船不能从桥下通过.
例2 设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3:1，问A、B两人在何处相遇.
【解析】由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别的为3vkm/h，vkm/h，设A出发ah，在P处改变方向，又经过bh到达相遇点Q，则P(3av，0)Q?(0，(a + b)v)，则
|PQ| = 3bv，|OP| = 3av，|OQ| = （a + b）v
在Rt△OPQ中|PQ|2 = |OP|2 + |OQ|2 得5a = 4b
∴
设直线PQ方程为
由PQ与圆x2 + y2 = 9相切，
解得
故A、B两人相遇在正北方离村落中心km.
例3 有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B相距10km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
|AB| = 10，所以A(–5，0)，B(5，0)
设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则运住A地的运费|PA|·3a
当运费相等时，就是|PB|·a = 3a·|PA| ，
即
整理得 ①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.
课后提升作业 二十八
直线与圆的方程的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.(2018·新乡高一检测)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过 ( )
A.1.4米 B.3.0米
C.3.6米 D.4.5米
【解析】选C.可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD= =3.6(米)..Com]
2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.40
【解析】选B.圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2=4，所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×10×4=20.
3.已知点A(-1，1)和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 ( )
A.6-2 B.8
C.4 D.10
【解析】选B.点A关于x轴的对称点A′(-1，-1)，A′与圆心(5，7)的距离为=10.
所以所求最短路程为10-2=8.
4.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为 ( )
A.(12-24)m B.(12+24)m
C.(24-12)m D.不确定
【解析】选A.如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(-18，0)，(18，0)，(0，6).
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为A，B，P在此圆上，故有
解得
故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式，
结合图形解得y=-24+12.
故支柱A2P2的长约为(12-24)m.
【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则 ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；②常选特殊点作为直角坐标系的原点；③尽量使已知点位于坐标轴上.
5.圆C：(x-4)2+(y-4)2=4与直线y=kx的交点为P，Q，原点为O，则|OP|·|OQ|的值为 ( )
A.2 B.28
C.32 D.由k确定
【解题指南】由平面几何知识可知|OP|·|OQ|等于过O点圆的切线长的平方.
【解析】选B.如图，过原点O作☉C的切线OA，连接AC，OC，
在Rt△OAC中，|OA|2=|OC|2-r2=32-4=28，
由平面几何知识可知，
|OP|·|OQ|=|OA|2=28.
6.若P(x，y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于 ( )
A.-3+2 B.-3+
C.-3-2 D.3-2
【解析】选A.设=k，则y=kx.当直线y=kx与圆相切时，k取最值.所以=，
解得k=-3±2..Com]
故的最大值为-3+2.
7.若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
【解题指南】画出曲线y=1+及直线y=k(x-2)+4的图象，利用数形结合求k的取值范围.
【解析】选D.如图，曲线y=1+表示上半圆，直线y=k(x-2)+4过定点P(2，4)，且A(-2，1).因为kPA=，PC与半圆相切，所以易求kPC=，所以
8.由y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小扇形的面积是 ( )
A. B.π C. D.
【解析】选B.由题意围成的面积为圆面积的，所以S=πr2=π.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为200海里，外国一海洋测量船正在该岛正东250海里处以每小时20海里的速度沿西北方向航行，问该岛雷达能否发现该外国测量船，如能，则能观测到该测量船的时间为________.
【解析】以该岛为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.
则雷达最大观测范围是一个圆面，圆的方程为：x2+y2=2002，外国测量船的航行路线所在的直线方程为：x+y=250，该岛到外国测量船的航行路线距离为：d==125≈176.78<200，故能被观测到，航行路线被圆截得的弦|BC|=2=50，
所以能观测到的时间为t==(小时).
答案：小时
10.一条光线从点A(7，2)射入，经过x轴上点P反射后，通过圆B：(x+3)2+(y-3)2=25的圆心，则反射点P的坐标为________.
【解析】B关于x轴的对称点B′(-3，-3).
直线AB′：=，即5x-35=10y-20，
即5x-10y-15=0，所以直线AB′与x轴交点为(3，0)，所以反射点坐标为(3，0).
答案：(3，0)
【延伸探究】若把题干中“通过圆B：(x+3)2+(y-3)2=25的圆心”改为“与圆B：(x+3)2+(y-3)2=25相切”，则反射点的坐标为________. 【解析】圆B：(x+3)2+(y-3)2=25关于x轴对称的圆的方程为圆B′：(x+3)2+(y+3)2=25.设入射光线的方程为y-2=k(x-7)即kx-y-7k+2=0，又圆心B′(-3，-3)到kx-y-7k+2=0的距离等于半径5，所以=5， 所以k=或k=0(舍)，所以入射光线的方程为x-y-=0，所以入射光线与x轴交点为，所以反射点坐标为. 答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点.
【证明】以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(-x0，-y0)，所以P(-x0，-y0-2r).
所以直线CP的方程为y-y0=(x-x0)，即(y0+r)x-(y+r)x0=0.所以直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点(0，-r)，即直线CP过定点.
12.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.
【解析】以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为+=1，即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离，此时DE长的最小值为-1=(4-1)km.
【能力挑战题】
有一种商品，A，B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A，B相距10km，问这个居住地的居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？ (仅从运费的多少来考虑)
【解析】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系.
|AB|=10，所以A(-5，0)，B(5，0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，
则从A地运往P地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a=3a·|PA|，
即3=，
整理得+y2=.①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买.
课件27张PPT。第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系1.理解圆与圆的位置关系的种类；
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 两圆位置关系的判定思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？
答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.答案几何方法判断圆与圆的位置关系：
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则
(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；
(2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切；
(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交；
(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，
当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，
当Δ<0时，两圆外离或内含.返回答案题型探究 重点难点 个个击破类型一 两圆位置关系的判定例1 a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.解析答案反思与感悟解 将两圆方程写成标准方程，
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.反思与感悟反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径.
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切解析 圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，
∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)解析答案由d＝5>r1＋r2＝1＋2，
∴两圆外离.A(2)已知0A.内切 B.外切 C.内含 D.相交解析 两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1)，解析答案∴两圆相交.D类型二 两圆相交的问题例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；解 将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，解析答案∴r1－r2<|C1C2|∴两圆相交.(2)求公共弦所在的直线方程；解 将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.解析答案解 方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解析答案反思与感悟直线x－2y＋4＝0的距离(3)求公共弦的长度.反思与感悟(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练2 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为____.解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，AB的中点坐标为(3,1)，
AB的中点在直线x－y＋c＝0上.
∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，
∴m＋c＝5－2＝3.解析答案3∴kAB×1＝－1，(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝ 所截得的弦长.解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆C3的圆心为(1,1)，解析答案类型三 两圆相切问题
例3 (1)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________________________________.解析答案解析 设圆C的半径为r，(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
①m取何值时两圆外切.解析答案②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？解析答案解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6).①当两圆外切时，反思与感悟②反思与感悟(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).返回跟踪训练3 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A.21 B.19 C.9 D.－11解析 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)，解析答案C则d＝r1＋r2，123达标检测 4解析答案1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，
圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，B又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，
所以r2－r1故两圆相交.1234解析答案2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.B12343.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A.±3 B.±5
C.3或5 D.±3或±5D当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，解析答案当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.1234解析答案4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.C规律与方法1.判断两圆的位置关系的方法：
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.
(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.
2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.
3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.返回课件23张PPT。第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 坐标法解决几何问题的步骤用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示
问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过 ，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.代数运算返回答案题型探究 重点难点 个个击破类型一 直线与圆的方程的应用例1 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？反思与感悟解析答案解 建立如图所示的坐标系.依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.反思与感悟解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤：
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米.解析答案解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖
直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，
圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，
水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，
将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ ，
∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝ 米.类型二 坐标法证明几何问题例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.解析答案反思与感悟证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设|AB|＝2r，D(a,0)，∴圆O：x2＋y2＝r2，∴EF平分CD.反思与感悟反思与感悟(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题
的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题.
②通过代数运算，解决代数问题.
③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论.
(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.
②常选特殊点作为直角坐标系的原点.
③尽量使已知点位于坐标轴上.
建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.跟踪训练2 如图，直角△ABC的斜边长为定值
2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线
BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上.
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).解析答案类型三 直线与圆位置关系的应用例3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图).已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解析答案反思与感悟解 建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，
由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，反思与感悟即x＋2y－6＝0，
台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.
由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，
因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响.反思与感悟针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题.返回跟踪训练3 设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？解析答案返回解 由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如图，
设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，
设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，
则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.
在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.由PQ与圆x2＋y2＝9相切，123达标检测 4解析答案1.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m解析 如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8， B1234解析答案2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1 h).1234解析 以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则台风中心的移动轨迹是y＝－x，
受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，∴从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.答案 2.0 6.612343.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.解析答案1234解析答案4.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝?，则实数m的取值范围是________.解析 如图，
A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}
表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，
B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，
要使A∩B＝?，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，规律与方法1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.返回4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、基础过关
1．已知两点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( )
A．9π B．8π C．4π D．π
2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 ( )
A．6－2 B．8 C．4 D．10
3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为 ( )
A. B．－ C. D．－
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 ( )
A．3－ B．3＋ C．3－ D.
5．已知圆x2＋y2＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为________．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
7．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．
8. 如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
二、能力提升
9．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是 ( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
10．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是 ( )
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h
11．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为______米．
12．等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|＝|BC|，|CE|＝|CA|，AD、BE相交于点P，求证：AP⊥CP.
三、探究与拓展
13．有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10 km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
答案
1．C 2．B 3．A 4．A
5．4
6．(－13,13)
7．解 (1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当5－m>0，即m<5时，方程C表
示圆．
(2)圆的方程化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
圆心C(1,2)，半径r＝，
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.
∵|MN|＝，∴|MN|＝.
根据圆的性质有
r2＝d2＋2，
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
8．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则
O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1
＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
9．C 10．B
11．2
12．证明 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立平面直角坐标系．则A(3,3)，B(0,0)，C(6,0)．由已知，得D(2,0)，E(5，)．直线AD的方程为y＝3(x－2)．
直线BE的方程为y＝(x－5)＋.
解以上两方程联立成的方程组，
得x＝，y＝.
所以，点P的坐标是(，)．
直线PC的斜率kPC＝－.
因为kADkPC＝3×(－)＝－1，
所以，AP⊥CP.
13．解 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．
|AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则A地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3＝，
整理得(x＋)2＋y2＝()2.①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．
