4.3.2 空间两点间的距离公式
（一）教学目标
1．知识与技能
使学生掌握空间两点间的距离公式
2．过程与方法
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程
（二）教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式；
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
在平面上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB| =，那么对于空间中任意两点A (x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成
（2）空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答得出|OP| =.
从特殊的情况入手，化解难度
概念深化
（3）如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？
师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2 + y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P1 (x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
|P1P2| =
人的认识是从特殊情况到一般情况的
巩固练习
1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：
（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；
（2）A(6，0，1)，B(3，5，7)
2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.
3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.
4．如图，正方体OABD – D′A′B′C′的棱长为a，|AN| = 2|CN|，|BM| = 2|MC′|.求MN的长.
教师引导学生作答
1．解析（1），图略
（2），图略
2．解：设点M的坐标是(0，0，z).
依题意，得
=
.
解得z = –3.
所求点M的坐标是(0，0，–3).
3．证明：根据空间两点间距离公式，得
，
.
因为7+7＞，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.
4．解：由已知，得点N的坐标为
，
点M的坐标为，于是
培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解
课外练习
布置作业 见习案4.3的第二课时
学生独立完成
巩固深化所学知识
备选例题
例1 已知点A在y轴 ，点B(0，1，2)且，则点A的坐标为 .
【解析】由题意设A(0，y，0)，则，
解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)
例2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A?(3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.
【解析】由题意设P(0，y，z)，则
解得：
故点P的坐标为(0，1，1)
例3 在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.
【解析】设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以P的坐标是(0，1，–2).
课后提升作业 三十
空间两点间的距离公式
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.若A(1，3，-2)，B(-2，3，2)，则A，B两点间的距离为 ( )
A. B.25 C.5 D.
【解析】选C.|AB|==5.
2.已知点A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.AB的中点M，它到点C的距离
|CM|==.
3.(2018·绵阳高一检测)正方体不在同一表面上的两顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积为 ( )
A.64 B.8 C.32 D.128
【解析】选A.设正方体棱长为a，
则a=，
所以a=4，所以V=a3=64.
4.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于 ( )
A. B. C.2 D.
【解析】选B.因为点B坐标为(0，2，3)，所以|OB|==.
5.已知△ABC顶点坐标分别为A(-1，2，3)，B(2，-2，3)，C，则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.因为|AB|=5，|BC|=，|AC|=，
所以|AB|2=|BC|2+|AC|2，所以△ABC为直角三角形.
6.已知点A(1，-3，2)，B(-1，0，3)，在z轴上求一点M，使得|AM|=|MB|，则M的竖坐标为 ( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
【解析】选B.设M(0，0，z)，
则=，.Com]
解得z=-2.
7.(2018·广州高一检测)设点P(a，b，c)关于原点的对称点为P′，则|PP′|=
( )
A. B.2
C.|a+b+c| D.2|a+b+c|
【解析】选B.P(a，b，c)关于原点的对称点P′(-a，-b，-c)，
则|PP′|==2，故选B.
8.在空间直角坐标系中，以A(4， 1，9)，B(10，-1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为 ( )
A.-2 B.2 C.6 D.2或6
【解析】选D.因为以A，B，C为顶点的△ABC是以BC为底的等腰三角形.所以|AB|=|AC|，
所以
=，
所以7=，所以x=2或x=6.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知点A(3，0，1)和点B(1，0，-3)，且M为y轴上一点.若△MAB为等边三角形，则M点坐标为________.
【解析】设点M的坐标为(0，y，0).
因为△MAB为等边三角形，
所以|MA|=|MB|=|AB|.
因为|MA|=|MB|==，
|AB|==，
所以=，
解得y=±，
故M点坐标为(0，，0)或(0，-，0).
答案：(0，±，0)
10.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间距离的最小值是________.
【解题指南】先利用两点间距离公式用t表示出A，B两点之间的距离，然后借助二次函数知识求|AB|的最小值.
【解析】|AB|=
=
==.
当t=时，|AB|最小=.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.点P在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，点P到点M(2a，2a+5，a+2)的距离最小，求点P的坐标.
【解析】由已知可设点P(a，3a+6，0)，则
|PM|=
=
=，
所以当a=-1时，|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上，
取点P(-1，3，0)时，
点P到点M的距离最小.
【延伸探究】若把题干中“M(2a，2a+5，a+2)”改为“M(2，5，2)”，则结论如何？ 【解析】由已知可设点P(a，3a+6，0)，则 |PM|= = =， 所以当a=-时， |PM|取最小值， 所以在xOy平面内的直线3x-y+6=0上， 取点P时， 点P到点M的距离最小.
12.如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长.
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由题意得，B(a，a，0)，D′(0，0，a)，
所以P.
又C(0，a，0)，B′(a，a，a)，
所以Q.
所以|PQ|==.
【能力挑战题】
在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|=|PB|=|PC|=a，求点P到平面ABC的距离.
【解题指南】以P为原点建立空间直角坐标系，求出等边三角形ABC的垂心H的坐标，然后利用两点间距离公式求解即可.
【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，
.Com]
则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a).
过P作PH⊥平面ABC，
交平面ABC于H，
则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
因为|PA|=|PB|=|PC|，
所以H为△ABC的外心.
又因为△ABC为正三角形，
所以H为△ABC的重心，
可得H点的坐标为，，，
所以|PH|==a，
所以点P到平面ABC的距离为a.
课件26张PPT。第四章 § 4.3 空间直线坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；
2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 空间两点间的距离公式思考 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求空间两点间的距离例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.反思与感悟解析答案解 建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直平面ABCO，所以MF⊥NF，
因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|，
又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，反思与感悟反思与感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用.如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用.跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.解析答案解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，类型二 求空间点的坐标解 因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，解析答案所以x＝±1，所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).反思与感悟反思与感悟由空间两点间距离求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.跟踪训练2 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.
解 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，解析答案所以x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，类型三 空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a解析答案(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小.反思与感悟解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|＝|BN|＝a，∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，解析答案反思与感悟反思与感悟反思与感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值.跟踪训练3 (1)已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形解析答案∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形，|BC|2＋|AC|2≠|AB|2，
∴△ABC不是直角三角形，
故选A.A(2)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离.解析答案返回解析答案解 由于S－ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，而侧棱长也为a，所以|SO|＝|OC|，于是|PR|＝|RC|，又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上，
所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P，Q两点间的距离又因为底面边长为a，返回这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心.123达标检测 45解析答案A12345解析答案A.－3或4 B.6或2
C.3或－4 D.6或－2解得x＝6或x＝－2.D123453.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为
a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C
的中点E与AB的中点F的距离为( )B解析答案12345解析答案4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________.12345解析答案5.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.12345解 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形.
设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，
所以OA⊥OM，OB⊥OM，所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.规律与方法1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.返回课件27张PPT。第四章 § 4.3 空间直线坐标系4.3.1 空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系的建系方式；
2.掌握空间中任意一点的表示方法；
3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点 空间直角坐标系思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？
答案 三个.
思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？
答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.答案1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴： ，这样就建立了一个 .(2)相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴，通过
的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.答案x轴、y轴、z轴空间直角坐标系Oxyzx轴、y轴、z轴两个坐标轴每点OxOyyOzzOxx轴y轴z轴3.空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用 来表示，_________________
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M的横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标.有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)(x，y，z)xyz返回答案题型探究 重点难点 个个击破类型一 求空间点的坐标例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.解析答案解 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，
以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
由题意知长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，
显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；
D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；
A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；
C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4).
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，
∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，
∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，
∴B1(3,5,4).(2)在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系.
①写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标；解析答案②写出棱PA的中点M的坐标.反思与感悟解 连接AC，BD交于点O，连接PO，以O为坐标原点，
OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
①正四棱锥P－ABCD各顶点坐标分别为② 因为M为棱PA的中点，反思与感悟反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z).反思与感悟(3)坐标平面上的点的坐标特征：
xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0).
yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z).
xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z).
(4)坐标轴上的点的坐标特征：
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ |CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.解析答案解 建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0，
而E为DD1的中点，过F作FM⊥AD、FN⊥DC，点G在y轴上，其横坐标x、竖坐标z为0，过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，类型二 已知点的坐标确定点的位置例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6).解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，
第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，
第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.解析答案方法二 以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思与感悟反思与感悟已知点P的坐标确定其位置方法：
(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.
(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.
(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于( )
A.xOz平面内 B.yOz平面内
C.y轴上 D.z轴上解析 因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内.解析答案A类型三 空间中点的对称问题例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.解析答案反思与感悟解 过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，
则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1).
过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B，
使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)，
关于x轴对称的点为B(1，－2,1).反思与感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记：
(1)A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，－y，－z)，
关于y轴的对称点为A2(－x，y，－z)，
关于z轴的对称点为A3(－x，－y，z).
(2)A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(－x，－y，－z).
(3)A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，－z)，
关于xOz平面的对称点为A6(x，－y，z)，
关于yOz平面的对称点为A7(－x，y，z).
关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”.跟踪训练3 已知点P(2,3，－1)，求：
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；解 设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，
则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，
而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数.
所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1).
同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为
(－2,3，－1)，(2，－3，－1).解析答案返回(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；解 设点P关于x轴的对称点为Q，
则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，
而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数.
所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1).
同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为
(－2,3,1)，(－2，－3，－1).解析答案(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.解 点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1).123达标检测 45解析答案1.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A. B.|a| C.|b| D.|c|解析 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.D12345解析答案2.点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是( )
A.(4,2,2) B.(2，－1,2)
C.(2,1,1) D.(4，－1,2) 解析 设点P与Q的中点坐标为(x，y，z)，C123453.在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是__________.(0,2，－3)解析 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，
点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).解析答案12345解析答案4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为____________；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________________.解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，
点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，－1).(1,1，－1)(－1，－1，－1)12345解析答案5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直
棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.
试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标.解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1
为x轴、y轴、z轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题设，
B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).规律与方法1.空间中确定点M坐标的三种方法：
(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标.
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.2.求空间对称点的规律方法
(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.返回4.3.2 空间两点间的距离公式
一、基础过关
1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为 ( )
A. B．25 C．5 D.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 ( )
A．9 B. C．5 D．2
3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于 ( )
A. B. C. D.
4．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足 ( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
5．若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．
6．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
7．在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．
8. 如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．
二、能力提升
9．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是 ( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形
B．A、B、C三点可以构成锐角三角形
C．A、B、C三点可以构成钝角三角形
D．A、B、C三点不能构成任何三角形
10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为 ( )
A．19 B．－ C. D.
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
12. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．
三、探究与拓展
13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
答案
1．C 2.B 3.B 4．B
5．x2＋z2－y2＝0 6.0或－4
7．解 设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以点P的坐标是(0,1，－2)．
8．解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，
设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴BD＝2，CD＝2，z＝，y＝－1.
∴D(0，－1，)．又∵A(，，0)，
∴|AD|
＝＝.
9．A 10．C
11．(0，－1,0)
12．解 如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得|MN|
＝
＝.
13．解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，∴可设M(x,1－x,0)．
∴|MN|＝
＝≥，
当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M的坐标为(1,0,0)时，
|MN|min＝.
