第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为 ( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 ( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为 ( )
A. B. C．1 D.
5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
二、能力提升
9．方程y＝表示的曲线是 ( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
三、探究与拓展
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B 4．A
5．5＋
6.2＋2＝1
7．解 (1)圆的半径r＝|CP|＝＝5，
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
?
∴所求圆的方程是
x2＋2＝.
8．解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
∴由，
解得
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
9．D 10.D
11．[0,2]
12．解 能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解 设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是 ( )
A．m≤2 B．m＜ C．m＜2 D．m≤
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于 ( )
A．1 B. C. D．2
3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
4．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
二、能力提升
9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是 ( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
11． 已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
12．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
三、探究与拓展
13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B
5．(0，－1)
6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
9．D 10．A
12．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，
所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，
所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
13．解 设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q的坐标分别代入①，
得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2
＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或.
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是 ( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－2
C．y＝x＋ D．y＝x－
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是 ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )
A．1 B．2 C. D．3
10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________________．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明
理由．
三、探究与拓展
13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)2＋y2＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．
解方程组
得AB的中点N的坐标N(－，)，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝＝，
|ON|＝.
所以9－＝2＋2，解得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．
9．C 10．C
11．x2＋y2＝4
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过的交点M(3,1)．
又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝＝<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.
此时，kCM＝－，kl＝－.
∵l⊥CM，∴·＝－1，
解得m＝－.
∴当m＝－时，取到最短弦长为4.
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、基础过关
1．已知0A．外切 B．相交 C．外离 D．内含
2．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是( )
A．(－2,39) B．(0,81) C．(0,79) D．(－1,79)
3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有 ( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．0条
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.
6．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
7．a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)内切．
8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
二、能力提升
9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是 ( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
10．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是 ( )
A．a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤5
11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
12．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
三、探究与拓展
13．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
答案
1．B 2．D 3．B 4．D
5．±1
6．3或7
7．解 将两圆方程写成标准方程，得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝3＋2＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或2.
(2)当d＝3－2＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或－2.
8．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，
|C1C2|＝＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
9．B 10．D
11．4
12．解 对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切．
当|C1C2|＝|r1－r2|＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即013．解 设圆B的半径为r，因为圆B的圆心在直线l：y＝2x上，所以圆B的圆心可设为(t,2t)，
则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①
因为圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，
所以当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是
2＋2＝.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、基础过关
1．已知两点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( )
A．9π B．8π C．4π D．π
2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 ( )
A．6－2 B．8 C．4 D．10
3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为 ( )
A. B．－ C. D．－
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 ( )
A．3－ B．3＋ C．3－ D.
5．已知圆x2＋y2＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为________．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
7．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．
8. 如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
二、能力提升
9．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是 ( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
10．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是 ( )
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h
11．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为______米．
12．等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|＝|BC|，|CE|＝|CA|，AD、BE相交于点P，求证：AP⊥CP.
三、探究与拓展
13．有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10 km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
答案
1．C 2．B 3．A 4．A
5．4
6．(－13,13)
7．解 (1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当5－m>0，即m<5时，方程C表
示圆．
(2)圆的方程化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
圆心C(1,2)，半径r＝，
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.
∵|MN|＝，∴|MN|＝.
根据圆的性质有
r2＝d2＋2，
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
8．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则
O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1
＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
9．C 10．B
11．2
12．证明 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立平面直角坐标系．则A(3,3)，B(0,0)，C(6,0)．由已知，得D(2,0)，E(5，)．直线AD的方程为y＝3(x－2)．
直线BE的方程为y＝(x－5)＋.
解以上两方程联立成的方程组，
得x＝，y＝.
所以，点P的坐标是(，)．
直线PC的斜率kPC＝－.
因为kADkPC＝3×(－)＝－1，
所以，AP⊥CP.
13．解 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．
|AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则A地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3＝，
整理得(x＋)2＋y2＝()2.①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．
§4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
一、基础过关
1．点P(5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是 ( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．x轴上
2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为 ( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面
3．已知空间直角坐标系中有一点M(x，y，z)满足x>y>z，且x＋y＋z＝0，则M点的位置是
( )
A．一定在xOy平面上
B．一定在yOz平面上
C．一定在xOz平面上
D．可能在xOz平面上
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为 ( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为________．
6．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．
8. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3， －1)，求其它7个顶点的坐标．
二、能力提升
9．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是 ( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
10．如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝|BD′|，则P点的坐标为
( )
A. B. C. D.
11．连接平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为_________．
12. 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．
三、探究与拓展
13. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
答案
1．C 2．A 3．D 4．A
5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)
7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G.
8．解 长方体的对称中心为坐标原点O，因为顶点坐标A(－2，－3，－1)，所以A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1)．
又因为C与C1关于坐标平面xOy对称，
所以C(2,3，－1)．
而A1与C关于原点对称，所以A1(－2，－3,1)．
又因为C与D关于坐标平面xOz对称，所以D(2，－3，－1)．
因为B与C关于坐标平面yOz对称，所以B(－2,3，－1)．
B1与B关于坐标平面xOy对称，所以B1(－2,3,1)．
同理D1(2，－3,1)．
综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C1(2,3,1)，C(2,3，－1)，A1(－2，－3,1)，B(－2,3，－1)，B1(－2,3,1)，D(2，－3，－1)，D1(2，－3,1)．
9．C 10．D
11.
12．解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6.
以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－3，0)、B(3，0,0)、C(－3，0,0)、D(0，－3，8)、E(0,0,8)、F(0,3，0)．
13．解 如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直
线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，
C(，，0)，D(，，0)，P(0,0,2)，
E(1，，0)．
4.3.2 空间两点间的距离公式
一、基础过关
1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为 ( )
A. B．25 C．5 D.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 ( )
A．9 B. C．5 D．2
3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于 ( )
A. B. C. D.
4．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足 ( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
5．若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．
6．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
7．在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．
8. 如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．
二、能力提升
9．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是 ( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形
B．A、B、C三点可以构成锐角三角形
C．A、B、C三点可以构成钝角三角形
D．A、B、C三点不能构成任何三角形
10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为 ( )
A．19 B．－ C. D.
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
12. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．
三、探究与拓展
13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
答案
1．C 2.B 3.B 4．B
5．x2＋z2－y2＝0 6.0或－4
7．解 设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以点P的坐标是(0,1，－2)．
8．解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，
设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴BD＝2，CD＝2，z＝，y＝－1.
∴D(0，－1，)．又∵A(，，0)，
∴|AD|
＝＝.
9．A 10．C
11．(0，－1,0)
12．解 如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得|MN|
＝
＝.
13．解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，∴可设M(x,1－x,0)．
∴|MN|＝
＝≥，
当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M的坐标为(1,0,0)时，
|MN|min＝.
章末检测
一、选择题
1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是 ( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为 ( )
A．点在圆外 B．点在圆内
C．点在圆上 D．与m的值有关
3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为 ( )
A．2 B．－8
C．2或－8 D．8或－2
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
5．设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 ( )
A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0
C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝0
6．圆x2＋y2－4x＝0过点P(1，)的切线方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
7．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
A．5 B．10 C. D.
9．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为 ( )
A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11
10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 ( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为 ( )
A．4 B．2 C. D.
二、填空题
13．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________．
14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
三、解答题
17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
18． 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
20．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，
且有|PQ|＝|PA|.
(1)求a、b间关系；
(2)求|PQ|的最小值；
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最
小的圆的方程．
答案
章末检测
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A
13．2x＋3y＋8＝0
14．3
15．±5
16.
17．解 如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3＋3k＝0.
则＝1，即12k2＋25k＋12＝0.
∴k1＝－，k2＝－.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
18．解 设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得
x1x2＋y1y2＝0，
由
可得5y2－20y＋12＋m＝0.①
所以y1y2＝，y1＋y2＝4.
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)
＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2
＝9－24＋(12＋m)，
所以x1x2＋y1y2＝9－24＋(12＋m)＋＝0，
解得m＝3.
将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即3为所求m的值．
19．(1)证明 配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，
则，
消去m得x－3y－3＝0，
则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．
(2)解 设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，
则圆心到直线l1的距离为
d＝＝.
∵圆的半径为r＝5，
∴当d当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；
当d>r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．
(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离d＝，
弦长＝2且r和d均为常量．
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
20．解 (1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
又|PQ|＝|PA|，
所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，
所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.
(2)由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－
12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，
得|PQ|min＝.
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，
又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．
所以所求圆的方程为
(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.
模块质量评估（A卷）
(第一至第四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2018·石家庄高一检测)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是
( )
A.6π B.12π C.18π D.24π
2.(2018·广州高一检测)一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为
( )
A.27π B.18π
C.19π D.54π
3.(2014·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面 ( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
4.(2018·大连高一检测)若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值为 ( )
A.2 B.-2
C.2,-2 D.2,0,-2
5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是 ( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABD
6.与直线y=-2x+3平行,且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是
( )
A.y=-2x+4 B.y=x+
C.y=-2x- D.y=x-
7.若直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,则 ( )
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1
C.+≤1 D.+≥1
8.(2018·厦门高一检测)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 ( )
A.(x-3)2+=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.+(y-1)2=1
9.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为 ( )
A. B.4π C.2π D.
10.(2018·武汉高一检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.9
12.(2018·烟台高一检测)若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2018·长春高一检测)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是 .
14.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
15.过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .
16.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.
18.(12分)直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.
(1)求直线l的方程.
(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.
19.(12分)(2018·长沙高一检测)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l经过点D(-2,0),且斜率为k.
(1)求以线段CD为直径的圆E的方程.
(2)若直线l与圆C相离,求k的取值范围.
20.(12分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为棱DD1,AB,BC的中点.
(1)求二面角B1-MN-B的正切值.
(2)求证:PB⊥平面MNB1.
21.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x-y+2=0相切.
(1)求圆C的方程.
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
答案解析
1.B 因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环,
所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线为4,
所以S侧=π(r+r')l=π·(1+2)×4=12π.
2.A 设正方体的棱长为a,球的半径为r,
则6a2=54,所以a=3.
又因为2r=a,所以r=a=,
所以S表=4πr2=4π×=27π.
3.C 对A若m⊥n,n∥α,则m?α或m∥α或m⊥α,故A选项错误;
对B若m∥β,β⊥α,则m?α或m∥α或m⊥α,故B选项错误;
对C若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α,故C选项正确;
对D若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m?α或m∥α或m⊥α,故D选项错误.
【补偿训练】已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m∥α,m∥β,则α∥β
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D A中还可能m,n相交或异面,所以A不正确;B,C中还可能α,β相交,所以B,C不正确,很明显D正确.
4.【解题指南】利用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0求a的值.
C 因为两直线垂直,所以(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,即a=±2.
5.D 因为AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以∠ABD=∠ADB=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又CD?平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD.
6.C 直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=-2=-2x-.
【延伸探究】本题中的条件“与直线y=-2x+3平行”若换为“与直线y=-2x+3垂直”其他条件不变,其结论又如何呢?
【解析】直线y=3x+4与x轴的交点坐标为,故所求直线方程为y-0=,
即y=x+.
7.D 直线+=1与圆x2+y2=1有公共点,
因此圆心(0,0)到直线bx+ay-ab=0的距离应小于等于1.
所以≤1,所以+≥1.
8.B 由已知设所求圆的圆心坐标为:C(a,b)(a>0且b>0),由已知有:?所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-1)2=1.
9.D 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点,
所以球的半径r==1,
球的体积V=r3=.故选D.
10.D 因为MN⊥DC,MN⊥MC,DC∩MC=C,所以MN⊥平面DCM.所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1,所以AD1⊥DM,即所求角为90°.
11.A 由圆的方程可知圆心为(3,-5),圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为d===5,由题意得d-r=1,即r=d-1=5-1=4.
12.A 将两方程联立消去y后得(k2+1)x2+2kx-9=0,由题意知此方程两根之和为0,故k=0.
13.【解析】设圆锥的底面半径为r,则有l=2πr,故l=3r,所以==.
答案:4∶3
14.【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
平面ABCD∩平面PQNM=PQ,
平面A1B1C1D1∩平面PQNM=NM,
所以MN∥PQ,
又因为MN∥AC,所以PQ∥AC.
又因为AP=,所以===,
所以PQ=AC=.
答案:
15.【解析】若截距为0,过P点和原点的直线方程为y=x,即3x-2y=0;
若截距不为0,设所求直线方程为+=1,
由P(2,3)在直线上,可得a=5,
则所求直线方程为x+y-5=0,
因此满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
答案:3x-2y=0或x+y-5=0
【补偿训练】已知直线l经过点(1,3),且与圆x2+y2=1相切,直线l的方程为 .
【解析】当斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-1),由圆心到切线的距离等于半径得=1,解得k=,切线方程为4x-3y+5=0;当斜率不存在时,直线x=1也符合题意.
答案:x=1或4x-3y+5=0
【误区警示】本题易忽视斜率不存在的情况,只写出一条切线方程.
16.【解题指南】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0(m∈R)的最大距离即为所求圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出此距离并求出最大值,代入圆的标准方程即可.
【解析】点(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的距离d==,当m>0时,d===.因为m>0,所以m+≥2=2,当且仅当m=1时上式成立,所以d≤.当m≤0时,d≤仍然成立.所以最大圆的半径是,标准方程为(x-1)2+y2=2.
答案:(x-1)2+y2=2
17.【解析】由题意,知所成几何体的表面积等于
圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和,
又S半球面=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
所以所成几何体的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以所成几何体的体积为
V圆台-V半球=52π-=(cm3).
18.【解析】(1)由得交点为(1,6),
又直线l垂直于直线x-2y-6=0,
所以直线l的斜率为k=-2.
故直线l的方程为y-6=-2(x-1),
即2x+y-8=0.
(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于,
则=,解得a=1或a=6.
19.【解析】(1)将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,
则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.
所以CD的中点E(-1,2),|CD|==2,
所以r=,
故所求圆E的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
(2)直线l的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0.
若直线l与圆C相离,则有圆心C到直线l的距离>2,
解得k<.
20.【解析】(1)连接BD交MN于F,连接B1F,连接AC.
因为平面DD1B1B⊥平面ABCD,
交线为BD,AC⊥BD,
所以AC⊥平面DD1B1B.
又因为AC∥MN,
所以MN⊥平面DD1B1B.
因为B1F,BF?平面DD1B1B,
所以B1F⊥MN,BF⊥MN.
因为B1F?平面B1MN,
BF?平面BMN,
则∠B1FB为二面角B1-MN-B的平面角.
在Rt△B1FB中,
设B1B=1,则FB=,
所以tan∠B1FB=2.
(2)过点P作PE⊥AA1,
则PE∥DA,连接BE.
又DA⊥平面ABB1A1,
所以PE⊥平面ABB1A1,即PE⊥B1M.
又BE⊥B1M,所以B1M⊥平面PEB.
所以PB⊥MB1.
由(1)中MN⊥平面DD1B1B,得PB⊥MN,
所以PB⊥平面MNB1.
21.【证明】(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
又因为AD?平面ABC,
所以CC1⊥AD.
因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,
且CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.
又因为AD?平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)方法一:因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
又因为CC1⊥平面A1B1C1,
且A1F?平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,
且CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,
所以A1F∥AD.
又因为AD?平面ADE,A1F?平面ADE,
所以直线A1F∥平面ADE.
方法二:由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,
因为BC?平面BCC1B1,
所以AD⊥BC.
因为A1B1=A1C1,所以AB=AC.
所以D为BC的中点.
连接DF(图略),因为F是B1C1的中点,
所以DFBB1AA1.
所以四边形ADFA1是平行四边形.
所以A1F∥AD.
因为AD?平面ADE,A1F?平面ADE,
所以A1F∥平面ADE.
22.【解析】(1)设圆心是(x0,0)(x0>0),它到直线x-y+2=0的距离是d==2,
解得x0=2或x0=-6(舍去),
所以所求圆C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)存在.理由如下:因为点M(m,n)在圆C上,
所以(m-2)2+n2=4,
n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.
又因为原点到直线l:
mx+ny=1的距离h==<1,
解得所以S△OAB=|AB|·h=
==,
因为≤<1,
所以当=,即m=时,S△OAB取得最大值,
此时点M的坐标是或,△OAB的面积的最大值是.
模块质量评估（B卷）
(第一至第四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为 ( )
A.50π B.100π C.150π D.200π
2.已知直线l过点P(,1),圆C:x2+y2=4,则直线l与圆C的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.相离
3.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.200+9π B.200+18π
C.140+9π D.140+18π
4.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= ( )
A.2 B.-2 C.4 D.1
5.(2018·潍坊高一检测)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是 ( )
A. B.- C.2 D.-2
6.(2018·郑州高一检测)圆:x2+y2-4x+6y=0和圆:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是 ( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
7.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=
( )
A.- B.1 C.2 D.
8.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是
( )
A.V1比V2大约多一半
B.V1比V2大约多两倍半
C.V1比V2大约多一倍
D.V1比V2大约多一倍半
9.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为 ( )
A.90° B.45° C.60° D.30°
10.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是
( )
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
B.若m?α,n?β,m∥n,则α∥β
C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
11.(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ( )
A. B. C. D.
12.(2018·聊城高一检测)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为 .
14.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;
④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.
其中真命题的个数是 .
15.(2018·大庆高一检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列三种说法:
①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是.
其中正确的序号是 (写出所有正确说法的序号).
16.(2018·杭州高一检测)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是 .
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD应取多长?
(2)容器的容积为多大?
18.(12分)(2018·兰州高一检测)已知△ABC的顶点A为(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
19.(12分)(2015·郑州高一检测)已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,求圆的方程.
20.(12分)(2018·北京高一检测)某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.
(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.
(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;
②证明:平面PBD⊥平面AGC.
21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD.
(2)求证:平面PAH⊥平面DEF.
22.(12分)(2018·长春高一检测)已知点(0,1),(3+2,0),(3-2,0)在圆C上.
(1)求圆C的方程.
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
答案解析
1.A 设该长方体的外接球半径为R,
则4R2=32+42+52,即R=,故S球=4πR2=50π.
2.C 因为直线l过点P(,1),而点P在圆C:x2+y2=4上,故直线l和圆相交或相切.
3.A 由三视图可知该几何体上面是一个半圆柱,下面是一个长方体,因此该几何体的体积为V=·π·32×2+10×4×5=200+9π.
【补偿训练】(2014·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )
A.8-2π B.8-π
C.8- D.8-
【解题指南】结合三视图的特点可知,该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的.
B 截得该几何体的原正方体的体积为2×2×2=8;截去的圆柱(部分)底面半径为1,母线长为2,截去的两部分体积为(π×12×2)×2=π,故该几何体的体积为8-π.
4.A 因为直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以直线l1的倾斜角为.
而l1∥l2,所以,直线l2的倾斜角也为,又直线l2经过两点(2,1),(x,6),所以,x=2.
5.【解题指南】将直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标代入直线x+ky=0,即可求出k的值.
B 解方程组得则点(-1,-2)在直线x+ky=0上,得k=-.
6.C AB的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为(2,-3),(3,0),则所求直线的方程为=,即3x-y-9=0.
7.【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.
C 因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.
8.D 设正方体的棱长为a,则正方体的体积为V2=a3,则球半径为a,球体积V1=πa3,则V1-V2=πa3-a3=a3≈1.72a3.
9.D 取BC的中点H,连接EH,FH,则∠EFH为所求,
可证△EFH为直角三角形,EH⊥EF,FH=2,EH=1,
从而可得∠EFH=30°.
10.D 选项A的已知条件中加上m?β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β,可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.
11.B 圆心在直线BC的垂直平分线即x=1上,
设圆心D(1,b),
由DA=DB得|b|=,解得b=,
所以圆心到原点的距离为
d==.
12.A 根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为,故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2.
13.【解析】由题意,圆心为(0,-1),又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,
所以S=4π()2=12π.
答案:12π
14.【解析】因为a⊥b,b⊥c,
所以a与c可能相交、平行、异面,故①错.
因为a,b异面,b,c异面,
则a,c可能异面、相交、平行,故②错.
由a,b相交,b,c相交,
则a,c可能异面、相交、平行,故③错.
同理④错,故真命题个数为0.
答案:0
15.【解析】取AC的中点E,连接DE,BE,
则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE⊥BE.
又DE=EC=BE,所以DC=DB=BC,
故△DBC是等边三角形.
又AC⊥平面BDE,
故AC⊥BD.
又VD-ABC=S△ABC·DE=××1×1×=,故③错误.
答案:①②
16.【解析】因为(-4+1)2+(-3+2)2=10<25,
所以点P在圆内.当l的斜率不存在时,l的方程为x=-4,将x=-4代入圆的方程,
得y=2或y=-6.
此时弦长为8.当l的斜率存在时,设l的方程为y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,
当弦长为8时,圆心到直线的距离为=3,则=3,
解得k=-.则直线l的方程为y+3=-(x+4),即4x+3y+25=0.
答案:4x+3y+25=0或x=-4
【补偿训练】若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为 .
【解析】由题意知,圆心坐标为C(3,0),则kPC=-,由于MN与PC垂直,故MN的斜率为k=2,故弦MN所在的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
答案:2x-y-1=0
17.【解析】(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD=xcm,则OD=(72-x)cm.
由题意得
所以R=12,r=6,x=36,
所以AD=36cm.
(2)圆台所在圆锥的高H==12,
圆台的高h==6,小圆锥的高h'=6,
所以V容=V大锥-V小锥=πR2H-πr2h'
=504π.
18.【解析】设B(4y1-10,y1),
由AB中点在6x+10y-59=0上,
可得:6·+10·-59=0,
y1=5,所以B(10,5).
设A点关于x-4y+10=0的对称点为A'(x',y'),
则有?A'(1,7),
因为点A'(1,7),B(10,5)在直线BC上,
所以=,
故BC边所在直线的方程为2x+9y-65=0.
19.【解析】设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.
因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.①
解方程组
得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,
所以x1+x2=a+b,x1·x2=.
由弦长公式得·=4,
化简得(a-b)2=4.②
解①②组成的方程组,得a=2,b=4,
或a=-2,b=-4.
故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10,
或(x+2)2+(y+4)2=10.
20.【解析】(1)该几何体的直观图如图所示.
(2)如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,
因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.
又OG?平面AGC,PD?平面AGC,所以PD∥平面AGC.
②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,
所以AO⊥PO.
又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD.
因为AO?平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.
21.【证明】(1)取CD中点N,连接FN,EN.
因为在△CPD中,F,N为中点,所以FN∥PD.
因为正方形ABCD中,E,N为中点,
所以EN∥AD,
因为EN?平面EFN,FN?平面EFN,EN∩FN=N,PD?平面PAD,AD?平面PAD,PD∩AD=D,
所以平面EFN∥平面PAD,
因为EF?平面EFN,
所以EF∥平面PAD.
(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,因为DE?底面ABCD,所以DE⊥PA,
因为E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,
所以Rt△ABH≌Rt△DAE,则∠BAH=∠ADE,
所以∠BAH+∠AED=90°,则DE⊥AH,
因为PA?平面PAH,AH?平面PAH,PA∩AH=A,
所以DE⊥平面PAH,因为DE?平面EFD,
所以平面PAH⊥平面DEF.
22.【解析】(1)由题意可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.
则圆C的圆心为(3,1),半径长为=3.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)由消去y,
得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,
此时判别式Δ=56-16a-4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有 ①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,②
由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.
单元质量评估(四)
(第四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.(2018·平顶山高一检测)圆(x+2)2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为 ( )
A.(x-2)2+y2=5
B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5
D.x2+(y+2)2=5
【解析】选A.由题意知所求圆的圆心为(2，0)，半径为，故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.
2.直线l：y=k与圆C：x2+y2=1的位置关系是 ( )
A.相交或相切 B.相交或相离
C.相切 D.相交
【解析】选D.圆C的圆心(0，0)到直线y=k的距离d=，因为d2=<<1，所以位置关系为相交.
【一题多解】选D.直线l：y=k过定点，而点在圆C：x2+y2=1内部，故直线l与圆C相交.
3.(2015·广东高考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是
( )
A.2x-y+=0或2x-y-=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x+y+5=0或2x+y-5=0
【解析】选D.设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有=，解得c=±5，所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.
4.若直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是 ( )
A.点P在圆外 B.点P在圆上
C.点P在圆内 D.不能确定
【解析】选A.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，<2，即a2+b2>4，所以点P(a，b)在圆x2+y2=4的外部.
【延伸探究】若本题条件换为“直线ax+by=4与圆x2+y2=4相切”则结论又如何呢？
【解析】选B.由题意知=2，即a2+b2=4.则点P在圆上..Com]
5.(2018·成都高一检测)圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是
( )
A.外离 B.相交
C.外切 D.内切
【解析】选B.圆O1(1，0)，r1=1，圆O2(0，2)，r2=2，
|O1O2|==<1+2，且>2-1，故两圆相交.
6.(2018·全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- B.- C. D.2
【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,
故圆心为(1,4),d==1,
解得a=-.
7.以点(3，-1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是 ( )
A.(x+3)2+(y-1)2=1
B.(x+3)2+(y-1)2=2
C.(x-3)2+(y+1)2=1
D.(x-3)2+(y+1)2=2
【解析】选C.由已知，r=d==1，故选C.
8.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和B(x，-1，6)的距离为，则x的值为 ( )
A.2 B.-8
C.2或-8 D.8或-2
【解析】选C.由空间两点间距离公式得=，解得x=2或-8.
9.(2018·南昌高一检测)直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ( )
A. B.2
C.1 D.3
【解析】选B.依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即=，=1×cos45°=，所以a2=b2=1，故a2+b2=2.
10.(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为 ( )
A.π B.π
C.(6-2)π D.π
【解题指南】数形结合，找到圆的半径最小时的情况即可.
【解析】选A.由题意得，当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时，圆的面积最小，
此时圆的半径为×=，
圆的面积为S=π=.
11.已知直线l过点(-2，0)，当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是 ( )
A.(-2，2) B.(-，)
C. -， D. -，
【解析】选C.易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，根据点到直线的距离公式得<1，即k2<，解得-12.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为
( )
A.-1或 B.1或3
C.-2或6 D.0或4
【解析】选D.圆的半径r=2，圆心(a，0)到直线x-y-2=0的距离d=，由+()2=22，得a=0或a=4.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2018·武汉高一检测)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点，则圆M的标准方程为______________.
【解析】联立两圆的方程得交点坐标(-1，3)和(-6，-2)；设圆心坐标(a，a-4)，
所以=解得a=，圆心坐标，-，r2=，
方程为x-+y+=.
答案： x-+y+=
14.(2018·全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为 ..Com]
【解析】由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a) 2=a2+2,所以圆心C(0,a),由题意可知=,解得a2=2,所以圆C的面积为π(a2+2)=4π.
答案:4π
15.(2018·石家庄高一检测)集合A={(x，y)|x2+y2=4}，B={(x，y)|(x-3)2+(y-4)2
=r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________.
【解题指南】根据A∩B中有且仅有一个元素，说明两圆相切，注意分外切和内切，分别求r的值.
【解析】因为A∩B中有且仅有一个元素，所以两圆相切.当两圆外切时，2+r=5，即r=3；当两圆内切时，r-2=5，即r=7.所以r的值是3或7.
答案：3或7
16.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，①关于直线y=x对称；②关于直线x+y=0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是______________.
【解析】将已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)，圆心坐标为(-a，a)，它在直线x+y=0上，所以已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.
答案：②
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2018·北京高一检测)求经过两点A(-1，4)，B(3，2)且圆心C在y轴上的圆的方程.
【解析】因为AB的中点是(1，3)，kAB==-，
所以AB的垂直平分线方程为y-3=2(x-1)，
即2x-y+1=0.
令x=0，得y=1，
即圆心C(0，1).
所以所求圆的半径为|AC|==.
所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.
18.(12分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA=OB=OO′=2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小.
【解析】如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
由OA=OB=OO′=2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2).
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1，0，1)，
设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|==，
故当z=1时，|EC|取得最小值为，此时E(0，2，1)为线段BB′的中点.
19.(12分)(2018·大连高一检测)已知圆C：(x-1) 2+y2=9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程.
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程.
【解析】(1)已知圆C：(x-1)2+y2=9的圆心为C(1，0)，因直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0.
20.(12分)已知圆O：x2+y2=1与直线l：y=kx+2.
(1)当k=2时，求直线l被圆O截得的弦长.
(2)当直线l与圆O相切时，求k的值.
【解析】(1)当k=2时，直线l的方程为2x-y+2=0.
设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，
过圆心O(0，0)作OD⊥AB于点D，
则|OD|==，
所以|AB|=2|AD|=2=.
(2)当直线l与圆O相切时，即圆心到直线的距离等于圆的半径.
所以=1，即=2，解得k=±.
【一题多解】(1)当k=2时，联立方程组
消去y，得5x2+8x+3=0，
解得x=-1或x=-，代入y=2x+2，得y=0或y=，
设直线l与圆O的两个交点分别为A，B，
则A(-1，0)和B，
所以|AB|==.
(2)联立方程组
消去y，得(1+k2)x2+4kx+3=0，
当直线l与圆O相切时，即上面关于x的方程只有一个实数根.
则Δ=(4k)2-4×3(1+k2)=0，
即4k2-12=0，k2=3，所以k=±.
21.(12分)(2018·长春高一检测)已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.
(1)写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小.
(2)是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点).若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.
【解题指南】(1)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)得其圆心-，-，半径为，从而可得圆C的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径.
(2)首先根据题意设出m的方程，然后与圆的方程联立消y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系得到两根的和及积的关系，然后再根据OA⊥OB不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线m的方程.
【解析】(1)根据圆的一般方程结合已知得：D=-2，E=4，F=-4，则
-=-=1，-=-=-2，
==3，
即圆心C的坐标为(1，-2)，半径为3，所以圆C的标准方程为：(x-1)2+(y+2)2=9.
(2)根据题意可设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：
2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0，
因为直线与圆相交，所以b2+6b-9<0，
x1+x2=-b-1，x1x2=，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=x1+b，y2=x2+b，由OA⊥OB得：
·=-1?=-1?(x1+b)(x2+b)+x1x2=0，
2x1x2+b(x1+x2)+b2=0?b2+3b-4=0，得b=-4或b=1，
均满足b2+6b-9<0，故所求直线m存在，且方程为y=x-4或y=x+1.
22.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.
(1)求圆的方程.
(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围.
(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(-2，4)？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z).
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以=5，即|4m-29|=25.因为m为整数，故m=1.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)把直线ax-y+5=0即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.
由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0.
即12a2-5a>0，由于a>0，解得a>，所以实数a的取值范围是.
(3)假设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为-，l的方程为y=-(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上.
所以1+0+2-4a=0，解得a=.
由于∈，故存在实数a=，使得过点P(-2，4)的直线l垂直平分弦AB.
阶段通关训练(四)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
【解析】选B.设圆心坐标为(a，-a)，则=，即|a|=|a-2|，解得a=1，故圆心坐标为(1，-1)，半径r==，故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，-6，3 B.-4，6，3
C.-4，6，-3 D.4，-6，-3
【解析】选D.圆心为-，-，所以-=-2，-=3，所以D=4，E=-6，又R=，代入算得F=-3.
3.已知2a2+2b2=c2，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4的位置关系是 ( )
A.相交但不过圆心 B.过圆心
C.相切 D.相离
【解题指南】利用圆心到直线ax+by+c=0的距离d与半径r比较.即可判断直线与圆的位置关系，至于直线ax+by+c=0是否过圆心，只需验证(0，0)是否满足直线方程.
【解析】选A.由已知圆：x2+y2=4的圆心到直线ax+by+c=0的距离是d=，又2a2+2b2=c2，
所以|c|=·，即=|c|，
所以d==.
又圆x2+y2=4的半径r=2，
所以d又圆心(0，0)代入直线ax+by+c=0得c=0，
所以a=b=0，不合题意，故此直线不过圆心.
4.过点(1，1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为
( )
A.2 B.4 C.2 D.5
【解析】选B.弦心距最大为=，
此时|AB|的最小值为2=4.
5.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|=2，则实数x的值是 ( )
A.-3或4 B.6或2
C.3或-4 D.6或-2
【解析】选D.由空间两点间的距离公式得
=2，解得x=6或x=-2.
6.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦长等于 ( )
A.4 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.公共弦方程为x-2y+6=0，圆x2+y2+2x-12=0的圆心为(-1，0)，半径r=，d=.
所以弦长=2×=4.
二、填空题(每小题5分，共20分)
7.(2018·兰州高一检测)若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是__________.
【解析】圆心到直线的距离为2，又圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，结合图形(图略)可知，半径R的取值范围是1答案：(1，3)
8.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是________.
【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为圆C经过点(0，0)和点(4，0)，所以a=2，又圆与直线y=1相切，可得|1-b|=r，故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2，将(0，0)代入解得b=-，r=，所以圆的方程为(x-2)2+=.
答案：(x-2)2+=
9.两个圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与C2：x2+y2-4x-2y+1=0的公切线的条数是________.
【解析】圆C1的圆心为C1(-1，-1)，半径r1=2，圆C2的圆心为C2(2，1)，半径r2=2.圆心距|C1C2|==，|r1-r2|<所以两圆相交，所以有两条公切线.
答案：2
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为________.
【解析】因为|PQ|=2×1×sin60°=，圆心到直线的距离d==，所以=，解得k=±.
答案：±
【一题多解】利用数形结合.如图所示，因为直线y=kx+1过定点(0，1)，而点(0，1)在圆x2+y2=1上，故不妨设P(0，1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ=
120°，所以∠QPO=30°，故∠PAO=60°，所以k=，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为-.
答案：±
三、解答题(共4小题，共50分)
11.(12分)设圆C的方程为x2+y2-4x-5=0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径.
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.
【解析】(1)将x2+y2-4x-5=0配方得：(x-2)2+y2=9.
所以圆心坐标为C(2，0)，半径为r=3.
(2)设直线AB的斜率为k.
由圆的几何性质可知：CP⊥AB，
所以kCP·k=-1.
又kCP==1，所以k=-1.
所以直线AB的方程为y-1=-(x-3)，
即：x+y-4=0.
12.(12分)已知圆C：(x-x0)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切，圆心C在直线l：x-3y=0上，且圆C截直线m：x-y=0所得的弦长为2，求圆C的方程.
【解析】圆C：(x-x0)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切，则|x0|=R， (1)
圆心C在直线l：x-3y=0上，则x0=3y0， (2)
圆C截直线m：x-y=0所得的弦长为2，
则2=2.
把(1)(2)代入上式消去x0，y0得R=3，则x0=3，y0=1或x0=-3，y0=-1.
故所求圆C的方程为：(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
13.(13分)已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x=0.
(1)m=1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
【解析】(1)因为m=1，所以两圆的方程分别可化为：
C1：(x-1)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+y2=1.
两圆的圆心距d==2.
又因为r1+r2=3+1=4，r1-r2=3-1=2，
所以r1-r2所以圆C1与圆C2相交.
(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，
则d=<3-1，
即(m+1)2<0，显然不等式无解.
故不存在m使得圆C1与圆C2内含.
14.(13分)(2018·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
【解析】(1)将圆C整理得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y=kx，
所以圆心到切线的距离为=，即k2-4k-2=0，解得k=2±.
所以y=(2±)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x+y-a=0，
所以圆心到切线的距离为=，即|a-1|=2，解得a=-1或3.
所以x+y+1=0或x+y-3=0.
综上所述，所求切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)因为|PO|=|PM|，
所以+=(x1+1)2+(y1-2)2-2，即2x1-4y1+3=0，即点P在直线l：2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
所以直线OP的方程为：2x+y=0，
解方程组
得
所以P点坐标为.
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第 四 章 圆与方程知能整合提升热点考点例析解析： 由圆心坐标和半径长可知圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
答案： C答案： A答案： C答案： D答案： 3答案： 0.38米
谢谢观看！课件36张PPT。章末复习课第四章 圆与方程1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；
2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.要点归纳题型探究达标检测学习目标要点归纳 主干梳理 点点落实1.圆的方程
(1)圆的标准方程：___________________.
(2)圆的一般方程：____________________________________.
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点P_______.
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P_______.答案(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)在圆外在圆内在圆上3.直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d__r→相离；d__r→相切；d__r→相交.
4.圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则答案>＝<5.求圆的方程时常用的四个几何性质(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.6.与圆有关的最值问题的常见类型返回类型一 求圆的方程题型探究 重点难点 个个击破例1 根据条件求下列圆的方程：
(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；
解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，解析答案∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.解析答案反思与感悟解析答案解 方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴(a－b)2＝4，
又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.反思与感悟解析答案解 方法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.
设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.反思与感悟反思与感悟∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，
利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为
第一步：选择圆的方程的某一形式；
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；
第四步：代入圆的方程.
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，
例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程.解析答案解 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，解得a＝1，b＝－4，r＝ ，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，
与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4).于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.类型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 ，求l的方程.解析答案反思与感悟解 如图所示，|AB|＝ ，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.反思与感悟直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.解 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解析答案跟踪训练2 已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ y＝0相切于点Q(3，－ )，求圆C的方程.例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.类型三 与圆有关的轨迹问题解析答案反思与感悟解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，由于平行四边形的对角线互相平分，又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，反思与感悟求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.跟踪训练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.解析答案(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.解析答案类型四 分类讨论在直线与圆中的应用解析答案例4 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.
解 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线方程时，根据题意不确定斜率是否存在，要分斜率存在与斜率不存在这两种情况进行分类讨论.解析答案跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程.返回解 ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
∴点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，
设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.返回123达标检测 解析答案1.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则
(1)圆C的标准方程为_____________________.4(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
解析 令x＝0得：B(0， ＋1).1234解析答案解析答案2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为________________________.12341234解析 (1)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
作示意图如图，MC⊥AB于C.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.解析答案3.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为________.1234解析答案1234解 设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6上的任意一点P(x，y).由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.返回章末检测
一、选择题
1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是 ( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为 ( )
A．点在圆外 B．点在圆内
C．点在圆上 D．与m的值有关
3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为 ( )
A．2 B．－8
C．2或－8 D．8或－2
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
5．设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 ( )
A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y－6＝0
C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝0
6．圆x2＋y2－4x＝0过点P(1，)的切线方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
7．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( )
A．5 B．10 C. D.
9．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为 ( )
A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11
10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 ( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为 ( )
A．4 B．2 C. D.
二、填空题
13．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________．
14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
三、解答题
17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
18． 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
20．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，
且有|PQ|＝|PA|.
(1)求a、b间关系；
(2)求|PQ|的最小值；
(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最
小的圆的方程．
答案
章末检测
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A
13．2x＋3y＋8＝0
14．3
15．±5
16.
17．解 如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3＋3k＝0.
则＝1，即12k2＋25k＋12＝0.
∴k1＝－，k2＝－.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
18．解 设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得
x1x2＋y1y2＝0，
由
可得5y2－20y＋12＋m＝0.①
所以y1y2＝，y1＋y2＝4.
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)
＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2
＝9－24＋(12＋m)，
所以x1x2＋y1y2＝9－24＋(12＋m)＋＝0，
解得m＝3.
将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即3为所求m的值．
19．(1)证明 配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，
则，
消去m得x－3y－3＝0，
则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．
(2)解 设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，
则圆心到直线l1的距离为
d＝＝.
∵圆的半径为r＝5，
∴当d当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；
当d>r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．
(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离d＝，
弦长＝2且r和d均为常量．
∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．
20．解 (1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，
又|PQ|＝|PA|，
所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，
所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.
(2)由|PQ|2＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－
12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，
得|PQ|min＝.
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，
又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．
所以所求圆的方程为
(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.
