2019版初中数学综合复习第2讲《实数的运算》（含详细参考答案）
文档属性
| 名称 | 2019版初中数学综合复习第2讲《实数的运算》（含详细参考答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 346.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-19 16:02:36 | ||
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文档简介
???学生用书+详细参考答案和教师用书???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第二讲 实数的运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、实数的运算
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。
2．运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取 符号，并把 相加；绝对值相等的异号两数相加，和为 ，绝对值不等的异号两数相加时，取 的符号，并用 减去 ；任何数同零相加仍得 。
（2）减法：减去一个数等于 。
（3）乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
（5）乘方：(-a) 2n +1 = ，(-a) 2n = 。
3．运算定律：加法的交换律：a+b= 。
加法的结合律：(a+b)+c= 。
乘法的交换律：ab= 。
乘法的结合律：（ab）c= 。
乘法对于加法的分配律：（a+b）c= 。
(
温馨提醒：
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，确保结果正确。
)
知识点二、零指数、负整数指数幂
= （a≠0）， a-p= （a≠0）。
(
温馨提醒：
（1）
实数的混合运算在中考考查时经常与
0
指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
（2）
注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（
）
-1
=
。
)
知识点三、实数的大小比较
1．法则比较法：正数 0，负数 0，正数 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 ；
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ；
3．作差比较法：对于a，b两个实数，若a-b＞0，则a b；若a-b=0，则a b，若a-b＜0，则a b；
4．作商比较法：对于两个正数a，b，若，则a b；若，则a b，若，则a b。
5．平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数的值时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值。
(
温馨提醒：
（1）
比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较
和
的大小，可以先确定
和
的取值范围，然后得结论：
+2
-2
。
（2）
如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：实数的大小比较。
例1 （2018?陕西）比较大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：32=9，()2=10，
∵9＜10，
∴3＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
(
思维升华：
1．在一组既有负数，又有0和正数的数中，若要求最小的数，只要在负数中比较，找出最小的数即可；若要求最大的数，只要在正数中比较，找出最最大的数即可。
2．当含有无理数的一组数比较大小时，通常先把无理数通过平方转化为有理数，再进行比较。
)
【变式训练】
1．（2018?海南）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
考点二：估算无理数的大小
例2 （2018?长沙）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间
C．在4和5之间 D．在5和6之间
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵32=9，42=16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1在4到5之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
(
思维升华：
用“夹逼法”估算无理数的大小：
这种方法就是找根号里边的数相邻的两个平方数，然后估计这个无理数的大约值。例如：估计
的大小，5相邻的两个平方数是4和9，则
在
和
之间，即
在2和3之间，从而估算
等于2点几。
)
【变式训练】
2．（2018?台州）估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
考点三：非负数的性质
例3 （2018?东莞市）已知+|b-1|=0，则a+1= ．
【思路分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵+|b-1|=0，
∴b-1=0，a-b=0，
解得：b=1，a=1，
故a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
(
思维升华：
在实数范围内，非负数指的是零和正数。
非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数都等于零。
)
【变式训练】
3．（2018?资阳）已知a、b满足（a-1）2+=0，则a+b= ．
考点四：实数的混合运算。
例4 （2018?怀化）计算：
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=1+．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
(
思维升华：
在实数的运算过程中，经常用到的公式有：
，
，同时注意与实数的绝对值、二次根式的运算、特殊角的三角函数相结合的题目。
)
【变式训练】
4．（2018?毕节市）计算：
考点五：实数中的规律探索
例5 （2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
【思路分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
(
思维升华：
数式规律探究问题解题注意事项：
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住以下常用表达式：
正整数：…n-1,n,n+1…
奇数：…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…
偶数：…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律：
①
1，4，9，16，…，
n
2
，
…
②
2，4，8，16，32，…，
2
n
，
…
③
1，3，6，10，…，
，…
④
1，3，7，15，…，
2
n
-1，…
⑤
1+2+3+4+…n=
⑥
1+3+5+…+(2n-1)=
n
2
⑦
2+4+6+…+2n=
n(n+1)
数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解题时要注意总结规律，依据规律探求结果。
)
【变式训练】
5．（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
(
三角形数
正方形数
)
A．33 B．301 C．386 D．571
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：实数
大小
的
比较
、
无理数的估算、实数的运算
，
其中
实数
大小
的
比较和无理数的估算
题型一般为选择题和填空题，
对于实数的运算，选择题、填空题和解答题都有可能出现；
通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，实数
大小
的
比较
、
实数的运算
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?临沂）在实数-3，-1，0，1中，最小的数是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．（2018?东营）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．π
3．（2018?淄博）与最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2018?常州）已知a为整数，且＜a＜，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2018?莱芜）无理数2-3在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（2018?重庆）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
7．（2018?天门）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（ ）
A．|b|＜2＜|a| B．1-2a＞1-2b
C．-a＜b＜2 D．a＜-2＜-b
8． （2018?宁夏）计算： 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．-1
9．（2018?威海）计算的结果是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
10．（2017?河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4-=6 B．4+40+40=6
C．4+=6 D．4-1÷+4=6
二、填空题
11．（2018?长春）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
12．（2018?咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
13．（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则a+b 0．（填“＞”，“＜”或“=”）
14． （2018?黄冈）化简 = ．
15．（2018?枣庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
…
则2018在第 行．
16．（2018?娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1-1）2-（an-1）2，则a2018= ．
三、解答题
17．（2018?曲靖）计算 。
18． （2018?通辽）计算：-|4- |-（π-3.14）0+（1-cos30°）×（）-2．
19．（2018?贺州）计算： ．
20．（2018?凉山州）计算：
．
???详细参考答案???
2019版中考备战数学精品专题复习资料
第一章 数与式
第二讲 实数的运算详细参考答案
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、实数的运算
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有 加法 、 减法 、 乘法 、 除法 、 乘方 、 开方 共六种，运算顺序是先算 乘方、开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，括号时要先算 括号里边的 ，同一级运算，按照 从左到右 的顺序依次进行。
2．运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取 相同 符号，并把 绝对值 相加；绝对值相等的异号两数相加，和为 0 ，绝对值不等的异号两数相加时，取 绝对值较大的加数 的符号，并用 较大的绝对值 减去 较小的绝对值 ；任何数同零相加仍得 这个数 。
（2）减法：减去一个数等于 加上这个数的相反数 。
（3）乘法：两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把 绝对值 相乘。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的 倒数 。
（5）乘方：(-a) 2n +1 = -a 2n +1 ，(-a) 2n = a 2n 。
3．运算定律：加法的交换律：a+b= b+a 。
加法的结合律：(a+b)+c= a+(b+c) 。
乘法的交换律：ab= ba 。
乘法的结合律：（ab）c= a(bc) 。
乘法对于加法的分配律：（a+b）c= ac+bc 。
(
温馨提醒：
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，确保结果正确。
)
知识点二、零指数、负整数指数幂
= 0 （a≠0）， a-p= （a≠0）。
(
温馨提醒：
（1）
实数的混合运算在中考考查时经常与
0
指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
（2）
注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（
）
-1
=
3
。
)
知识点三、实数的大小比较
1．法则比较法：正数 ＞ 0，负数 ＜ 0，正数 ＞ 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 ；
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大 ；
3．作差比较法：对于a，b两个实数，若a-b＞0，则a ＞ b；若a-b=0，则a = b，若a-b＜0，则a ＜ b；
4．作商比较法：对于两个正数a，b，若，则a ＞ b；若，则a = b，若，则a ＜ b。
5．平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数的值时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值。
(
温馨提醒：
（1）
比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较
和
的大小，可以先确定
和
的取值范围，然后得结论：
+2
＜
-2
。
（2）
如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为
0
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：实数的大小比较。
【变式训练】
1．＞
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：∵32=9，，
∵9＞5，
∴3＞．
故答案是：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
考点二：估算无理数的大小
【变式训练】
2． B
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
考点三：非负数的性质
【变式训练】
3．-1
【思路分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a-1）2+=0，
∴a=1，b=-2，
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
考点四：实数的混合运算。
【变式训练】
4．-5
【思路分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可
【解答】解：
=-
=-5。
【点评】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则。
考点五：实数中的规律探索
【变式训练】
5．C
【思路分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190＜200，
当n=20时，=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．A
【思路分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
【解答】解：∵-3＜-1＜0＜1，
∴最小的是-3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
2． D
【思路分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得答案．
【解答】解：0＜＜3＜π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．B
【思路分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．
【解答】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜ ，
即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．
4．B
【思路分析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．
【解答】解：∵a为整数，且＜a＜，
∴a=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
5．B
【思路分析】首先得出2的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵2=，
∴6＜＜7，
∴无理数2-3在3和4之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
6．B
【思路分析】首先利用二次根式的乘法化简，进而得出答案．
【解答】解：
=
= ，
∵4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及估算无理数的大小，正确进行二次根式乘法运算是解题关键．
7．C
【思路分析】根据图示可以得到a、b的取值范围，结合绝对值的含义推知|b|、|a|的数量关系．
【解答】解：
A、如图所示，|b|＜2＜|a|，故本选项不符合题意；
B、如图所示，a＜b，则2a＜2b，由不等式的性质知1-2a＞1-2b，故本选项不符合题意；
C、如图所示，a＜-2＜b＜2，则-a＞2＞b，故本选项符合题意；
D、如图所示，a＜-2＜b＜2且|a|＞2，|b|＜2．则a＜-2＜-b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算．
8．C
【思路分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式=-=0，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．D
【思路分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
=-2+1+4
=3。
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
10．D
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
二、填空题
11．＞
【思路分析】先求出3=，再比较即可．
【解答】解：∵32=9＜10，
∴＞3，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
12．
【思路分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
13．＞
【思路分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，
∴a＜0＜b，
∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．
14．-1
【思路分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．45
【思路分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442=1936，452=2025，
∴2018在第45行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16． 4035
【思路分析】由4an=（an+1-1）2-（an-1）2，可得（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出
a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n-1，即可求出a2018=4035．
【解答】解：∵4an=（an+1-1）2-（an-1）2，
∴（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1-1=an+1，
∴an+1=an+2，
∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，
…，
∴an=2n-1，
∴a2018=4035．
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．
三、解答题
17．3
【思路分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2+1+3-3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18． -1
【思路分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=-（4-2）-1+（1-）×4
=-4+2-1+4-2
=-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．0
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=
=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20． 3+
【思路分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式=3-2+ +1-（-1）=3+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
???教师用书）???
2019版中考备战数学精品专题复习资料
第一章 数与式
第二讲 实数的运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、实数的运算
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有 加法 、 减法 、 乘法 、 除法 、 乘方 、 开方 共六种，运算顺序是先算 乘方、开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，括号时要先算 括号里边的 ，同一级运算，按照 从左到右 的顺序依次进行。
2．运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取 相同 符号，并把 绝对值 相加；绝对值相等的异号两数相加，和为 0 ，绝对值不等的异号两数相加时，取 绝对值较大的加数 的符号，并用 较大的绝对值 减去 较小的绝对值 ；任何数同零相加仍得 这个数 。
（2）减法：减去一个数等于 加上这个数的相反数 。
（3）乘法：两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把 绝对值 相乘。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的 倒数 。
（5）乘方：(-a) 2n +1 = -a 2n +1 ，(-a) 2n = a 2n 。
3．运算定律：加法的交换律：a+b= b+a 。
加法的结合律：(a+b)+c= a+(b+c) 。
乘法的交换律：ab= ba 。
乘法的结合律：（ab）c= a(bc) 。
乘法对于加法的分配律：（a+b）c= ac+bc 。
(
温馨提醒：
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，确保结果正确。
)
知识点二、零指数、负整数指数幂
= 0 （a≠0）， a-p= （a≠0）。
(
温馨提醒：
（1）
实数的混合运算在中考考查时经常与
0
指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
（2）
注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（
）
-1
=
3
。
)
知识点三、实数的大小比较
1．法则比较法：正数 ＞ 0，负数 ＜ 0，正数 ＞ 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 ；
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大 ；
3．作差比较法：对于a，b两个实数，若a-b＞0，则a ＞ b；若a-b=0，则a = b，若a-b＜0，则a ＜ b；
4．作商比较法：对于两个正数a，b，若，则a ＞ b；若，则a = b，若，则a ＜ b。
5．平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数的值时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值。
(
温馨提醒：
（1）
比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较
和
的大小，可以先确定
和
的取值范围，然后得结论：
+2
＜
-2
。
（2）
如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为
0
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：实数的大小比较。
例1 （2018?陕西）比较大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：32=9，()2=10，
∵9＜10，
∴3＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
(
思维升华：
1．在一组既有负数，又有0和正数的数中，若要求最小的数，只要在负数中比较，找出最小的数即可；若要求最大的数，只要在正数中比较，找出最最大的数即可。
2．当含有无理数的一组数比较大小时，通常先把无理数通过平方转化为有理数，再进行比较。
)
【变式训练】
1．（2018?海南）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：∵32=9，，
∵9＞5，
∴3＞．
故答案是：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
考点二：估算无理数的大小
例2 （2018?长沙）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间
C．在4和5之间 D．在5和6之间
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵32=9，42=16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1在4到5之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
(
思维升华：
用“夹逼法”估算无理数的大小：
这种方法就是找根号里边的数相邻的两个平方数，然后估计这个无理数的大约值。例如：估计
的大小，5相邻的两个平方数是4和9，则
在
和
之间，即
在2和3之间，从而估算
等于2点几。
)
【变式训练】
2．（2018?台州）估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
考点三：非负数的性质
例3 （2018?东莞市）已知+|b-1|=0，则a+1= ．
【思路分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵+|b-1|=0，
∴b-1=0，a-b=0，
解得：b=1，a=1，
故a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
(
思维升华：
在实数范围内，非负数指的是零和正数。
非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数都等于零。
)
【变式训练】
3．（2018?资阳）已知a、b满足（a-1）2+=0，则a+b= ．
【思路分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a-1）2+=0，
∴a=1，b=-2，
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
考点四：实数的混合运算。
例4 （2018?怀化）计算：
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=1+．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
(
思维升华：
在实数的运算过程中，经常用到的公式有：
，
，同时注意与实数的绝对值、二次根式的运算、特殊角的三角函数相结合的题目。
)
【变式训练】
4．（2018?毕节市）计算：
【思路分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可
【解答】解：
=-
=-5。
【点评】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则。
考点五：实数中的规律探索
例5 （2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
【思路分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
(
思维升华：
数式规律探究问题解题注意事项：
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住以下常用表达式：
正整数：…n-1,n,n+1…
奇数：…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…
偶数：…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律：
①
1，4，9，16，…，
n
2
，
…
②
2，4，8，16，32，…，
2
n
，
…
③
1，3，6，10，…，
，…
④
1，3，7，15，…，
2
n
-1，…
⑤
1+2+3+4+…n=
⑥
1+3+5+…+(2n-1)=
n
2
⑦
2+4+6+…+2n=
n(n+1)
数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解题时要注意总结规律，依据规律探求结果。
)
【变式训练】
5．（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
(
三角形数
正方形数
)
A．33 B．301 C．386 D．571
5．【思路分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190＜200，
当n=20时，=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：实数
大小
的
比较
、
无理数的估算、实数的运算
，
其中
实数
大小
的
比较和无理数的估算
题型一般为选择题和填空题，
对于实数的运算，选择题、填空题和解答题都有可能出现；
通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，实数
大小
的
比较
、
实数的运算
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?临沂）在实数-3，-1，0，1中，最小的数是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【思路分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
【解答】解：∵-3＜-1＜0＜1，
∴最小的是-3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
2．（2018?东营）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．π
【思路分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得答案．
【解答】解：0＜＜3＜π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．（2018?淄博）与最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．
【解答】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜ ，
即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．
4．（2018?常州）已知a为整数，且＜a＜，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路分析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．
【解答】解：∵a为整数，且＜a＜，
∴a=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
5．（2018?莱芜）无理数2-3在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【思路分析】首先得出2的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵2=，
∴6＜＜7，
∴无理数2-3在3和4之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
6．（2018?重庆）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【思路分析】首先利用二次根式的乘法化简，进而得出答案．
【解答】解：
=
= ，
∵4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及估算无理数的大小，正确进行二次根式乘法运算是解题关键．
7．（2018?天门）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（ ）
A．|b|＜2＜|a| B．1-2a＞1-2b C．-a＜b＜2 D．a＜-2＜-b
【思路分析】根据图示可以得到a、b的取值范围，结合绝对值的含义推知|b|、|a|的数量关系．
【解答】解：A、如图所示，|b|＜2＜|a|，故本选项不符合题意；
B、如图所示，a＜b，则2a＜2b，由不等式的性质知1-2a＞1-2b，故本选项不符合题意；
C、如图所示，a＜-2＜b＜2，则-a＞2＞b，故本选项符合题意；
D、如图所示，a＜-2＜b＜2且|a|＞2，|b|＜2．则a＜-2＜-b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算．
8． （2018?宁夏）计算： 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．-1
【思路分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式=-=0，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2018?威海）计算的结果是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【思路分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：
=-2+1+4
=3。
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
10．（2017?河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4-=6 B．4+40+40=6
C．4+=6 D．4-1÷+4=6
【思路分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．
【解答】解：∵4+4-=6，
∴选项A不符合题意；
∵4+40+40=6，
∴选项B不符合题意；
∵4+=6，
∴选项C不符合题意；
∵4-1÷+4=4，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
二、填空题
11． （2018?长春）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
【思路分析】先求出3=，再比较即可．
解：∵32=9＜10，
∴＞3，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
12． （2018?咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
【思路分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
13．（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则a+b 0．（填“＞”，“＜”或“=”）
【思路分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
解：∵a在原点左边，b在原点右边，
∴a＜0＜b，
∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．
14． （2018?黄冈）化简 = ．
【思路分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．
解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．（2018?枣庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
…
则2018在第 行．
【思路分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442=1936，452=2025，
∴2018在第45行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16．（2018?娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1-1）2-（an-1）2，则a2018= ．
【思路分析】由4an=（an+1-1）2-（an-1）2，可得（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出
a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n-1，即可求出a2018=4035．
解：∵4an=（an+1-1）2-（an-1）2，
∴（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1-1=an+1，
∴an+1=an+2，
∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，
…，
∴an=2n-1，
∴a2018=4035．
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．
三、解答题
17．（2018?曲靖）计算 。
【思路分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2+1+3-3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18． （2018?通辽）计算：-|4- |-（π-3.14）0+（1-cos30°）×（）-2．
【思路分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式=-（4-2）-1+（1-）×4
=-4+2-1+4-2
=-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（2018?贺州）计算： ．
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=
=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（2018?凉山州）计算：
．
【思路分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式=3-2+ +1-（-1）=3+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第二讲 实数的运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、实数的运算
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。
2．运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取 符号，并把 相加；绝对值相等的异号两数相加，和为 ，绝对值不等的异号两数相加时，取 的符号，并用 减去 ；任何数同零相加仍得 。
（2）减法：减去一个数等于 。
（3）乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
（5）乘方：(-a) 2n +1 = ，(-a) 2n = 。
3．运算定律：加法的交换律：a+b= 。
加法的结合律：(a+b)+c= 。
乘法的交换律：ab= 。
乘法的结合律：（ab）c= 。
乘法对于加法的分配律：（a+b）c= 。
(
温馨提醒：
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，确保结果正确。
)
知识点二、零指数、负整数指数幂
= （a≠0）， a-p= （a≠0）。
(
温馨提醒：
（1）
实数的混合运算在中考考查时经常与
0
指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
（2）
注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（
）
-1
=
。
)
知识点三、实数的大小比较
1．法则比较法：正数 0，负数 0，正数 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 ；
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ；
3．作差比较法：对于a，b两个实数，若a-b＞0，则a b；若a-b=0，则a b，若a-b＜0，则a b；
4．作商比较法：对于两个正数a，b，若，则a b；若，则a b，若，则a b。
5．平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数的值时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值。
(
温馨提醒：
（1）
比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较
和
的大小，可以先确定
和
的取值范围，然后得结论：
+2
-2
。
（2）
如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：实数的大小比较。
例1 （2018?陕西）比较大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：32=9，()2=10，
∵9＜10，
∴3＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
(
思维升华：
1．在一组既有负数，又有0和正数的数中，若要求最小的数，只要在负数中比较，找出最小的数即可；若要求最大的数，只要在正数中比较，找出最最大的数即可。
2．当含有无理数的一组数比较大小时，通常先把无理数通过平方转化为有理数，再进行比较。
)
【变式训练】
1．（2018?海南）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
考点二：估算无理数的大小
例2 （2018?长沙）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间
C．在4和5之间 D．在5和6之间
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵32=9，42=16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1在4到5之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
(
思维升华：
用“夹逼法”估算无理数的大小：
这种方法就是找根号里边的数相邻的两个平方数，然后估计这个无理数的大约值。例如：估计
的大小，5相邻的两个平方数是4和9，则
在
和
之间，即
在2和3之间，从而估算
等于2点几。
)
【变式训练】
2．（2018?台州）估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
考点三：非负数的性质
例3 （2018?东莞市）已知+|b-1|=0，则a+1= ．
【思路分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵+|b-1|=0，
∴b-1=0，a-b=0，
解得：b=1，a=1，
故a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
(
思维升华：
在实数范围内，非负数指的是零和正数。
非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数都等于零。
)
【变式训练】
3．（2018?资阳）已知a、b满足（a-1）2+=0，则a+b= ．
考点四：实数的混合运算。
例4 （2018?怀化）计算：
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=1+．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
(
思维升华：
在实数的运算过程中，经常用到的公式有：
，
，同时注意与实数的绝对值、二次根式的运算、特殊角的三角函数相结合的题目。
)
【变式训练】
4．（2018?毕节市）计算：
考点五：实数中的规律探索
例5 （2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
【思路分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
(
思维升华：
数式规律探究问题解题注意事项：
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住以下常用表达式：
正整数：…n-1,n,n+1…
奇数：…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…
偶数：…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律：
①
1，4，9，16，…，
n
2
，
…
②
2，4，8，16，32，…，
2
n
，
…
③
1，3，6，10，…，
，…
④
1，3，7，15，…，
2
n
-1，…
⑤
1+2+3+4+…n=
⑥
1+3+5+…+(2n-1)=
n
2
⑦
2+4+6+…+2n=
n(n+1)
数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解题时要注意总结规律，依据规律探求结果。
)
【变式训练】
5．（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
(
三角形数
正方形数
)
A．33 B．301 C．386 D．571
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：实数
大小
的
比较
、
无理数的估算、实数的运算
，
其中
实数
大小
的
比较和无理数的估算
题型一般为选择题和填空题，
对于实数的运算，选择题、填空题和解答题都有可能出现；
通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，实数
大小
的
比较
、
实数的运算
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?临沂）在实数-3，-1，0，1中，最小的数是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．（2018?东营）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．π
3．（2018?淄博）与最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2018?常州）已知a为整数，且＜a＜，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2018?莱芜）无理数2-3在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（2018?重庆）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
7．（2018?天门）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（ ）
A．|b|＜2＜|a| B．1-2a＞1-2b
C．-a＜b＜2 D．a＜-2＜-b
8． （2018?宁夏）计算： 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．-1
9．（2018?威海）计算的结果是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
10．（2017?河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4-=6 B．4+40+40=6
C．4+=6 D．4-1÷+4=6
二、填空题
11．（2018?长春）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
12．（2018?咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
13．（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则a+b 0．（填“＞”，“＜”或“=”）
14． （2018?黄冈）化简 = ．
15．（2018?枣庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
…
则2018在第 行．
16．（2018?娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1-1）2-（an-1）2，则a2018= ．
三、解答题
17．（2018?曲靖）计算 。
18． （2018?通辽）计算：-|4- |-（π-3.14）0+（1-cos30°）×（）-2．
19．（2018?贺州）计算： ．
20．（2018?凉山州）计算：
．
???详细参考答案???
2019版中考备战数学精品专题复习资料
第一章 数与式
第二讲 实数的运算详细参考答案
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、实数的运算
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有 加法 、 减法 、 乘法 、 除法 、 乘方 、 开方 共六种，运算顺序是先算 乘方、开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，括号时要先算 括号里边的 ，同一级运算，按照 从左到右 的顺序依次进行。
2．运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取 相同 符号，并把 绝对值 相加；绝对值相等的异号两数相加，和为 0 ，绝对值不等的异号两数相加时，取 绝对值较大的加数 的符号，并用 较大的绝对值 减去 较小的绝对值 ；任何数同零相加仍得 这个数 。
（2）减法：减去一个数等于 加上这个数的相反数 。
（3）乘法：两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把 绝对值 相乘。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的 倒数 。
（5）乘方：(-a) 2n +1 = -a 2n +1 ，(-a) 2n = a 2n 。
3．运算定律：加法的交换律：a+b= b+a 。
加法的结合律：(a+b)+c= a+(b+c) 。
乘法的交换律：ab= ba 。
乘法的结合律：（ab）c= a(bc) 。
乘法对于加法的分配律：（a+b）c= ac+bc 。
(
温馨提醒：
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，确保结果正确。
)
知识点二、零指数、负整数指数幂
= 0 （a≠0）， a-p= （a≠0）。
(
温馨提醒：
（1）
实数的混合运算在中考考查时经常与
0
指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
（2）
注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（
）
-1
=
3
。
)
知识点三、实数的大小比较
1．法则比较法：正数 ＞ 0，负数 ＜ 0，正数 ＞ 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 ；
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大 ；
3．作差比较法：对于a，b两个实数，若a-b＞0，则a ＞ b；若a-b=0，则a = b，若a-b＜0，则a ＜ b；
4．作商比较法：对于两个正数a，b，若，则a ＞ b；若，则a = b，若，则a ＜ b。
5．平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数的值时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值。
(
温馨提醒：
（1）
比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较
和
的大小，可以先确定
和
的取值范围，然后得结论：
+2
＜
-2
。
（2）
如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为
0
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：实数的大小比较。
【变式训练】
1．＞
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：∵32=9，，
∵9＞5，
∴3＞．
故答案是：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
考点二：估算无理数的大小
【变式训练】
2． B
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
考点三：非负数的性质
【变式训练】
3．-1
【思路分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a-1）2+=0，
∴a=1，b=-2，
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
考点四：实数的混合运算。
【变式训练】
4．-5
【思路分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可
【解答】解：
=-
=-5。
【点评】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则。
考点五：实数中的规律探索
【变式训练】
5．C
【思路分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190＜200，
当n=20时，=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．A
【思路分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
【解答】解：∵-3＜-1＜0＜1，
∴最小的是-3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
2． D
【思路分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得答案．
【解答】解：0＜＜3＜π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．B
【思路分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．
【解答】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜ ，
即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．
4．B
【思路分析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．
【解答】解：∵a为整数，且＜a＜，
∴a=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
5．B
【思路分析】首先得出2的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵2=，
∴6＜＜7，
∴无理数2-3在3和4之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
6．B
【思路分析】首先利用二次根式的乘法化简，进而得出答案．
【解答】解：
=
= ，
∵4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及估算无理数的大小，正确进行二次根式乘法运算是解题关键．
7．C
【思路分析】根据图示可以得到a、b的取值范围，结合绝对值的含义推知|b|、|a|的数量关系．
【解答】解：
A、如图所示，|b|＜2＜|a|，故本选项不符合题意；
B、如图所示，a＜b，则2a＜2b，由不等式的性质知1-2a＞1-2b，故本选项不符合题意；
C、如图所示，a＜-2＜b＜2，则-a＞2＞b，故本选项符合题意；
D、如图所示，a＜-2＜b＜2且|a|＞2，|b|＜2．则a＜-2＜-b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算．
8．C
【思路分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式=-=0，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．D
【思路分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
=-2+1+4
=3。
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
10．D
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
二、填空题
11．＞
【思路分析】先求出3=，再比较即可．
【解答】解：∵32=9＜10，
∴＞3，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
12．
【思路分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
13．＞
【思路分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，
∴a＜0＜b，
∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．
14．-1
【思路分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．45
【思路分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442=1936，452=2025，
∴2018在第45行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16． 4035
【思路分析】由4an=（an+1-1）2-（an-1）2，可得（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出
a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n-1，即可求出a2018=4035．
【解答】解：∵4an=（an+1-1）2-（an-1）2，
∴（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1-1=an+1，
∴an+1=an+2，
∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，
…，
∴an=2n-1，
∴a2018=4035．
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．
三、解答题
17．3
【思路分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2+1+3-3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18． -1
【思路分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=-（4-2）-1+（1-）×4
=-4+2-1+4-2
=-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．0
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=
=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20． 3+
【思路分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式=3-2+ +1-（-1）=3+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
???教师用书）???
2019版中考备战数学精品专题复习资料
第一章 数与式
第二讲 实数的运算
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、实数的运算
1．基本运算：
初中阶段我们学习的基本运算有 加法 、 减法 、 乘法 、 除法 、 乘方 、 开方 共六种，运算顺序是先算 乘方、开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，括号时要先算 括号里边的 ，同一级运算，按照 从左到右 的顺序依次进行。
2．运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取 相同 符号，并把 绝对值 相加；绝对值相等的异号两数相加，和为 0 ，绝对值不等的异号两数相加时，取 绝对值较大的加数 的符号，并用 较大的绝对值 减去 较小的绝对值 ；任何数同零相加仍得 这个数 。
（2）减法：减去一个数等于 加上这个数的相反数 。
（3）乘法：两数相乘，同号得 正 ，异号得 负 ，并把 绝对值 相乘。
（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的 倒数 。
（5）乘方：(-a) 2n +1 = -a 2n +1 ，(-a) 2n = a 2n 。
3．运算定律：加法的交换律：a+b= b+a 。
加法的结合律：(a+b)+c= a+(b+c) 。
乘法的交换律：ab= ba 。
乘法的结合律：（ab）c= a(bc) 。
乘法对于加法的分配律：（a+b）c= ac+bc 。
(
温馨提醒：
在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，确保结果正确。
)
知识点二、零指数、负整数指数幂
= 0 （a≠0）， a-p= （a≠0）。
(
温馨提醒：
（1）
实数的混合运算在中考考查时经常与
0
指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。
（2）
注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（
）
-1
=
3
。
)
知识点三、实数的大小比较
1．法则比较法：正数 ＞ 0，负数 ＜ 0，正数 ＞ 一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小 ；
2．数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 大 ；
3．作差比较法：对于a，b两个实数，若a-b＞0，则a ＞ b；若a-b=0，则a = b，若a-b＜0，则a ＜ b；
4．作商比较法：对于两个正数a，b，若，则a ＞ b；若，则a = b，若，则a ＜ b。
5．平方法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数的值时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估值。
(
温馨提醒：
（1）
比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较
和
的大小，可以先确定
和
的取值范围，然后得结论：
+2
＜
-2
。
（2）
如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为
0
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：实数的大小比较。
例1 （2018?陕西）比较大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：32=9，()2=10，
∵9＜10，
∴3＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
(
思维升华：
1．在一组既有负数，又有0和正数的数中，若要求最小的数，只要在负数中比较，找出最小的数即可；若要求最大的数，只要在正数中比较，找出最最大的数即可。
2．当含有无理数的一组数比较大小时，通常先把无理数通过平方转化为有理数，再进行比较。
)
【变式训练】
1．（2018?海南）比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
【解答】解：∵32=9，，
∵9＞5，
∴3＞．
故答案是：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
考点二：估算无理数的大小
例2 （2018?长沙）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间
C．在4和5之间 D．在5和6之间
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵32=9，42=16，
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
∴+1在4到5之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
(
思维升华：
用“夹逼法”估算无理数的大小：
这种方法就是找根号里边的数相邻的两个平方数，然后估计这个无理数的大约值。例如：估计
的大小，5相邻的两个平方数是4和9，则
在
和
之间，即
在2和3之间，从而估算
等于2点几。
)
【变式训练】
2．（2018?台州）估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【思路分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
考点三：非负数的性质
例3 （2018?东莞市）已知+|b-1|=0，则a+1= ．
【思路分析】直接利用非负数的性质结合绝对值的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵+|b-1|=0，
∴b-1=0，a-b=0，
解得：b=1，a=1，
故a+1=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
(
思维升华：
在实数范围内，非负数指的是零和正数。
非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数都等于零。
)
【变式训练】
3．（2018?资阳）已知a、b满足（a-1）2+=0，则a+b= ．
【思路分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（a-1）2+=0，
∴a=1，b=-2，
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
考点四：实数的混合运算。
例4 （2018?怀化）计算：
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=1+．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
(
思维升华：
在实数的运算过程中，经常用到的公式有：
，
，同时注意与实数的绝对值、二次根式的运算、特殊角的三角函数相结合的题目。
)
【变式训练】
4．（2018?毕节市）计算：
【思路分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可
【解答】解：
=-
=-5。
【点评】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则。
考点五：实数中的规律探索
例5 （2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
【思路分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
(
思维升华：
数式规律探究问题解题注意事项：
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住以下常用表达式：
正整数：…n-1,n,n+1…
奇数：…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…
偶数：…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律：
①
1，4，9，16，…，
n
2
，
…
②
2，4，8，16，32，…，
2
n
，
…
③
1，3，6，10，…，
，…
④
1，3，7，15，…，
2
n
-1，…
⑤
1+2+3+4+…n=
⑥
1+3+5+…+(2n-1)=
n
2
⑦
2+4+6+…+2n=
n(n+1)
数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解题时要注意总结规律，依据规律探求结果。
)
【变式训练】
5．（2018?随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（ ）
(
三角形数
正方形数
)
A．33 B．301 C．386 D．571
5．【思路分析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n= ，第n个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，
当n=19时，=190＜200，
当n=20时，=210＞200，
所以最大的三角形数m=190；
当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数n=196，
则m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：实数
大小
的
比较
、
无理数的估算、实数的运算
，
其中
实数
大小
的
比较和无理数的估算
题型一般为选择题和填空题，
对于实数的运算，选择题、填空题和解答题都有可能出现；
通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，实数
大小
的
比较
、
实数的运算
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?临沂）在实数-3，-1，0，1中，最小的数是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【思路分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．
【解答】解：∵-3＜-1＜0＜1，
∴最小的是-3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
2．（2018?东营）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B． C．0 D．π
【思路分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得答案．
【解答】解：0＜＜3＜π，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
3．（2018?淄博）与最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．
【解答】解：∵36＜37＜49，
∴＜＜ ，
即6＜＜7，
∵37与36最接近，
∴与最接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与最接近，所以=6最接近．
4．（2018?常州）已知a为整数，且＜a＜，则a等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路分析】直接利用，接近的整数是2，进而得出答案．
【解答】解：∵a为整数，且＜a＜，
∴a=2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
5．（2018?莱芜）无理数2-3在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【思路分析】首先得出2的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵2=，
∴6＜＜7，
∴无理数2-3在3和4之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
6．（2018?重庆）估计 的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【思路分析】首先利用二次根式的乘法化简，进而得出答案．
【解答】解：
=
= ，
∵4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及估算无理数的大小，正确进行二次根式乘法运算是解题关键．
7．（2018?天门）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（ ）
A．|b|＜2＜|a| B．1-2a＞1-2b C．-a＜b＜2 D．a＜-2＜-b
【思路分析】根据图示可以得到a、b的取值范围，结合绝对值的含义推知|b|、|a|的数量关系．
【解答】解：A、如图所示，|b|＜2＜|a|，故本选项不符合题意；
B、如图所示，a＜b，则2a＜2b，由不等式的性质知1-2a＞1-2b，故本选项不符合题意；
C、如图所示，a＜-2＜b＜2，则-a＞2＞b，故本选项符合题意；
D、如图所示，a＜-2＜b＜2且|a|＞2，|b|＜2．则a＜-2＜-b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值意义，比较两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算．
8． （2018?宁夏）计算： 的结果是（ ）
A．1 B． C．0 D．-1
【思路分析】原式利用绝对值的代数意义，算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式=-=0，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2018?威海）计算的结果是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【思路分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：
=-2+1+4
=3。
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
10．（2017?河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4-=6 B．4+40+40=6
C．4+=6 D．4-1÷+4=6
【思路分析】根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．
【解答】解：∵4+4-=6，
∴选项A不符合题意；
∵4+40+40=6，
∴选项B不符合题意；
∵4+=6，
∴选项C不符合题意；
∵4-1÷+4=4，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
二、填空题
11． （2018?长春）比较大小： 3．（填“＞”、“=”或“＜”）
【思路分析】先求出3=，再比较即可．
解：∵32=9＜10，
∴＞3，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
12． （2018?咸宁）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
【思路分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
13．（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，
则a+b 0．（填“＞”，“＜”或“=”）
【思路分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
解：∵a在原点左边，b在原点右边，
∴a＜0＜b，
∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的加法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．
14． （2018?黄冈）化简 = ．
【思路分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．
解：原式=1+4-3-3
=-1．
故答案为：-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．（2018?枣庄）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
…
则2018在第 行．
【思路分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．
【解答】解：∵442=1936，452=2025，
∴2018在第45行．
故答案为：45．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16．（2018?娄底）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1-1）2-（an-1）2，则a2018= ．
【思路分析】由4an=（an+1-1）2-（an-1）2，可得（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，根据a1，a2，a3……是一列正整数，得出an+1=an+2，根据a1=1，分别求出
a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，进而发现规律an=2n-1，即可求出a2018=4035．
解：∵4an=（an+1-1）2-（an-1）2，
∴（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，
∵a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an+1-1=an+1，
∴an+1=an+2，
∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，
…，
∴an=2n-1，
∴a2018=4035．
故答案为4035．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过计算，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出式子an+1=an+2．
三、解答题
17．（2018?曲靖）计算 。
【思路分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2+1+3-3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18． （2018?通辽）计算：-|4- |-（π-3.14）0+（1-cos30°）×（）-2．
【思路分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式=-（4-2）-1+（1-）×4
=-4+2-1+4-2
=-1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（2018?贺州）计算： ．
【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=
=
=0．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（2018?凉山州）计算：
．
【思路分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：原式=3-2+ +1-（-1）=3+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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