2019版初中数学综合复习第3讲《整式》（含详细参考答案）
文档属性
| 名称 | 2019版初中数学综合复习第3讲《整式》（含详细参考答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 362.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-19 16:08:03 | ||
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文档简介
???学生用书+详细参考答案和教师用书???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第三讲 整式
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、代数式
1．代数式
用 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。特别地，单独一个数或字母也是代数式。
2．代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点二、整式的有关概念
1．
(
温馨提醒：
单独一个数字或字母都是单项式。
)
2．同类项：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。
(
温馨提醒：
确定代数式是同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样，与系数的大小和字母的顺序无关。特别地，所有的常数项都是同类项。
)
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
其法则是：合并同类项时，把同类项的 相加，字母和字母的 不变。
知识点三、整式的运算
1．整式的加减：
（1）一般地，几个整式相加减，如果右括号就先去括号，然后再合并同类项。
（2）去括号法则：
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ，如：a+(b+c)=a+ ，a+(b-c)=a+ 。
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ，如：a-(b+c)=a- ，a-(b-c)=a- 。
（3）添括号法则：
a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )。
（4）整式加减的步骤是先 ，再 。
(
温馨提醒：
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要
。
)
2．整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式，如：。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，如：m(a+b-c)= 。
（3）多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。
（4）乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ ；
②完全平方公式：（a±b）2 = 。
(
温馨提醒：
（1）
在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要
先合并同类项
（2）
两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
)
3．整式的除法：
（1）单项式除以单项式：把 和 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如：
。
（2）多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。如：。
知识点四、幂的运算性质：
1．同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n为整数）。
2．幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n ＝ （a＞0，m、n为整数）。
3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 ，即：
(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n为整数）。
4．同底数幂的除法： 不变 相减，即：a m÷a n＝ （a＞0，m、n为整数）。
(
温馨提醒：
（1）要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运算，需先化为同底数幂再运算，如:
。
（2）
运用幂的性质进行运算要注意不要出现符号错误，
(-
a
)
n
=
（
n
为奇数），
(-
a
)
n
=
（
n
为偶数）
.
（3）
所有
幂的运算
性质都可以逆用，如
:
已知
3
m
=4
，
2
n
=3
，
则
9
m
8
n
=
(3
2
)
m
·(2
3
)
n
=(3
m
)
2
·(2
n
)
3
=4
2
·3
3
=16×27=432
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：代数式的相关概念
命题角度①：列代数式
例1 （2018?枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【思路分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长-边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有：
3a-2b+2b×2
=3a-2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．
(
思维升华：
列代数式是列方程解应用题的基础，也是列函数关系式的基础，列代数式的关键是明确题目中给定的数或数量关系是什么，应该用什么样的运算来表示这种数量关系。
)
(
触“
雷
”警示：
代数式的书写必须遵循下列规则：
?
（
1
）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·
?”
代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“×”号。
（
2
）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。
（
3
）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。
)
【变式训练】
1．（2018?安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
命题角度②：代数式求值
例2 （2018?荆州）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是 ．
【思路分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，…，
∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），
∴第2018次输出的结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．
例3（2018?徐州）若2m+n=4，则代数式6-2m-n的值为 ．
【思路分析】将6-2m-n化成6-（2m+n）代值即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n=4，
∴6-2m-n=6-（2m+n）=6-4=2，
故答案为2．
【点评】此题是代数式求值问题，利用整体代入是解本题的关键．
(
思维升华：
解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接代入法和整体代入法。
用直接代入法求值时，要注意代数式的符号问题；
用整体代入法求值时，关键是把所求的代数式转化为已知代数式的形式。
)
【变式训练】
2．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
3．（2018?岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
命题角度③：代数式找规律—数字变化类
例3 （2018?梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
【思路分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加1，第偶数是序数的平方减1，据此规律得到正确答案即可．
【解答】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数3=22-1，
第3个数10=32+1，
第4个数15=42-1，
第5个数26=52+1，
……，
∴第100个数是1002-1=9999，
故选：A．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．
(
思维升华：
数字类规律探索题，就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性结论，此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示。其解题步骤是：
（1）寻找不变的量；（2）寻找变化的量；（3）研究变化的量如何变化。
)
【变式训练】
4．（2018?淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
命题角度④：代数式找规律—图形变化类
例4 （2018?重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【思路分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
……
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
(
思维升华：
方法
：将图形的变化转化为数字的变化，通过研究数字的变化规律得出图形的变化规律。
具体思路
：通过图形观察代数式的规律，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。
)
【变式训练】
5．（2018?青海）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形……，则第（5）个图案中有 个正方形，第n个图案中有 个正方形．
考点二：幂的运算
例5 （2018?聊城）下列计算错误的是（ ）
A．a2÷a0?a2=a4 B．a2÷（a0?a2）=1
C．（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5 D．-1.58÷（-1.5）7=-1.5
【思路分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a2÷a0?a2=a4，∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0?a2）=1，∴选项B不符合题意；
∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C不符合题意；
∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
(
思维升华：
1．进行幂的运算时，当底数为负数时，应先进行整理：
。
2．幂的运算实质上是幂的指数的运算，具体地说：
；
；
。
)
(
触“
雷
”警示：
混淆幂的运算法则
在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数幂的乘法与乘方运算法则，在应用时，要牢记以下公式：
，
，
。
（1）不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如：
，
；
（2）不要把
和
混淆，如：
，
。
)
【变式训练】
6．（2018?沈阳）下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3=m6 B．a10÷a9=a C．x3?x5=x8 D．a4+a3=a7
考点三：整式的运算
命题角度①：完全平方式
例6（2018?乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a-b=（ ）
A．1 B．- C．±1 D．±
【思路分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
【变式训练】
7．（2018?宁夏）已知m+n=12，m-n=2，则m2-n2= ．
命题角度②：整式的运算
例7 （2018?德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3 B．（-2a2）3=-8a3
C．（a-3）（3+a）=a2-9 D．（a-b）2=a2-b2
【思路分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2=a4，此选项错误；
B、（-2a2）3=-8a6，此选项错误；
C、（a-3）（3+a）=a2-9，此选项正确；
D、（a-b）2=a2-2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
(
思维升华：
整式的运算顺序：先算整式的乘除，再算正式的加减。整式的加减实质上就是合并同类项。
)
(
触“
雷
”警示：
单项式的除法要注意“系数相除”与“同底数幂相除”的不同之处，同底数幂相除是底数不变，指数相减。
)
【变式训练】
8．（2018?娄底）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a5=a10 B．（3a3）2=6a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a-3）=a2-a-6
命题角度③：整式的化简求值
例8 （2018?襄阳）先化简，再求值：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2，其中x=2+，y=2-．
【思路分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2
=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2
=3xy，
当x=2+，y=2-时，原式=3×（2+）（2-）=3．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式．
(
思维升华：
整式的化简求值的解题思路是：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值。
)
【变式训练】
9．（2018?淄博）先化简，再求值：a（a+2b）-（a+1）2+2a，其中a＝+1，b＝?1．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析课程标准和近五年的中考题，可以发现中考命题主要集中在：代数式的规律探索问题、幂的运算、与整式运算有关的问题，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，可以预测未来中考试题中，对规律性问题、幂的运算、整式的运算仍会作为重点内容进行考查。
考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?贵阳）当x=-1时，代数式3x+1的值是（ ）
A．-1 B．-2 C．4 D．-4
2．（2018?临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）分
A． B． C． D．
3．（2018?重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）
A．x=3，y=3 B．x=-4，y=-2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
4．（2018?湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2?x3=x5 C．（-x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
5． （2018?滨州）下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2018?南充）下列计算正确的是（ ）
A．-a4b÷a2b=-a2b B．（a-b）2=a2-b2
C．a2?a3=a6 D．-3a2+2a2=-a2
7．（2018?河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10-0.5）
C．9.52=102-2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
8．（2018?河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．
9．（2018?云南）按一定规律排列的单项式：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，第n个单项式是（ ）
A．an B．-an C．（-1）n+1an D．（-1）nan
10．（2018?重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
11．（2018?德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
12．（2018?宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a-2b D．-2b
二、填空题
13．（2018?上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元．（用含字母a的代数式表示）．
14．（2018?临沂）已知m+n=mn，则（m-1）（n-1）= ．
15．（2018?遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为 ．
16． （2018?常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 ．
17．（2018?赤峰）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 ．
18．（2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
三、解答题
19．（2018?济宁）化简：（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）．
20．（2018?宁波）先化简，再求值：（x-1）2+x（3-x），其中x=-．
21．（2018?乌鲁木齐）先化简，再求值：(x+1)(x-1)+（2x-1）2-2x（2x-1），其中x=+1．
22．（2018?乐山）先化简，再求值：（2m+1）（2m-1）-（m-1）2+（2m）3÷（-8m），其中m是方程x2+x-2=0的根。
24．（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
25．（2018?自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴M?N=am?an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M?N），
又∵m+n=logaM+logaN，
∴loga（M?N）=logaM+logaN，
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明 ;
（3）拓展运用：计算log32+log36-log34= ．
???详细参考答案???
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第一章 数与式
第三讲 整式
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、代数式
1．代数式
用 运算符号 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。特别地，单独一个数或字母也是代数式。
2．代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点二、整式的有关概念
1．
(
温馨提醒：
单独一个数字或字母都是单项式。
)
2．同类项：所含 字母 相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。
(
温馨提醒：
确定代数式是同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样，与系数的大小和字母的顺序无关。特别地，所有的常数项都是同类项。
)
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
其法则是：合并同类项时，把同类项的 系数 相加，字母和字母的 指数 不变。
知识点三、整式的运算
1．整式的加减：
（1）一般地，几个整式相加减，如果右括号就先去括号，然后再合并同类项。
（2）去括号法则：
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 ，如：a+(b+c)=a+ b+c ，a+(b-c)=a+ b-c 。
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 ，如：a-(b+c)=a- b-c ，a-(b-c)=a- b+c 。
（3）添括号法则：
a+b+c= a+( b+c )，a-b-c= a-( b+c )。
（4）整式加减的步骤是先 去括号 ，再 合并同类项 。
(
温馨提醒：
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要
变号
。
)
2．整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 相乘 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 指数 作为积的一个因式，如：。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，如：m(a+b-c)= ma+mb-mc 。
（3）多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，即（m+n）(a+b)= ma+mb+na+nb 。
（4）乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ a2-b2 ；
②完全平方公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2 。
(
温馨提醒：
（1）
在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要
先合并同类项
（2）
两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
)
3．整式的除法：
（1）单项式除以单项式：把 系数 和 同底数幂 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如。
（2）多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项 除以 这个单项式，再把所得的商 相加 。如：。
知识点四、幂的运算性质：
1．同底数幂的乘法： 底数 不变 指数 相加，即：a m a n＝ am+n （a＞0，m、n为整数）。
2．幂的乘方： 底数 不变 指数 相乘，即：(a m) n ＝ amn （a＞0，m、n为整数）。
3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘 ，即：
(ab) n ＝ anbn （a＞0，b＞0，n为整数）。
4．同底数幂的除法： 底数 不变 指数 相减，即：a m÷a n＝ am-n （a＞0，m、n为整数）。
(
温馨提醒：
（1）要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运算，需先化为同底数幂再运算，如:
。
（2）
运用幂的性质进行运算要注意不要出现符号错误，
(-
a
)
n
=
-
a
n
（
n
为奇数），
(-
a
)
n
=
a
n
（
n
为偶数）
.
（3）
所有
幂的运算
性质都可以逆用，如
:
已知
3
m
=4
，
2
n
=3
，
则
9
m
8
n
=
(3
2
)
m
·(2
3
)
n
=(3
m
)
2
·(2
n
)
3
=4
2
·3
3
=16×27=432
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：代数式的相关概念
命题角度①：列代数式
【变式训练】
1．B
解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．
故选：B．
命题角度②：代数式求值
【变式训练】
2．15
解：当3x-2=127时，x=43，
当3x-2=43时，x=15，
当3x-2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
3．5
解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为5．
命题角度③：代数式找规律—数字变化类
【变式训练】
4．2018
解：观察图表可知：
第1行第一个数是12；
第2行第一个数是22，然后依次递减1个数；
第3行第一个数是32，然后依次递减2个数；
第4行第一个数是42，然后依次递减3个数；
……
第n行第一个数是n2，然后依次递减（n-1）个数；
∴第45行第一个数是452=2025，然后依次递减44个数；
∴第45行、第8列的数是2025-7=2018，
故答案为2018．
命题角度④：代数式找规律—图形变化类
【变式训练】
5．14，3n-1
解：∵第（1）个图形中正方形的个数2=3×1-1，
第（2）个图形中正方形的个数5=3×2-1，
第（3）个图形中正方形的个数8=3×3-1，
……
∴第（5）个图形中正方形的个数为3×5-1=14个，第n个图形中正方形的个数（3n-1），
故答案为：14，3n-1．
考点二：幂的运算
【变式训练】
6．D
解：A、（m2）3=m6，正确；
B、a10÷a9=a，正确；
C、x3?x5=x8，正确；
D、a4+a3=a4+a3，错误；
故选：D．
考点三：整式的运算
命题角度①：完全平方式
【变式训练】
7．24
解：∵m+n=12，m-n=2，
∴m2-n2=（m+n）（m-n）=2×12=24，
故答案为：24
命题角度②：整式的运算
【变式训练】
8．D
解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式=9a6，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=a2-a-6，符合题意，
故选：D．
命题角度③：整式的化简求值
【变式训练】
9．1
解：原式=a2+2ab-（a2+2a+1）+2a
=a2+2ab-a2-2a-1+2a
=2ab-1，
当a＝+1，b＝?1时，
原式=2（+1）（?1）-1
=2-1
=1．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．B
解：把x=-1代入3x+1=-3+1=-2，
故选：B．
2．B
解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为分．
故选：B．
3．C
解：A、x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15，不符合题意；
B、x=-4、y=-2时，输出结果为（-4）2-2×（-2）=20，不符合题意；
C、x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12，符合题意；
D、x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20，不符合题意；
故选：C．
4．B
解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
B、x2?x3=x5，正确；
C、（-x2）3=-x6，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，故此选项错误；
故选：B．
5． B
解：①a2?a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2个，
故选：B．
6．D
解：-a4b÷a2b=-a2，故选项A错误，
（a-b）2=a2-2ab+b2，故选项B错误，
a2?a3=a5，故选项C错误，
-3a2+2a2=-a2，故选项D正确，
故选：D．
7．C
解：9.52=（10-0.5）2=102-2×10×0.5+0.52，
故选：C．
8．A
解：∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4?2n=2，
∴2?2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=-1．
故选：A．
9．C
解：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，（-1）n+1?an．
故选：C．
10．C
解：∵第①个图案中三角形个数4=2+2×1，
第②个图案中三角形个数6=2+2×2，
第③个图案中三角形个数8=2+2×3，
……
∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7=16，
故选：C．
11．B
解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
故选：B．
12．B
解：S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）?a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b?AD-ab-b?AB+ab=b（AD-AB）=2b．
故选：B．
二、填空题
13．0.8a
解：根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a．
14．1
解：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=1，
故答案为1．
15．4035
解：由图可得，
第1层三角形的个数为：1，
第2层三角形的个数为：3，
第3层三角形的个数为：5，
第4层三角形的个数为：7，
第5层三角形的个数为：9，
……
第n层的三角形的个数为：2n-1，
∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018-1=4035，
故答案为：4035．
16． 9
解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10-x，报3的人心想的数是x-6，报5的人心想的数是14-x，报2的人心想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
17．n2+n+2
解：∵第一个图形有2+1×2=4个，
第二个图形有2+2×3=8个，
第三个图形有2+3×4=14个，
第四个图形有2+4×5=22个，
……
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
18．（505，2）
解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
三、解答题
19．解：原式=y2-4-y2-5y+y+5=-4y+1。
20．解：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1，
当x=-时，原式=-+1=．
21．解：原式=x2-1+4x2-4x+1-4x2+2x
=x2-2x，
把x=+1代入，得：
原式=（+1）2-2（+1）
=3+2-2-2
=1．
22．解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m）
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2（m2+m-1），
∵m是方程x2+x-2=0的根，
∴m2+m-2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2-1）=2．
23．解：∵x2-y2=12，
∴（x+y）（x-y）=12，
∵x+y=3①，
∴x-y=4②，
+②得，2x=7，
∴2x2-2xy=2x（x-y）=7×4=28．
24．（a+b）2
解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2;
方案三：
．
25．解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am-n，由对数的定义得m-n=loga，
又∵m-n=logaM-logaN，
∴loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36-log34
=log3（2×6÷4）
=log33
=1，
故答案为：1．
???教师用书???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第三讲 整式
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、代数式
1．代数式
用 运算符号 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。特别地，单独一个数或字母也是代数式。
2．代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点二、整式的有关概念
1．
(
温馨提醒：
单独一个数字或字母都是单项式。
)
2．同类项：所含 字母 相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。
(
温馨提醒：
确定代数式是同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样，与系数的大小和字母的顺序无关。特别地，所有的常数项都是同类项。
)
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
其法则是：合并同类项时，把同类项的 系数 相加，字母和字母的 指数 不变。
知识点三、整式的运算
1．整式的加减：
（1）一般地，几个整式相加减，如果右括号就先去括号，然后再合并同类项。
（2）去括号法则：
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 ，如：a+(b+c)=a+ b+c ，a+(b-c)=a+ b-c 。
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 ，如：a-(b+c)=a- b-c ，a-(b-c)=a- b+c 。
（3）添括号法则：
a+b+c= a+( b+c )，a-b-c= a-( b+c )。
（4）整式加减的步骤是先 去括号 ，再 合并同类项 。
(
温馨提醒：
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要
变号
。
)
2．整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 相乘 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 指数 作为积的一个因式，如：。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，如：m(a+b-c)= ma+mb-mc 。
（3）多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，即（m+n）(a+b)= ma+mb+na+nb 。
（4）乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ a2-b2 ；
②完全平方公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2 。
(
温馨提醒：
（1）
在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要
先合并同类项
（2）
两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
)
3．整式的除法：
（1）单项式除以单项式：把 系数 和 同底数幂 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如。
（2）多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项 除以 这个单项式，再把所得的商 相加 。如：。
知识点四、幂的运算性质：
1．同底数幂的乘法： 底数 不变 指数 相加，即：a m a n＝ am+n （a＞0，m、n为整数）。
2．幂的乘方： 底数 不变 指数 相乘，即：(a m) n ＝ amn （a＞0，m、n为整数）。
3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘 ，即：
(ab) n ＝ anbn （a＞0，b＞0，n为整数）。
4．同底数幂的除法： 底数 不变 指数 相减，即：a m÷a n＝ am-n （a＞0，m、n为整数）。
(
温馨提醒：
（1）要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运算，需先化为同底数幂再运算，如:
。
（2）
运用幂的性质进行运算要注意不要出现符号错误，
(-
a
)
n
=
-
a
n
（
n
为奇数），
(-
a
)
n
=
a
n
（
n
为偶数）
.
（3）
所有
幂的运算
性质都可以逆用，如
:
已知
3
m
=4
，
2
n
=3
，
则
9
m
8
n
=
(3
2
)
m
·(2
3
)
n
=(3
m
)
2
·(2
n
)
3
=4
2
·3
3
=16×27=432
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：代数式的相关概念
命题角度①：列代数式
例1 （2018?枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【思路分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长-边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有：
3a-2b+2b×2
=3a-2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．
(
思维升华：
列代数式是列方程解应用题的基础，也是列函数关系式的基础，列代数式的关键是明确题目中给定的数或数量关系是什么，应该用什么样的运算来表示这种数量关系。
)
(
触“
雷
”警示：
代数式的书写必须遵循下列规则：
?
（
1
）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·
?”
代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“×”号。
（
2
）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。
（
3
）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。
)
【变式训练】
1．（2018?安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
【思路分析】根据2016年的有效发明专利数×（1+年平均增长率）2=2018年的有效发明专利数．
【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．
故选：B．
【点评】考查了列代数式，掌握2次增长或下降之类方程的等量关系是解决本题的关键．
命题角度②：代数式求值
例2 （2018?荆州）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是 ．
【思路分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，…，
∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），
∴第2018次输出的结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．
例3（2018?徐州）若2m+n=4，则代数式6-2m-n的值为 ．
【思路分析】将6-2m-n化成6-（2m+n）代值即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n=4，
∴6-2m-n=6-（2m+n）=6-4=2，
故答案为2．
【点评】此题是代数式求值问题，利用整体代入是解本题的关键．
(
思维升华：
解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接代入法和整体代入法。
用直接代入法求值时，要注意代数式的符号问题；
用整体代入法求值时，关键是把所求的代数式转化为已知代数式的形式。
)
【变式训练】
2．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
【思路分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
【解答】解：当3x-2=127时，x=43，
当3x-2=43时，x=15，
当3x-2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
3．（2018?岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
【思路分析】利用整体思想代入计算即可；
【解答】解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于基础题．
命题角度③：代数式找规律—数字变化类
例3 （2018?梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
【思路分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加1，第偶数是序数的平方减1，据此规律得到正确答案即可．
【解答】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数3=22-1，
第3个数10=32+1，
第4个数15=42-1，
第5个数26=52+1，
……，
∴第100个数是1002-1=9999，
故选：A．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．
(
思维升华：
数字类规律探索题，就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性结论，此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示。其解题步骤是：
（1）寻找不变的量；（2）寻找变化的量；（3）研究变化的量如何变化。
)
【变式训练】
4．（2018?淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025-7=2018；
【解答】解：观察图表可知：
第1行第一个数是12；
第2行第一个数是22，然后依次递减1个数；
第3行第一个数是32，然后依次递减2个数；
第4行第一个数是42，然后依次递减3个数；
……
第n行第一个数是n2，然后依次递减（n-1）个数；
∴第45行第一个数是452=2025，然后依次递减44个数；
∴第45行、第8列的数是2025-7=2018，
故答案为2018．
【点评】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题。
命题角度④：代数式找规律—图形变化类
例4 （2018?重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【思路分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
……
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
(
思维升华：
方法
：将图形的变化转化为数字的变化，通过研究数字的变化规律得出图形的变化规律。
具体思路
：通过图形观察代数式的规律，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。
)
【变式训练】
5．（2018?青海）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形……，则第（5）个图案中有 个正方形，第n个图案中有 个正方形．
【思路分析】由题意知，正方形的个数为序数的3倍与1的差，据此可得．
【解答】解：∵第（1）个图形中正方形的个数2=3×1-1，
第（2）个图形中正方形的个数5=3×2-1，
第（3）个图形中正方形的个数8=3×3-1，
……
∴第（5）个图形中正方形的个数为3×5-1=14个，第n个图形中正方形的个数（3n-1），
故答案为：14、3n-1．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的3倍与1的差是解题的关键．
考点二：幂的运算
例5 （2018?聊城）下列计算错误的是（ ）
A．a2÷a0?a2=a4 B．a2÷（a0?a2）=1
C．（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5 D．-1.58÷（-1.5）7=-1.5
【思路分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a2÷a0?a2=a4，∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0?a2）=1，∴选项B不符合题意；
∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C不符合题意；
∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
(
思维升华：
1．进行幂的运算时，当底数为负数时，应先进行整理：
。
2．幂的运算实质上是幂的指数的运算，具体地说：
；
；
。
)
(
触“
雷
”警示：
混淆幂的运算法则
在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数幂的乘法与乘方运算法则，在应用时，要牢记以下公式：
，
，
。
（1）不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如：
，
；
（2）不要把
和
混淆，如：
，
。
)
【变式训练】
6．（2018?沈阳）下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3=m6 B．a10÷a9=a C．x3?x5=x8 D．a4+a3=a7
【思路分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．
【解答】解：A、（m2）3=m6，正确；
B、a10÷a9=a，正确；
C、x3?x5=x8，正确；
D、a4+a3=a4+a3，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
考点三：整式的运算
命题角度①：完全平方式
例6（2018?乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a-b=（ ）
A．1 B．- C．±1 D．±
【思路分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
【变式训练】
7．（2018?宁夏）已知m+n=12，m-n=2，则m2-n2= ．
【思路分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵m+n=12，m-n=2，
∴m2-n2=（m+n）（m-n）=2×12=24，
故答案为：24
【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．
命题角度②：整式的运算
例7 （2018?德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3 B．（-2a2）3=-8a3
C．（a-3）（3+a）=a2-9 D．（a-b）2=a2-b2
【思路分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2=a4，此选项错误；
B、（-2a2）3=-8a6，此选项错误；
C、（a-3）（3+a）=a2-9，此选项正确；
D、（a-b）2=a2-2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
(
思维升华：
整式的运算顺序：先算整式的乘除，再算正式的加减。整式的加减实质上就是合并同类项。
)
(
触“
雷
”警示：
单项式的除法要注意“系数相除”与“同底数幂相除”的不同之处，同底数幂相除是底数不变，指数相减。
)
【变式训练】
8．（2018?娄底）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a5=a10 B．（3a3）2=6a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a-3）=a2-a-6
【思路分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式=9a6，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=a2-a-6，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
命题角度③：整式的化简求值
例8 （2018?襄阳）先化简，再求值：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2，其中x=2+，y=2-．
【思路分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2
=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2
=3xy，
当x=2+，y=2-时，原式=3×（2+）（2-）=3．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式．
(
思维升华：
整式的化简求值的解题思路是：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值。
)
【变式训练】
9．（2018?淄博）先化简，再求值：a（a+2b）-（a+1）2+2a，其中a＝+1，b＝?1．
【思路分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．
【解答】解：原式=a2+2ab-（a2+2a+1）+2a
=a2+2ab-a2-2a-1+2a
=2ab-1，
当a＝+1，b＝?1时，
原式=2（+1）（?1）-1
=2-1
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析课程标准和近五年的中考题，可以发现中考命题主要集中在：代数式的规律探索问题、幂的运算、与整式运算有关的问题，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，可以预测未来中考试题中，对规律性问题、幂的运算、整式的运算仍会作为重点内容进行考查。
考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?贵阳）当x=-1时，代数式3x+1的值是（ ）
A．-1 B．-2 C．4 D．-4
【思路分析】把x的值代入解答即可．
【解答】解：把x=-1代入3x+1=-3+1=-2，
故选：B．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2018?临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）分
A． B． C． D．
【思路分析】整个组的平均成绩=15名学生的总成绩÷15．
【解答】解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为分．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15名学生的总成绩．
3．（2018?重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）
A．x=3，y=3 B．x=-4，y=-2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
【思路分析】根据运算程序，结合输出结果确定的值即可．
【解答】解：A、x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15，不符合题意；
B、x=-4、y=-2时，输出结果为（-4）2-2×（-2）=20，不符合题意；
C、x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12，符合题意；
D、x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了代数式的求值与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2018?湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2?x3=x5 C．（-x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
【思路分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
B、x2?x3=x5，正确；
C、（-x2）3=-x6，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5． （2018?滨州）下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
【解答】解：①a2?a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
6．（2018?南充）下列计算正确的是（ ）
A．-a4b÷a2b=-a2b B．（a-b）2=a2-b2
C．a2?a3=a6 D．-3a2+2a2=-a2
【思路分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：-a4b÷a2b=-a2，故选项A错误，
（a-b）2=a2-2ab+b2，故选项B错误，
a2?a3=a5，故选项C错误，
-3a2+2a2=-a2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
7．（2018?河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10-0.5）
C．9.52=102-2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【思路分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【解答】解：9.52=（10-0.5）2=102-2×10×0.5+0.52，
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
8．（2018?河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．
【思路分析】利用乘法的意义得到4?2n=2，则2?2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n的方程即可．
【解答】解：∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4?2n=2，
∴2?2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=-1．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am?an=a?m+n（m，n是正整数）．
9．（2018?云南）按一定规律排列的单项式：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，第n个单项式是（ ）
A．an B．-an C．（-1）n+1an D．（-1）nan
【思路分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【解答】解：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，（-1）n+1?an．
故选：C．
【点评】考查了单项式，数字的变化类，注意字母a的系数为奇数时，符号为正；系数字母a的系数为偶数时，符号为负．
10．（2018?重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【思路分析】根据第①个图案中三角形个数4=2+2×1，第②个图案中三角形个数6=2+2×2，第③个图案中三角形个数8=2+2×3可得第④个图形中三角形的个数为2+2×7．
【解答】解：∵第①个图案中三角形个数4=2+2×1，
第②个图案中三角形个数6=2+2×2，
第③个图案中三角形个数8=2+2×3，
……
∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7=16，
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出第n个图形中三角形的数量个数是2n+2．
11．（2018?德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
【思路分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
故选：B．
【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
12．（2018?宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a-2b D．-2b
【思路分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【解答】解：S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）?a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b?AD-ab-b?AB+ab=b（AD-AB）=2b．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
二、填空题
13．（2018?上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元．（用含字母a的代数式表示）．
【思路分析】根据实际售价=原价× 即可得．
【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．
14．（2018?临沂）已知m+n=mn，则（m-1）（n-1）= ．
【思路分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．
【解答】解：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=1，
故答案为1．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．
15．（2018?遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为 ．
【思路分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
第1层三角形的个数为：1，
第2层三角形的个数为：3，
第3层三角形的个数为：5，
第4层三角形的个数为：7，
第5层三角形的个数为：9，
……
第n层的三角形的个数为：2n-1，
∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018-1=4035，
故答案为：4035．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
16． （2018?常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 ．
【思路分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10-x，报3的人心想的数是x-6，报5的人心想的数是14-x，报2的人心想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心想的数可以是6-x，从而列出方程x-12=6-x求解．
17．（2018?赤峰）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 ．
【思路分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．
【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个，
第二个图形有2+2×3=8个，
第三个图形有2+3×4=14个，
第四个图形有2+4×5=22个，
……
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
18．（2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
【思路分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
三、解答题
19．（2018?济宁）化简：（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）．
【思路分析】原式利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果．
【解答】解：原式=y2-4-y2-5y+y+5=-4y+1，
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2018?宁波）先化简，再求值：（x-1）2+x（3-x），其中x=-．
【思路分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．
【解答】解：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1，
当x=-时，原式=-+1=．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
21．（2018?乌鲁木齐）先化简，再求值：(x+1)(x-1)+(2x-1)2-2x(2x-1)，其中x=+1．
【思路分析】先去括号，再合并同类项；最后把x的值代入即可．
【解答】解：原式=x2-1+4x2-4x+1-4x2+2x
=x2-2x，
把x=+1代入，得：
原式=（+1）2-2（+1）
=3+2-2-2
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式，此类题的思路为：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
22．（2018?乐山）先化简，再求值：（2m+1）（2m-1）-（m-1）2+（2m）3÷（-8m），其中m是方程x2+x-2=0的根。
【思路分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出m2+m=2，代入计算可得．
【解答】解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m）
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2（m2+m-1），
∵m是方程x2+x-2=0的根，
∴m2+m-2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2-1）=2．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算顺序和运算法则、方程的解的定义．
23．（2018?大庆）已知：x2-y2=12，x+y=3，求2x2-2xy的值．
【思路分析】先求出x-y=4，进而求出2x=7，而2x2-2xy=2x（x-y），代入即可得出结论．
【解答】解：∵x2-y2=12，
∴（x+y）（x-y）=12，
∵x+y=3①，
∴x-y=4②，
+②得，2x=7，
∴2x2-2xy=2x（x-y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了平方差公式，二元一次方程的解法，求出x-y=4是解本题的关键．
24．（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【思路分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：
．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
25．（2018?自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴M?N=am?an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M?N），
又∵m+n=logaM+logaN，
∴loga（M?N）=logaM+logaN，
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明 ;
（3）拓展运用：计算log32+log36-log34= ．
【思路分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am-n，由对数的定义得m-n=loga，
又∵m-n=logaM-logaN，
∴loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36-log34
=log3（2×6÷4）
=log33
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第三讲 整式
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、代数式
1．代数式
用 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。特别地，单独一个数或字母也是代数式。
2．代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点二、整式的有关概念
1．
(
温馨提醒：
单独一个数字或字母都是单项式。
)
2．同类项：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。
(
温馨提醒：
确定代数式是同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样，与系数的大小和字母的顺序无关。特别地，所有的常数项都是同类项。
)
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
其法则是：合并同类项时，把同类项的 相加，字母和字母的 不变。
知识点三、整式的运算
1．整式的加减：
（1）一般地，几个整式相加减，如果右括号就先去括号，然后再合并同类项。
（2）去括号法则：
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ，如：a+(b+c)=a+ ，a+(b-c)=a+ 。
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ，如：a-(b+c)=a- ，a-(b-c)=a- 。
（3）添括号法则：
a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )。
（4）整式加减的步骤是先 ，再 。
(
温馨提醒：
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要
。
)
2．整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式，如：。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，如：m(a+b-c)= 。
（3）多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。
（4）乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ ；
②完全平方公式：（a±b）2 = 。
(
温馨提醒：
（1）
在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要
先合并同类项
（2）
两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
)
3．整式的除法：
（1）单项式除以单项式：把 和 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如：
。
（2）多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。如：。
知识点四、幂的运算性质：
1．同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n为整数）。
2．幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n ＝ （a＞0，m、n为整数）。
3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 ，即：
(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n为整数）。
4．同底数幂的除法： 不变 相减，即：a m÷a n＝ （a＞0，m、n为整数）。
(
温馨提醒：
（1）要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运算，需先化为同底数幂再运算，如:
。
（2）
运用幂的性质进行运算要注意不要出现符号错误，
(-
a
)
n
=
（
n
为奇数），
(-
a
)
n
=
（
n
为偶数）
.
（3）
所有
幂的运算
性质都可以逆用，如
:
已知
3
m
=4
，
2
n
=3
，
则
9
m
8
n
=
(3
2
)
m
·(2
3
)
n
=(3
m
)
2
·(2
n
)
3
=4
2
·3
3
=16×27=432
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：代数式的相关概念
命题角度①：列代数式
例1 （2018?枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【思路分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长-边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有：
3a-2b+2b×2
=3a-2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．
(
思维升华：
列代数式是列方程解应用题的基础，也是列函数关系式的基础，列代数式的关键是明确题目中给定的数或数量关系是什么，应该用什么样的运算来表示这种数量关系。
)
(
触“
雷
”警示：
代数式的书写必须遵循下列规则：
?
（
1
）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·
?”
代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“×”号。
（
2
）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。
（
3
）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。
)
【变式训练】
1．（2018?安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
命题角度②：代数式求值
例2 （2018?荆州）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是 ．
【思路分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，…，
∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），
∴第2018次输出的结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．
例3（2018?徐州）若2m+n=4，则代数式6-2m-n的值为 ．
【思路分析】将6-2m-n化成6-（2m+n）代值即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n=4，
∴6-2m-n=6-（2m+n）=6-4=2，
故答案为2．
【点评】此题是代数式求值问题，利用整体代入是解本题的关键．
(
思维升华：
解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接代入法和整体代入法。
用直接代入法求值时，要注意代数式的符号问题；
用整体代入法求值时，关键是把所求的代数式转化为已知代数式的形式。
)
【变式训练】
2．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
3．（2018?岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
命题角度③：代数式找规律—数字变化类
例3 （2018?梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
【思路分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加1，第偶数是序数的平方减1，据此规律得到正确答案即可．
【解答】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数3=22-1，
第3个数10=32+1，
第4个数15=42-1，
第5个数26=52+1，
……，
∴第100个数是1002-1=9999，
故选：A．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．
(
思维升华：
数字类规律探索题，就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性结论，此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示。其解题步骤是：
（1）寻找不变的量；（2）寻找变化的量；（3）研究变化的量如何变化。
)
【变式训练】
4．（2018?淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
命题角度④：代数式找规律—图形变化类
例4 （2018?重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【思路分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
……
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
(
思维升华：
方法
：将图形的变化转化为数字的变化，通过研究数字的变化规律得出图形的变化规律。
具体思路
：通过图形观察代数式的规律，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。
)
【变式训练】
5．（2018?青海）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形……，则第（5）个图案中有 个正方形，第n个图案中有 个正方形．
考点二：幂的运算
例5 （2018?聊城）下列计算错误的是（ ）
A．a2÷a0?a2=a4 B．a2÷（a0?a2）=1
C．（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5 D．-1.58÷（-1.5）7=-1.5
【思路分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a2÷a0?a2=a4，∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0?a2）=1，∴选项B不符合题意；
∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C不符合题意；
∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
(
思维升华：
1．进行幂的运算时，当底数为负数时，应先进行整理：
。
2．幂的运算实质上是幂的指数的运算，具体地说：
；
；
。
)
(
触“
雷
”警示：
混淆幂的运算法则
在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数幂的乘法与乘方运算法则，在应用时，要牢记以下公式：
，
，
。
（1）不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如：
，
；
（2）不要把
和
混淆，如：
，
。
)
【变式训练】
6．（2018?沈阳）下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3=m6 B．a10÷a9=a C．x3?x5=x8 D．a4+a3=a7
考点三：整式的运算
命题角度①：完全平方式
例6（2018?乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a-b=（ ）
A．1 B．- C．±1 D．±
【思路分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
【变式训练】
7．（2018?宁夏）已知m+n=12，m-n=2，则m2-n2= ．
命题角度②：整式的运算
例7 （2018?德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3 B．（-2a2）3=-8a3
C．（a-3）（3+a）=a2-9 D．（a-b）2=a2-b2
【思路分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2=a4，此选项错误；
B、（-2a2）3=-8a6，此选项错误；
C、（a-3）（3+a）=a2-9，此选项正确；
D、（a-b）2=a2-2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
(
思维升华：
整式的运算顺序：先算整式的乘除，再算正式的加减。整式的加减实质上就是合并同类项。
)
(
触“
雷
”警示：
单项式的除法要注意“系数相除”与“同底数幂相除”的不同之处，同底数幂相除是底数不变，指数相减。
)
【变式训练】
8．（2018?娄底）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a5=a10 B．（3a3）2=6a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a-3）=a2-a-6
命题角度③：整式的化简求值
例8 （2018?襄阳）先化简，再求值：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2，其中x=2+，y=2-．
【思路分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2
=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2
=3xy，
当x=2+，y=2-时，原式=3×（2+）（2-）=3．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式．
(
思维升华：
整式的化简求值的解题思路是：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值。
)
【变式训练】
9．（2018?淄博）先化简，再求值：a（a+2b）-（a+1）2+2a，其中a＝+1，b＝?1．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析课程标准和近五年的中考题，可以发现中考命题主要集中在：代数式的规律探索问题、幂的运算、与整式运算有关的问题，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，可以预测未来中考试题中，对规律性问题、幂的运算、整式的运算仍会作为重点内容进行考查。
考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?贵阳）当x=-1时，代数式3x+1的值是（ ）
A．-1 B．-2 C．4 D．-4
2．（2018?临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）分
A． B． C． D．
3．（2018?重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）
A．x=3，y=3 B．x=-4，y=-2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
4．（2018?湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2?x3=x5 C．（-x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
5． （2018?滨州）下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2018?南充）下列计算正确的是（ ）
A．-a4b÷a2b=-a2b B．（a-b）2=a2-b2
C．a2?a3=a6 D．-3a2+2a2=-a2
7．（2018?河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10-0.5）
C．9.52=102-2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
8．（2018?河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．
9．（2018?云南）按一定规律排列的单项式：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，第n个单项式是（ ）
A．an B．-an C．（-1）n+1an D．（-1）nan
10．（2018?重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
11．（2018?德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
12．（2018?宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a-2b D．-2b
二、填空题
13．（2018?上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元．（用含字母a的代数式表示）．
14．（2018?临沂）已知m+n=mn，则（m-1）（n-1）= ．
15．（2018?遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为 ．
16． （2018?常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 ．
17．（2018?赤峰）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 ．
18．（2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
三、解答题
19．（2018?济宁）化简：（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）．
20．（2018?宁波）先化简，再求值：（x-1）2+x（3-x），其中x=-．
21．（2018?乌鲁木齐）先化简，再求值：(x+1)(x-1)+（2x-1）2-2x（2x-1），其中x=+1．
22．（2018?乐山）先化简，再求值：（2m+1）（2m-1）-（m-1）2+（2m）3÷（-8m），其中m是方程x2+x-2=0的根。
24．（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
25．（2018?自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴M?N=am?an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M?N），
又∵m+n=logaM+logaN，
∴loga（M?N）=logaM+logaN，
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明 ;
（3）拓展运用：计算log32+log36-log34= ．
???详细参考答案???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第三讲 整式
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、代数式
1．代数式
用 运算符号 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。特别地，单独一个数或字母也是代数式。
2．代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点二、整式的有关概念
1．
(
温馨提醒：
单独一个数字或字母都是单项式。
)
2．同类项：所含 字母 相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。
(
温馨提醒：
确定代数式是同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样，与系数的大小和字母的顺序无关。特别地，所有的常数项都是同类项。
)
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
其法则是：合并同类项时，把同类项的 系数 相加，字母和字母的 指数 不变。
知识点三、整式的运算
1．整式的加减：
（1）一般地，几个整式相加减，如果右括号就先去括号，然后再合并同类项。
（2）去括号法则：
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 ，如：a+(b+c)=a+ b+c ，a+(b-c)=a+ b-c 。
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 ，如：a-(b+c)=a- b-c ，a-(b-c)=a- b+c 。
（3）添括号法则：
a+b+c= a+( b+c )，a-b-c= a-( b+c )。
（4）整式加减的步骤是先 去括号 ，再 合并同类项 。
(
温馨提醒：
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要
变号
。
)
2．整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 相乘 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 指数 作为积的一个因式，如：。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，如：m(a+b-c)= ma+mb-mc 。
（3）多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，即（m+n）(a+b)= ma+mb+na+nb 。
（4）乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ a2-b2 ；
②完全平方公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2 。
(
温馨提醒：
（1）
在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要
先合并同类项
（2）
两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
)
3．整式的除法：
（1）单项式除以单项式：把 系数 和 同底数幂 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如。
（2）多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项 除以 这个单项式，再把所得的商 相加 。如：。
知识点四、幂的运算性质：
1．同底数幂的乘法： 底数 不变 指数 相加，即：a m a n＝ am+n （a＞0，m、n为整数）。
2．幂的乘方： 底数 不变 指数 相乘，即：(a m) n ＝ amn （a＞0，m、n为整数）。
3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘 ，即：
(ab) n ＝ anbn （a＞0，b＞0，n为整数）。
4．同底数幂的除法： 底数 不变 指数 相减，即：a m÷a n＝ am-n （a＞0，m、n为整数）。
(
温馨提醒：
（1）要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运算，需先化为同底数幂再运算，如:
。
（2）
运用幂的性质进行运算要注意不要出现符号错误，
(-
a
)
n
=
-
a
n
（
n
为奇数），
(-
a
)
n
=
a
n
（
n
为偶数）
.
（3）
所有
幂的运算
性质都可以逆用，如
:
已知
3
m
=4
，
2
n
=3
，
则
9
m
8
n
=
(3
2
)
m
·(2
3
)
n
=(3
m
)
2
·(2
n
)
3
=4
2
·3
3
=16×27=432
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：代数式的相关概念
命题角度①：列代数式
【变式训练】
1．B
解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．
故选：B．
命题角度②：代数式求值
【变式训练】
2．15
解：当3x-2=127时，x=43，
当3x-2=43时，x=15，
当3x-2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
3．5
解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为5．
命题角度③：代数式找规律—数字变化类
【变式训练】
4．2018
解：观察图表可知：
第1行第一个数是12；
第2行第一个数是22，然后依次递减1个数；
第3行第一个数是32，然后依次递减2个数；
第4行第一个数是42，然后依次递减3个数；
……
第n行第一个数是n2，然后依次递减（n-1）个数；
∴第45行第一个数是452=2025，然后依次递减44个数；
∴第45行、第8列的数是2025-7=2018，
故答案为2018．
命题角度④：代数式找规律—图形变化类
【变式训练】
5．14，3n-1
解：∵第（1）个图形中正方形的个数2=3×1-1，
第（2）个图形中正方形的个数5=3×2-1，
第（3）个图形中正方形的个数8=3×3-1，
……
∴第（5）个图形中正方形的个数为3×5-1=14个，第n个图形中正方形的个数（3n-1），
故答案为：14，3n-1．
考点二：幂的运算
【变式训练】
6．D
解：A、（m2）3=m6，正确；
B、a10÷a9=a，正确；
C、x3?x5=x8，正确；
D、a4+a3=a4+a3，错误；
故选：D．
考点三：整式的运算
命题角度①：完全平方式
【变式训练】
7．24
解：∵m+n=12，m-n=2，
∴m2-n2=（m+n）（m-n）=2×12=24，
故答案为：24
命题角度②：整式的运算
【变式训练】
8．D
解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式=9a6，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=a2-a-6，符合题意，
故选：D．
命题角度③：整式的化简求值
【变式训练】
9．1
解：原式=a2+2ab-（a2+2a+1）+2a
=a2+2ab-a2-2a-1+2a
=2ab-1，
当a＝+1，b＝?1时，
原式=2（+1）（?1）-1
=2-1
=1．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．B
解：把x=-1代入3x+1=-3+1=-2，
故选：B．
2．B
解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为分．
故选：B．
3．C
解：A、x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15，不符合题意；
B、x=-4、y=-2时，输出结果为（-4）2-2×（-2）=20，不符合题意；
C、x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12，符合题意；
D、x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20，不符合题意；
故选：C．
4．B
解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
B、x2?x3=x5，正确；
C、（-x2）3=-x6，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，故此选项错误；
故选：B．
5． B
解：①a2?a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2个，
故选：B．
6．D
解：-a4b÷a2b=-a2，故选项A错误，
（a-b）2=a2-2ab+b2，故选项B错误，
a2?a3=a5，故选项C错误，
-3a2+2a2=-a2，故选项D正确，
故选：D．
7．C
解：9.52=（10-0.5）2=102-2×10×0.5+0.52，
故选：C．
8．A
解：∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4?2n=2，
∴2?2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=-1．
故选：A．
9．C
解：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，（-1）n+1?an．
故选：C．
10．C
解：∵第①个图案中三角形个数4=2+2×1，
第②个图案中三角形个数6=2+2×2，
第③个图案中三角形个数8=2+2×3，
……
∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7=16，
故选：C．
11．B
解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
故选：B．
12．B
解：S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）?a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b?AD-ab-b?AB+ab=b（AD-AB）=2b．
故选：B．
二、填空题
13．0.8a
解：根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a．
14．1
解：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=1，
故答案为1．
15．4035
解：由图可得，
第1层三角形的个数为：1，
第2层三角形的个数为：3，
第3层三角形的个数为：5，
第4层三角形的个数为：7，
第5层三角形的个数为：9，
……
第n层的三角形的个数为：2n-1，
∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018-1=4035，
故答案为：4035．
16． 9
解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10-x，报3的人心想的数是x-6，报5的人心想的数是14-x，报2的人心想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
17．n2+n+2
解：∵第一个图形有2+1×2=4个，
第二个图形有2+2×3=8个，
第三个图形有2+3×4=14个，
第四个图形有2+4×5=22个，
……
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
18．（505，2）
解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
三、解答题
19．解：原式=y2-4-y2-5y+y+5=-4y+1。
20．解：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1，
当x=-时，原式=-+1=．
21．解：原式=x2-1+4x2-4x+1-4x2+2x
=x2-2x，
把x=+1代入，得：
原式=（+1）2-2（+1）
=3+2-2-2
=1．
22．解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m）
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2（m2+m-1），
∵m是方程x2+x-2=0的根，
∴m2+m-2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2-1）=2．
23．解：∵x2-y2=12，
∴（x+y）（x-y）=12，
∵x+y=3①，
∴x-y=4②，
+②得，2x=7，
∴2x2-2xy=2x（x-y）=7×4=28．
24．（a+b）2
解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2;
方案三：
．
25．解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am-n，由对数的定义得m-n=loga，
又∵m-n=logaM-logaN，
∴loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36-log34
=log3（2×6÷4）
=log33
=1，
故答案为：1．
???教师用书???
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第一章 数与式
第三讲 整式
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、代数式
1．代数式
用 运算符号 把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。特别地，单独一个数或字母也是代数式。
2．代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值。
知识点二、整式的有关概念
1．
(
温馨提醒：
单独一个数字或字母都是单项式。
)
2．同类项：所含 字母 相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项。常数项都是同类项。
(
温馨提醒：
确定代数式是同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，指数一样，与系数的大小和字母的顺序无关。特别地，所有的常数项都是同类项。
)
3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
其法则是：合并同类项时，把同类项的 系数 相加，字母和字母的 指数 不变。
知识点三、整式的运算
1．整式的加减：
（1）一般地，几个整式相加减，如果右括号就先去括号，然后再合并同类项。
（2）去括号法则：
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同 ，如：a+(b+c)=a+ b+c ，a+(b-c)=a+ b-c 。
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相反 ，如：a-(b+c)=a- b-c ，a-(b-c)=a- b+c 。
（3）添括号法则：
a+b+c= a+( b+c )，a-b-c= a-( b+c )。
（4）整式加减的步骤是先 去括号 ，再 合并同类项 。
(
温馨提醒：
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要
变号
。
)
2．整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别 相乘 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 指数 作为积的一个因式，如：。
（2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，如：m(a+b-c)= ma+mb-mc 。
（3）多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加 ，即（m+n）(a+b)= ma+mb+na+nb 。
（4）乘法公式：
①平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ a2-b2 ；
②完全平方公式：（a±b）2 = a2±2ab+b2 。
(
温馨提醒：
（1）
在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要
先合并同类项
（2）
两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
)
3．整式的除法：
（1）单项式除以单项式：把 系数 和 同底数幂 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如。
（2）多项式除以单项式：先用这个多项式的每一项 除以 这个单项式，再把所得的商 相加 。如：。
知识点四、幂的运算性质：
1．同底数幂的乘法： 底数 不变 指数 相加，即：a m a n＝ am+n （a＞0，m、n为整数）。
2．幂的乘方： 底数 不变 指数 相乘，即：(a m) n ＝ amn （a＞0，m、n为整数）。
3．积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘 ，即：
(ab) n ＝ anbn （a＞0，b＞0，n为整数）。
4．同底数幂的除法： 底数 不变 指数 相减，即：a m÷a n＝ am-n （a＞0，m、n为整数）。
(
温馨提醒：
（1）要牢记幂的运算公式，区分开幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意不同底数幂不能按照幂的运算法则运算，需先化为同底数幂再运算，如:
。
（2）
运用幂的性质进行运算要注意不要出现符号错误，
(-
a
)
n
=
-
a
n
（
n
为奇数），
(-
a
)
n
=
a
n
（
n
为偶数）
.
（3）
所有
幂的运算
性质都可以逆用，如
:
已知
3
m
=4
，
2
n
=3
，
则
9
m
8
n
=
(3
2
)
m
·(2
3
)
n
=(3
m
)
2
·(2
n
)
3
=4
2
·3
3
=16×27=432
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：代数式的相关概念
命题角度①：列代数式
例1 （2018?枣庄）如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b
【思路分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长-边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有：
3a-2b+2b×2
=3a-2b+4b
=3a+2b．
故这块矩形较长的边长为3a+2b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．
(
思维升华：
列代数式是列方程解应用题的基础，也是列函数关系式的基础，列代数式的关键是明确题目中给定的数或数量关系是什么，应该用什么样的运算来表示这种数量关系。
)
(
触“
雷
”警示：
代数式的书写必须遵循下列规则：
?
（
1
）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“·
?”
代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“×”号。
（
2
）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。
（
3
）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。
)
【变式训练】
1．（2018?安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
【思路分析】根据2016年的有效发明专利数×（1+年平均增长率）2=2018年的有效发明专利数．
【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．
故选：B．
【点评】考查了列代数式，掌握2次增长或下降之类方程的等量关系是解决本题的关键．
命题角度②：代数式求值
例2 （2018?荆州）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是 ．
【思路分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是1，…，
∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），
∴第2018次输出的结果是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．
例3（2018?徐州）若2m+n=4，则代数式6-2m-n的值为 ．
【思路分析】将6-2m-n化成6-（2m+n）代值即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n=4，
∴6-2m-n=6-（2m+n）=6-4=2，
故答案为2．
【点评】此题是代数式求值问题，利用整体代入是解本题的关键．
(
思维升华：
解答代数式求值问题，一般有两种方法：直接代入法和整体代入法。
用直接代入法求值时，要注意代数式的符号问题；
用整体代入法求值时，关键是把所求的代数式转化为已知代数式的形式。
)
【变式训练】
2．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
【思路分析】根据输出的结果确定出x的所有可能值即可．
【解答】解：当3x-2=127时，x=43，
当3x-2=43时，x=15，
当3x-2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
3．（2018?岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
【思路分析】利用整体思想代入计算即可；
【解答】解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于基础题．
命题角度③：代数式找规律—数字变化类
例3 （2018?梧州）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
【思路分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加1，第偶数是序数的平方减1，据此规律得到正确答案即可．
【解答】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数3=22-1，
第3个数10=32+1，
第4个数15=42-1，
第5个数26=52+1，
……，
∴第100个数是1002-1=9999，
故选：A．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．
(
思维升华：
数字类规律探索题，就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性结论，此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示。其解题步骤是：
（1）寻找不变的量；（2）寻找变化的量；（3）研究变化的量如何变化。
)
【变式训练】
4．（2018?淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025-7=2018；
【解答】解：观察图表可知：
第1行第一个数是12；
第2行第一个数是22，然后依次递减1个数；
第3行第一个数是32，然后依次递减2个数；
第4行第一个数是42，然后依次递减3个数；
……
第n行第一个数是n2，然后依次递减（n-1）个数；
∴第45行第一个数是452=2025，然后依次递减44个数；
∴第45行、第8列的数是2025-7=2018，
故答案为2018．
【点评】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题。
命题角度④：代数式找规律—图形变化类
例4 （2018?重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【思路分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5=3+2×1个，
第三个图形有7=3+2×2个，
……
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
(
思维升华：
方法
：将图形的变化转化为数字的变化，通过研究数字的变化规律得出图形的变化规律。
具体思路
：通过图形观察代数式的规律，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论。
)
【变式训练】
5．（2018?青海）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形……，则第（5）个图案中有 个正方形，第n个图案中有 个正方形．
【思路分析】由题意知，正方形的个数为序数的3倍与1的差，据此可得．
【解答】解：∵第（1）个图形中正方形的个数2=3×1-1，
第（2）个图形中正方形的个数5=3×2-1，
第（3）个图形中正方形的个数8=3×3-1，
……
∴第（5）个图形中正方形的个数为3×5-1=14个，第n个图形中正方形的个数（3n-1），
故答案为：14、3n-1．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的3倍与1的差是解题的关键．
考点二：幂的运算
例5 （2018?聊城）下列计算错误的是（ ）
A．a2÷a0?a2=a4 B．a2÷（a0?a2）=1
C．（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5 D．-1.58÷（-1.5）7=-1.5
【思路分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a2÷a0?a2=a4，∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0?a2）=1，∴选项B不符合题意；
∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C不符合题意；
∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
(
思维升华：
1．进行幂的运算时，当底数为负数时，应先进行整理：
。
2．幂的运算实质上是幂的指数的运算，具体地说：
；
；
。
)
(
触“
雷
”警示：
混淆幂的运算法则
在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数幂的乘法与乘方运算法则，在应用时，要牢记以下公式：
，
，
。
（1）不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如：
，
；
（2）不要把
和
混淆，如：
，
。
)
【变式训练】
6．（2018?沈阳）下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3=m6 B．a10÷a9=a C．x3?x5=x8 D．a4+a3=a7
【思路分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则化简求出即可．
【解答】解：A、（m2）3=m6，正确；
B、a10÷a9=a，正确；
C、x3?x5=x8，正确；
D、a4+a3=a4+a3，错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的除法运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
考点三：整式的运算
命题角度①：完全平方式
例6（2018?乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a-b=（ ）
A．1 B．- C．±1 D．±
【思路分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
【变式训练】
7．（2018?宁夏）已知m+n=12，m-n=2，则m2-n2= ．
【思路分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：∵m+n=12，m-n=2，
∴m2-n2=（m+n）（m-n）=2×12=24，
故答案为：24
【点评】此题考查平方差公式，关键是根据平方差公式的形式解答．
命题角度②：整式的运算
例7 （2018?德阳）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3 B．（-2a2）3=-8a3
C．（a-3）（3+a）=a2-9 D．（a-b）2=a2-b2
【思路分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2=a4，此选项错误；
B、（-2a2）3=-8a6，此选项错误；
C、（a-3）（3+a）=a2-9，此选项正确；
D、（a-b）2=a2-2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
(
思维升华：
整式的运算顺序：先算整式的乘除，再算正式的加减。整式的加减实质上就是合并同类项。
)
(
触“
雷
”警示：
单项式的除法要注意“系数相除”与“同底数幂相除”的不同之处，同底数幂相除是底数不变，指数相减。
)
【变式训练】
8．（2018?娄底）下列运算正确的是（ ）
A．a2?a5=a10 B．（3a3）2=6a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a-3）=a2-a-6
【思路分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式=9a6，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=a2-a-6，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
命题角度③：整式的化简求值
例8 （2018?襄阳）先化简，再求值：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2，其中x=2+，y=2-．
【思路分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-（x-y）2
=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2
=3xy，
当x=2+，y=2-时，原式=3×（2+）（2-）=3．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式．
(
思维升华：
整式的化简求值的解题思路是：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值。
)
【变式训练】
9．（2018?淄博）先化简，再求值：a（a+2b）-（a+1）2+2a，其中a＝+1，b＝?1．
【思路分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．
【解答】解：原式=a2+2ab-（a2+2a+1）+2a
=a2+2ab-a2-2a-1+2a
=2ab-1，
当a＝+1，b＝?1时，
原式=2（+1）（?1）-1
=2-1
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析课程标准和近五年的中考题，可以发现中考命题主要集中在：代数式的规律探索问题、幂的运算、与整式运算有关的问题，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，可以预测未来中考试题中，对规律性问题、幂的运算、整式的运算仍会作为重点内容进行考查。
考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?贵阳）当x=-1时，代数式3x+1的值是（ ）
A．-1 B．-2 C．4 D．-4
【思路分析】把x的值代入解答即可．
【解答】解：把x=-1代入3x+1=-3+1=-2，
故选：B．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2018?临安区）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）分
A． B． C． D．
【思路分析】整个组的平均成绩=15名学生的总成绩÷15．
【解答】解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为分．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15名学生的总成绩．
3．（2018?重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为12的是（ ）
A．x=3，y=3 B．x=-4，y=-2 C．x=2，y=4 D．x=4，y=2
【思路分析】根据运算程序，结合输出结果确定的值即可．
【解答】解：A、x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15，不符合题意；
B、x=-4、y=-2时，输出结果为（-4）2-2×（-2）=20，不符合题意；
C、x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12，符合题意；
D、x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了代数式的求值与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2018?湘潭）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2?x3=x5 C．（-x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
【思路分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
B、x2?x3=x5，正确；
C、（-x2）3=-x6，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5． （2018?滨州）下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
【解答】解：①a2?a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
6．（2018?南充）下列计算正确的是（ ）
A．-a4b÷a2b=-a2b B．（a-b）2=a2-b2
C．a2?a3=a6 D．-3a2+2a2=-a2
【思路分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：-a4b÷a2b=-a2，故选项A错误，
（a-b）2=a2-2ab+b2，故选项B错误，
a2?a3=a5，故选项C错误，
-3a2+2a2=-a2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
7．（2018?河北）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10-0.5）
C．9.52=102-2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【思路分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【解答】解：9.52=（10-0.5）2=102-2×10×0.5+0.52，
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
8．（2018?河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．
【思路分析】利用乘法的意义得到4?2n=2，则2?2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n的方程即可．
【解答】解：∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4?2n=2，
∴2?2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=-1．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am?an=a?m+n（m，n是正整数）．
9．（2018?云南）按一定规律排列的单项式：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，第n个单项式是（ ）
A．an B．-an C．（-1）n+1an D．（-1）nan
【思路分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．
【解答】解：a，-a2，a3，-a4，a5，-a6，……，（-1）n+1?an．
故选：C．
【点评】考查了单项式，数字的变化类，注意字母a的系数为奇数时，符号为正；系数字母a的系数为偶数时，符号为负．
10．（2018?重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【思路分析】根据第①个图案中三角形个数4=2+2×1，第②个图案中三角形个数6=2+2×2，第③个图案中三角形个数8=2+2×3可得第④个图形中三角形的个数为2+2×7．
【解答】解：∵第①个图案中三角形个数4=2+2×1，
第②个图案中三角形个数6=2+2×2，
第③个图案中三角形个数8=2+2×3，
……
∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7=16，
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出第n个图形中三角形的数量个数是2n+2．
11．（2018?德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
【思路分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
故选：B．
【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
12．（2018?宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a-2b D．-2b
【思路分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【解答】解：S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），
S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），
∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）?a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b?AD-ab-b?AB+ab=b（AD-AB）=2b．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
二、填空题
13．（2018?上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元．（用含字母a的代数式表示）．
【思路分析】根据实际售价=原价× 即可得．
【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a．
【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．
14．（2018?临沂）已知m+n=mn，则（m-1）（n-1）= ．
【思路分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．
【解答】解：（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∵m+n=mn，
∴（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1=1，
故答案为1．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．
15．（2018?遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为 ．
【思路分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
第1层三角形的个数为：1，
第2层三角形的个数为：3，
第3层三角形的个数为：5，
第4层三角形的个数为：7，
第5层三角形的个数为：9，
……
第n层的三角形的个数为：2n-1，
∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018-1=4035，
故答案为：4035．
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
16． （2018?常德）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是 ．
【思路分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可．
【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10-x，报3的人心想的数是x-6，报5的人心想的数是14-x，报2的人心想的数是x-12，
所以有x-12+x=2×3，
解得x=9．
故答案为9．
【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心想的数可以是6-x，从而列出方程x-12=6-x求解．
17．（2018?赤峰）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 ．
【思路分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．
【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个，
第二个图形有2+2×3=8个，
第三个图形有2+3×4=14个，
第四个图形有2+4×5=22个，
……
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
18．（2018?桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为 。
列
行 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 2 3 4
第2行 8 7 6 5
第3行 9 10 11 12
第4行 16 15 14 13
… … … … …
第n行 … … … …
【思路分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2018÷4=504…2，
504+1=505，
∴2018在第505行，
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列，
∴自然数2018记为（505，2）．
故答案为（505，2）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键．
三、解答题
19．（2018?济宁）化简：（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）．
【思路分析】原式利用平方差公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果．
【解答】解：原式=y2-4-y2-5y+y+5=-4y+1，
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2018?宁波）先化简，再求值：（x-1）2+x（3-x），其中x=-．
【思路分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．
【解答】解：原式=x2-2x+1+3x-x2=x+1，
当x=-时，原式=-+1=．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
21．（2018?乌鲁木齐）先化简，再求值：(x+1)(x-1)+(2x-1)2-2x(2x-1)，其中x=+1．
【思路分析】先去括号，再合并同类项；最后把x的值代入即可．
【解答】解：原式=x2-1+4x2-4x+1-4x2+2x
=x2-2x，
把x=+1代入，得：
原式=（+1）2-2（+1）
=3+2-2-2
=1．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值，做好本题要熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整式乘法公式，此类题的思路为：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
22．（2018?乐山）先化简，再求值：（2m+1）（2m-1）-（m-1）2+（2m）3÷（-8m），其中m是方程x2+x-2=0的根。
【思路分析】先利用平方差公式和完全平方公式及单项式的除法化简原式，再由方程的解的定义得出m2+m=2，代入计算可得．
【解答】解：原式=4m2-1-（m2-2m+1）+8m3÷（-8m）
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2（m2+m-1），
∵m是方程x2+x-2=0的根，
∴m2+m-2=0，即m2+m=2，
则原式=2×（2-1）=2．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算顺序和运算法则、方程的解的定义．
23．（2018?大庆）已知：x2-y2=12，x+y=3，求2x2-2xy的值．
【思路分析】先求出x-y=4，进而求出2x=7，而2x2-2xy=2x（x-y），代入即可得出结论．
【解答】解：∵x2-y2=12，
∴（x+y）（x-y）=12，
∵x+y=3①，
∴x-y=4②，
+②得，2x=7，
∴2x2-2xy=2x（x-y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了平方差公式，二元一次方程的解法，求出x-y=4是解本题的关键．
24．（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【思路分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：
．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
25．（2018?自贡）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴M?N=am?an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M?N），
又∵m+n=logaM+logaN，
∴loga（M?N）=logaM+logaN，
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明 ;
（3）拓展运用：计算log32+log36-log34= ．
【思路分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；
（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，
故答案为：3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am-n，由对数的定义得m-n=loga，
又∵m-n=logaM-logaN，
∴loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36-log34
=log3（2×6÷4）
=log33
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
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