2019版初中数学综合复习第4讲《因式分解》（含详细参考答案）
文档属性
| 名称 | 2019版初中数学综合复习第4讲《因式分解》（含详细参考答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 108.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-19 16:10:35 | ||
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文档简介
???学生用书+详细参考答案和教师用书???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第四讲 因式分解
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、因式分解的定义
1．把一个 式化为几个整式 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解与整式乘法是 运算，即：
。
(
温馨提醒：
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否
为
的形式。
)
知识点二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的 叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
(
温馨提醒：
公因式的选择可以是单项式，也可以是
，
确定公因式的一般方法是
：
（1）先
取系数
，取多项式中各项系数
的
；
（2）再取字母，取各项中共同的字母；
（3）最后取指数，取
相同字母的
指数中的
。
)
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2= ；
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
(
温馨提醒：
运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的
a
与
b
。如：
符合完全平方公式形式，而
就不符合该公式的形式。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：因式分解
命题角度①：提公因式法
例1 （2018?杭州）因式分解：（a-b）2-（b-a）= ．
【思路分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=（a-b）2+（a-b）=（a-b）（a-b+1），
故答案为：（a-b）（a-b+1）。
【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(
思维升华：
（1）
提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为
1
，不能漏掉。
（2）
提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要
变号
。
)
变式训练
1．（2018?潍坊）因式分解：（x+2）x-x-2= ．
命题角度②：公式法
例2 （2018?贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2
B．2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2
C．2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y）
D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y）
【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2-4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2-8y2=2（x+2y）（x-2y），故此选项错误；
D、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
例3（2018?绥化）因式分解：3ax2-12ay2= ．
【思路分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=3a（x2-4y2）
=3a（x+2y）（x-2y），
故答案为：3a（x+2y）（x-2y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
(
思维升华：
因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
（1）先看是否能提公因式；
（2）再看能否套用公式法；
（3）再检查因式分解是否彻底；
（4）最后用多项式乘法检验分解是否正确。
)
(
触
雷
警示：
分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验
。
)
【变式训练】
2．（2018?济南）分解因式：m2-4= ．
3．（2018?东莞市）分解因式：x2-2x+1= ．
4．（2018?株洲）因式分解：a2（a-b）-4（a-b）= ．
考点三：因式分解的应用
例3（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1＞6-2＞4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【思路分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′-t=（10y+x）-（10x+y）=9（y-x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
【变式训练】
5．（2018?临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4?（A），
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） （B），
∴c2=a2+b2?（C），
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
分解因式的提公因式法和公式法，以及提公因式法与公式法的综合运用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
因式分解
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?济宁）多项式4a-a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4-a2） B．a（2-a）（2+a）
C．a（a-2）（a+2） D．a（2-a）2
2．（2018?邵阳）将多项式x-x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2-1） B．x（1-x2）
C．x（x+1）（x-1） D．x（1+x）（1-x）
3．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（ ）
A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）
C．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2 D．x2-4x+4=（x+2）（x-2）
4．（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
二、填空题
5．（2018?温州）分解因式：a2-5a= ．
6．（2018?吉林）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
7．（2018?镇江）分解因式：x2-1= ．
8．（2018?湘潭）因式分解：a2-2ab+b2= ．
9．（2018?绍兴）因式分解：4x2-y2= ．
10．（2018?常州）分解因式：3x2-6x+3= ．
11．（2018?攀枝花）分解因式：x3y-2x2y+xy= ．
12．（2018?苏州）若a+b=4，a-b=1，则（a+1）2-（b-1）2的值为 ．
13．（2018?成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
三、解答题
14．（2018?齐齐哈尔）分解因式：6（a-b）2+3（a-b）
15．（2017?大庆）已知非零实数a，b满足a+b=3，，求代数式a2b+ab2的值．
16．（2017?河北）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（-1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
???详细参考答案???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第四讲 因式分解
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、因式分解的定义
1．把一个 多项式 式化为几个整式 积 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(
（ ）
)2．因式分解与整式乘法是 互逆 运算，即：。
(
温馨提醒：
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否
为
整式的积
的形式。
)
知识点二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= m(a+b+c) 。
(
温馨提醒：
公因式的选择可以是单项式，也可以是
多项式
，
确定公因式的一般方法是
：
（1）先
取系数
，取多项式中各项系数
的
最大公因数
；
（2）再取字母，取各项中共同的字母；
（3）最后取指数，取
相同字母的
指数中的
最小数
。
)
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2= (a+b)(a-b) ；
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2 。
(
温馨提醒：
运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的
a
与
b
。如：
符合完全平方公式形式，而
就不符合该公式的形式。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：因式分解
命题角度①：提公因式法
变式训练
1．（x+2）（x-1）．
命题角度②：公式法
【变式训练】
2．（m+2）（m-2）．
3．（x-1）2．
4．（a-b）（a-2）（a+2）．
解：a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
考点三：因式分解的应用
【变式训练】
5．解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．B
解：4a-a3
=a（4-a2）
=a（2-a）（2+a）．
故选：B．
2．D
解：x-x3=x（1-x2）
=x（1-x）（1+x）．
故选：D．
3．C
解：A、-x2+4x=-x（x-4），故此选项错误；
B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；
C、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项正确；
D、x2-4x+4=（x-2）2，故此选项错误；
故选：C．
4．C
解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解，
（B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解，
（D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全，
故选：C．
二、填空题
5．a（a-5）．
6．4
解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
7．（x+1）（x-1）．
8．（a-b）2．
9．（2x+y）（2x-y）
10．3（x-1）2
解：3x2-6x+3
=3（x2-2x+1）
=3（x-1）2．
11．xy（x-1）2
解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．
12．12
解：∵a+b=4，a-b=1，
∴（a+1）2-（b-1）2
=（a+1+b-1）（a+1-b+1）
=（a+b）（a-b+2）
=4×（1+2）
=12．
13．0.36
解：∵x+y=0.2，x+3y=1，
∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，
则原式=（x+2y）2=0.36．
故答案为：0.36
三、解答题
14．解：6（a-b）2+3（a-b）
=3（a-b）[2（a-b）+1]
=3（a-b）（2a-2b+1）．
15．解：∵，a+b=3，
∴ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
16．解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（-1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（-1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n-2，n-1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n-1，n+1，
它们的平方和为：（n-1）2+n2+（n+1）2
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
???教师用书???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第四讲 因式分解
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、因式分解的定义
1．把一个 多项式 式化为几个整式 积 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(
（ ）
)2．因式分解与整式乘法是 互逆 运算，即：。
(
温馨提醒：
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否
为
整式的积
的形式。
)
知识点二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= m(a+b+c) 。
(
温馨提醒：
公因式的选择可以是单项式，也可以是
多项式
，
确定公因式的一般方法是
：
（1）先
取系数
，取多项式中各项系数
的
最大公因数
；
（2）再取字母，取各项中共同的字母；
（3）最后取指数，取
相同字母的
指数中的
最小数
。
)
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2= (a+b)(a-b) ；
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2 。
(
温馨提醒：
运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的
a
与
b
。如：
符合完全平方公式形式，而
就不符合该公式的形式。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：因式分解
命题角度①：提公因式法
例1 （2018?杭州）因式分解：（a-b）2-（b-a）= ．
【思路分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=（a-b）2+（a-b）=（a-b）（a-b+1），
故答案为：（a-b）（a-b+1）。
【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(
思维升华：
（1）
提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为
1
，不能漏掉。
（2）
提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要
变号
。
)
变式训练
1．（2018?潍坊）因式分解：（x+2）x-x-2= ．
【思路分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解．
【解答】解：原式=（x+2）（x-1）．
故答案是：（x+2）（x-1）．
【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
命题角度②：公式法
例2 （2018?贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2
B．2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2
C．2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y）
D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y）
【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2-4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2-8y2=2（x+2y）（x-2y），故此选项错误；
D、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
例3（2018?绥化）因式分解：3ax2-12ay2= ．
【思路分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=3a（x2-4y2）
=3a（x+2y）（x-2y），
故答案为：3a（x+2y）（x-2y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
(
思维升华：
因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
（1）先看是否能提公因式；
（2）再看能否套用公式法；
（3）再检查因式分解是否彻底；
（4）最后用多项式乘法检验分解是否正确。
)
(
触
雷
警示：
分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验
。
)
【变式训练】
2．（2018?济南）分解因式：m2-4= ．
【思路分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【解答】解：m2-4=（m+2）（m-2）．
故答案为：（m+2）（m-2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
3．（2018?东莞市）分解因式：x2-2x+1= ．
【思路分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2-2x+1=（x-1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
4．（2018?株洲）因式分解：a2（a-b）-4（a-b）= ．
【思路分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
故答案为：（a-b）（a-2）（a+2）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．
考点三：因式分解的应用
例3（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1＞6-2＞4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【思路分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′-t=（10y+x）-（10x+y）=9（y-x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
【变式训练】
5．（2018?临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4?（A），
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） （B），
∴c2=a2+b2?（C），
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【思路分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
分解因式的提公因式法和公式法，以及提公因式法与公式法的综合运用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
因式分解
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?济宁）多项式4a-a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4-a2） B．a（2-a）（2+a）
C．a（a-2）（a+2） D．a（2-a）2
【思路分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a-a3
=a（4-a2）
=a（2-a）（2+a）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
2．（2018?邵阳）将多项式x-x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2-1） B．x（1-x2）
C．x（x+1）（x-1） D．x（1+x）（1-x）
【思路分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x-x3=x（1-x2）
=x（1-x）（1+x）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
3．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（ ）
A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）
C．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2 D．x2-4x+4=（x+2）（x-2）
【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．
【解答】解：A、-x2+4x=-x（x-4），故此选项错误；
B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；
C、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项正确；
D、x2-4x+4=（x-2）2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
4．（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
【思路分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
【解答】解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解，
（B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解，
（D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全，
故选：C．
【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
二、填空题
5．（2018?温州）分解因式：a2-5a= ．
【思路分析】提取公因式a进行分解即可．
【解答】解：a2-5a=a（a-5）．
故答案是：a（a-5）．
【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
6．（2018?吉林）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
【思路分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
【解答】解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．（2018?镇江）分解因式：x2-1= ．
【思路分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）．
故答案为：（x+1）（x-1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
8．（2018?湘潭）因式分解：a2-2ab+b2= ．
【思路分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（a-b）2．
故答案为：（a-b）2．
【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
9．（2018?绍兴）因式分解：4x2-y2= ．
【思路分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（2x+y）（2x-y），
故答案为：（2x+y）（2x-y）
【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（2018?常州）分解因式：3x2-6x+3= ．
【思路分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2-6x+3
=3（x2-2x+1）
=3（x-1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（2018?攀枝花）分解因式：x3y-2x2y+xy= ．
【思路分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．
故答案为：xy（x-1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2018?苏州）若a+b=4，a-b=1，则（a+1）2-（b-1）2的值为 ．
【思路分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【解答】解：∵a+b=4，a-b=1，
∴（a+1）2-（b-1）2
=（a+1+b-1）（a+1-b+1）
=（a+b）（a-b+2）
=4×（1+2）
=12．
故答案是：12．
【点评】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．
13．（2018?成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
【思路分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y=0.2，x+3y=1，
∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，
则原式=（x+2y）2=0.36．
故答案为：0.36
【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三、解答题
14．（2018?齐齐哈尔）分解因式：6（a-b）2+3（a-b）
【思路分析】直接提取公因式3（a-b），进而分解因式得出答案．
【解答】解：6（a-b）2+3（a-b）
=3（a-b）[2（a-b）+1]
=3（a-b）（2a-2b+1）．
【点评】此题主要考查了实数运算以及提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．
15．（2017?大庆）已知非零实数a，b满足a+b=3，，求代数式a2b+ab2的值．
【思路分析】将a+b=3代入求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值．
【解答】解：∵，a+b=3，
∴ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，分式的加减运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．（2017?河北）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（-1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【思路分析】验证（1）计算（-1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（-1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（-1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n-2，n-1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n-1，n+1，
它们的平方和为：（n-1）2+n2+（n+1）2
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第四讲 因式分解
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、因式分解的定义
1．把一个 式化为几个整式 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解与整式乘法是 运算，即：
。
(
温馨提醒：
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否
为
的形式。
)
知识点二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的 叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
(
温馨提醒：
公因式的选择可以是单项式，也可以是
，
确定公因式的一般方法是
：
（1）先
取系数
，取多项式中各项系数
的
；
（2）再取字母，取各项中共同的字母；
（3）最后取指数，取
相同字母的
指数中的
。
)
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2= ；
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
(
温馨提醒：
运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的
a
与
b
。如：
符合完全平方公式形式，而
就不符合该公式的形式。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：因式分解
命题角度①：提公因式法
例1 （2018?杭州）因式分解：（a-b）2-（b-a）= ．
【思路分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=（a-b）2+（a-b）=（a-b）（a-b+1），
故答案为：（a-b）（a-b+1）。
【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(
思维升华：
（1）
提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为
1
，不能漏掉。
（2）
提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要
变号
。
)
变式训练
1．（2018?潍坊）因式分解：（x+2）x-x-2= ．
命题角度②：公式法
例2 （2018?贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2
B．2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2
C．2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y）
D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y）
【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2-4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2-8y2=2（x+2y）（x-2y），故此选项错误；
D、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
例3（2018?绥化）因式分解：3ax2-12ay2= ．
【思路分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=3a（x2-4y2）
=3a（x+2y）（x-2y），
故答案为：3a（x+2y）（x-2y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
(
思维升华：
因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
（1）先看是否能提公因式；
（2）再看能否套用公式法；
（3）再检查因式分解是否彻底；
（4）最后用多项式乘法检验分解是否正确。
)
(
触
雷
警示：
分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验
。
)
【变式训练】
2．（2018?济南）分解因式：m2-4= ．
3．（2018?东莞市）分解因式：x2-2x+1= ．
4．（2018?株洲）因式分解：a2（a-b）-4（a-b）= ．
考点三：因式分解的应用
例3（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1＞6-2＞4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【思路分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′-t=（10y+x）-（10x+y）=9（y-x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
【变式训练】
5．（2018?临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4?（A），
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） （B），
∴c2=a2+b2?（C），
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
分解因式的提公因式法和公式法，以及提公因式法与公式法的综合运用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
因式分解
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?济宁）多项式4a-a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4-a2） B．a（2-a）（2+a）
C．a（a-2）（a+2） D．a（2-a）2
2．（2018?邵阳）将多项式x-x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2-1） B．x（1-x2）
C．x（x+1）（x-1） D．x（1+x）（1-x）
3．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（ ）
A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）
C．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2 D．x2-4x+4=（x+2）（x-2）
4．（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
二、填空题
5．（2018?温州）分解因式：a2-5a= ．
6．（2018?吉林）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
7．（2018?镇江）分解因式：x2-1= ．
8．（2018?湘潭）因式分解：a2-2ab+b2= ．
9．（2018?绍兴）因式分解：4x2-y2= ．
10．（2018?常州）分解因式：3x2-6x+3= ．
11．（2018?攀枝花）分解因式：x3y-2x2y+xy= ．
12．（2018?苏州）若a+b=4，a-b=1，则（a+1）2-（b-1）2的值为 ．
13．（2018?成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
三、解答题
14．（2018?齐齐哈尔）分解因式：6（a-b）2+3（a-b）
15．（2017?大庆）已知非零实数a，b满足a+b=3，，求代数式a2b+ab2的值．
16．（2017?河北）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（-1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
???详细参考答案???
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第一章 数与式
第四讲 因式分解
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、因式分解的定义
1．把一个 多项式 式化为几个整式 积 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(
（ ）
)2．因式分解与整式乘法是 互逆 运算，即：。
(
温馨提醒：
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否
为
整式的积
的形式。
)
知识点二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= m(a+b+c) 。
(
温馨提醒：
公因式的选择可以是单项式，也可以是
多项式
，
确定公因式的一般方法是
：
（1）先
取系数
，取多项式中各项系数
的
最大公因数
；
（2）再取字母，取各项中共同的字母；
（3）最后取指数，取
相同字母的
指数中的
最小数
。
)
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2= (a+b)(a-b) ；
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2 。
(
温馨提醒：
运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的
a
与
b
。如：
符合完全平方公式形式，而
就不符合该公式的形式。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：因式分解
命题角度①：提公因式法
变式训练
1．（x+2）（x-1）．
命题角度②：公式法
【变式训练】
2．（m+2）（m-2）．
3．（x-1）2．
4．（a-b）（a-2）（a+2）．
解：a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
考点三：因式分解的应用
【变式训练】
5．解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．B
解：4a-a3
=a（4-a2）
=a（2-a）（2+a）．
故选：B．
2．D
解：x-x3=x（1-x2）
=x（1-x）（1+x）．
故选：D．
3．C
解：A、-x2+4x=-x（x-4），故此选项错误；
B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；
C、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项正确；
D、x2-4x+4=（x-2）2，故此选项错误；
故选：C．
4．C
解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解，
（B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解，
（D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全，
故选：C．
二、填空题
5．a（a-5）．
6．4
解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
7．（x+1）（x-1）．
8．（a-b）2．
9．（2x+y）（2x-y）
10．3（x-1）2
解：3x2-6x+3
=3（x2-2x+1）
=3（x-1）2．
11．xy（x-1）2
解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．
12．12
解：∵a+b=4，a-b=1，
∴（a+1）2-（b-1）2
=（a+1+b-1）（a+1-b+1）
=（a+b）（a-b+2）
=4×（1+2）
=12．
13．0.36
解：∵x+y=0.2，x+3y=1，
∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，
则原式=（x+2y）2=0.36．
故答案为：0.36
三、解答题
14．解：6（a-b）2+3（a-b）
=3（a-b）[2（a-b）+1]
=3（a-b）（2a-2b+1）．
15．解：∵，a+b=3，
∴ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
16．解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（-1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（-1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n-2，n-1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n-1，n+1，
它们的平方和为：（n-1）2+n2+（n+1）2
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
???教师用书???
2019版初中数学综合复习精品专题
第一章 数与式
第四讲 因式分解
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、因式分解的定义
1．把一个 多项式 式化为几个整式 积 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(
（ ）
)2．因式分解与整式乘法是 互逆 运算，即：。
(
温馨提醒：
判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否
为
整式的积
的形式。
)
知识点二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的 因式 叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= m(a+b+c) 。
(
温馨提醒：
公因式的选择可以是单项式，也可以是
多项式
，
确定公因式的一般方法是
：
（1）先
取系数
，取多项式中各项系数
的
最大公因数
；
（2）再取字母，取各项中共同的字母；
（3）最后取指数，取
相同字母的
指数中的
最小数
。
)
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2= (a+b)(a-b) ；
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2 。
(
温馨提醒：
运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的
a
与
b
。如：
符合完全平方公式形式，而
就不符合该公式的形式。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：因式分解
命题角度①：提公因式法
例1 （2018?杭州）因式分解：（a-b）2-（b-a）= ．
【思路分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：原式=（a-b）2+（a-b）=（a-b）（a-b+1），
故答案为：（a-b）（a-b+1）。
【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
(
思维升华：
（1）
提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为
1
，不能漏掉。
（2）
提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要
变号
。
)
变式训练
1．（2018?潍坊）因式分解：（x+2）x-x-2= ．
【思路分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解．
【解答】解：原式=（x+2）（x-1）．
故答案是：（x+2）（x-1）．
【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
命题角度②：公式法
例2 （2018?贺州）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2
B．2x2-4xy+9y2=（2x-3y）2
C．2x2-8y2=2（x+4y）（x-4y）
D．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）（x+y）
【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2-4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2-8y2=2（x+2y）（x-2y），故此选项错误；
D、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
例3（2018?绥化）因式分解：3ax2-12ay2= ．
【思路分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=3a（x2-4y2）
=3a（x+2y）（x-2y），
故答案为：3a（x+2y）（x-2y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
(
思维升华：
因式分解的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：
（1）先看是否能提公因式；
（2）再看能否套用公式法；
（3）再检查因式分解是否彻底；
（4）最后用多项式乘法检验分解是否正确。
)
(
触
雷
警示：
分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验
。
)
【变式训练】
2．（2018?济南）分解因式：m2-4= ．
【思路分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【解答】解：m2-4=（m+2）（m-2）．
故答案为：（m+2）（m-2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
3．（2018?东莞市）分解因式：x2-2x+1= ．
【思路分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2-2x+1=（x-1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
4．（2018?株洲）因式分解：a2（a-b）-4（a-b）= ．
【思路分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
故答案为：（a-b）（a-2）（a+2）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．
考点三：因式分解的应用
例3（2017?枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1＞6-2＞4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【思路分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）= =1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′-t=（10y+x）-（10x+y）=9（y-x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
【变式训练】
5．（2018?临安区）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4?（A），
∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） （B），
∴c2=a2+b2?（C），
∴△ABC是直角三角形。
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【思路分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析新课标和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
分解因式的提公因式法和公式法，以及提公因式法与公式法的综合运用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
因式分解
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?济宁）多项式4a-a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4-a2） B．a（2-a）（2+a）
C．a（a-2）（a+2） D．a（2-a）2
【思路分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a-a3
=a（4-a2）
=a（2-a）（2+a）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
2．（2018?邵阳）将多项式x-x3因式分解正确的是（ ）
A．x（x2-1） B．x（1-x2）
C．x（x+1）（x-1） D．x（1+x）（1-x）
【思路分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x-x3=x（1-x2）
=x（1-x）（1+x）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．
3．（2018?安徽）下列分解因式正确的是（ ）
A．-x2+4x=-x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）
C．x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2 D．x2-4x+4=（x+2）（x-2）
【思路分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．
【解答】解：A、-x2+4x=-x（x-4），故此选项错误；
B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；
C、x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2，故此选项正确；
D、x2-4x+4=（x-2）2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
4．（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x-1=（x-1）2 B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2-a=a（x2-1）
【思路分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
【解答】解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解，
（B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解，
（D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全，
故选：C．
【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
二、填空题
5．（2018?温州）分解因式：a2-5a= ．
【思路分析】提取公因式a进行分解即可．
【解答】解：a2-5a=a（a-5）．
故答案是：a（a-5）．
【点评】考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
6．（2018?吉林）若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2= ．
【思路分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
【解答】解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
7．（2018?镇江）分解因式：x2-1= ．
【思路分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）．
故答案为：（x+1）（x-1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
8．（2018?湘潭）因式分解：a2-2ab+b2= ．
【思路分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（a-b）2．
故答案为：（a-b）2．
【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
9．（2018?绍兴）因式分解：4x2-y2= ．
【思路分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（2x+y）（2x-y），
故答案为：（2x+y）（2x-y）
【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（2018?常州）分解因式：3x2-6x+3= ．
【思路分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2-6x+3
=3（x2-2x+1）
=3（x-1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（2018?攀枝花）分解因式：x3y-2x2y+xy= ．
【思路分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2．
故答案为：xy（x-1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2018?苏州）若a+b=4，a-b=1，则（a+1）2-（b-1）2的值为 ．
【思路分析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【解答】解：∵a+b=4，a-b=1，
∴（a+1）2-（b-1）2
=（a+1+b-1）（a+1-b+1）
=（a+b）（a-b+2）
=4×（1+2）
=12．
故答案是：12．
【点评】本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构即可解答．
13．（2018?成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为 ．
【思路分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y=0.2，x+3y=1，
∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，
则原式=（x+2y）2=0.36．
故答案为：0.36
【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三、解答题
14．（2018?齐齐哈尔）分解因式：6（a-b）2+3（a-b）
【思路分析】直接提取公因式3（a-b），进而分解因式得出答案．
【解答】解：6（a-b）2+3（a-b）
=3（a-b）[2（a-b）+1]
=3（a-b）（2a-2b+1）．
【点评】此题主要考查了实数运算以及提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．
15．（2017?大庆）已知非零实数a，b满足a+b=3，，求代数式a2b+ab2的值．
【思路分析】将a+b=3代入求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值．
【解答】解：∵，a+b=3，
∴ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，分式的加减运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．（2017?河北）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（-1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【思路分析】验证（1）计算（-1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（-1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（-1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n-2，n-1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n-1，n+1，
它们的平方和为：（n-1）2+n2+（n+1）2
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
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