2019版初中数学综合复习第9讲《分式方程》（含详细参考答案）
文档属性
| 名称 | 2019版初中数学综合复习第9讲《分式方程》（含详细参考答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 296.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-19 16:06:19 | ||
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文档简介
???学生用书+详细参考答案和教师用书???
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
2019版初中数学综合复习精品专题
第二章 方程与不等式
第九讲 分式方程
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、分式方程及其解法
1．分式方程：分母中含有 的方程叫做分式方程；
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：
第一步： ，将分式方程转化为整式方程；
第二步：解整式方程；
第三步： ．
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据
；
（
2
）
解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验
。
)
（3）增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根，称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：
将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为 的因式。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不
要
省略
；
（
2
）
分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：
有增根，则
a=
；
若该方程无解，则
a=
。
解法如下：
方程两边都乘
x
（
x-1
），得到
x
（
x-a
）
-3(x-1)=x
（
x-1
），化简得：（
a+2
）
x=3
．
x=1
为原方程的增根，
将
x=1
代入（
a+2
）
x=3
，
则有
a+2=3
，
解得
a=1
．
所以原方程有增根，则
a=1.
当
a=-2
时，整式方程无解．
综上所述，当
a=1
或
a=
-2
时，原方程无解
．
)
知识点三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
解分式方程应用题
验根时
，既要检验是否为原方程的根，
还
要检验是否
使实际问题有意义；
（
2
）
分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：分式方程的解
例1（2018?株洲）关于x的分式方程解为x=4，则常数a的值为（ ）
A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10
【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=10．
【解答】解：把x=4代入方程，得
，
解得a=10．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
跟踪训练
1．（2018?张家界）若关于x的分式方程的解为x=2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
考点二：解分式方程
例2 （2018?广西）解分式方程：．
【思路分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以3（x-1），得：3x-3（x-1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x-1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
(
???
思维升华
???
解分式方程时，一定要把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于
0
，则是分式方程的解；若最简公分母等于
0
，则不是分式方程的解。
)
跟踪训练
2．（2018?大庆）解方程： ．
考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
例3 （2018?重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．-10 B．-12 C．-16 D．-18
【思路分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：，
解①得x≥-3，
解②得x≤，
不等式组的解集是-3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤＜0
∴-8≤a＜-3，
由得：3y-a-12=y-2．
∴y=，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y=有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是（-8）+（-4）=-12，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
例4．（2018?眉山）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ．
【思路分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解：，
方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
(
●●●
触
雷
警示
●●●
分式方程无解的原因
分式方程无解的原因有两种：
一是去分母后整式方程无解；
二是整式方程的解使得最简公分母为
0
。
在解答此问题时，一定要考虑全面，切勿漏解。
)
跟踪训练
3． （2018?达州）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
4．（2018?黑龙江）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
考点四、由实际问题抽象出分式方程
例5 （2018?昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
(
???
思维升华
???
由实际问题抽象出分式方程，解答此类问题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，设出未知数，列出方程。
)
跟踪训练
5．（2018?通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点五：分式方程的应用
例6 （2018?云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【思路分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得： ，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
(
???
思维升华
???
在利用分式方程解实际问题时，必须进行
“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。
)
【跟踪训练】
6．（2018?包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
(
?
??
感悟中考
?
??
分析
课程标准
和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?太和县模拟）已知x=1是关于x的方程的解，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．4 D．
2．（2018?荆州）解分式方程 时，去分母可得（ ）
A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4
C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4
3．（2018?成都）分式方程 的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
4．（2018?巴中）若分式方程 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
5．（2018?兰州）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠-2 D．a＞1且a≠2
6．（2018?临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018?重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
8．（2018?南岸区模拟）若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程 的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．-6 B．-1 C．-3 D．-4
二、填空题
9．（2018?铜仁市）分式方程的解是x= ．
10．（2018?常德）分式方程 的解为x= ．
11．（2018?遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
12．（2018?宿迁）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 ．
13．（2018?潍坊）当m= 时，解分式方程会出现增根．
14．（2018?新疆）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
15．（2018?齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
三、解答题
16． （2018?连云港）解方程： ．
17．（2018?南通）解方程： ．
18．（2018?东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．
19．（2018?岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
20．（2018?深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
???详细参考答案???
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
2019版初中数学综合复习精品专题
第二章 方程与不等式
第九讲 分式方程
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、分式方程及其解法
1．分式方程：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程；
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是 去分母 把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：
第一步： 去分母 ，将分式方程转化为整式方程；
第二步：解整式方程；
第三步： 验根 ．
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据
；
（
2
）
解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验
。
)
（3）增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 0 的根，称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：
将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为 0 的因式。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不
要
省略
；
（
2
）
分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：
有增根，则
a=
1
；
若该方程无解，则
a=
1
或
-2
。
解法如下：
方程两边都乘
x
（
x-1
），得到
x
（
x-a
）
-3(x-1)=x
（
x-1
），化简得：（
a+2
）
x=3
．
x=1
为原方程的增根，
将
x=1
代入（
a+2
）
x=3
，
则有
a+2=3
，
解得
a=1
．
所以原方程有增根，则
a=1.
当
a=-2
时，整式方程无解．
综上所述，当
a=1
或
a=-2
时，原方程无解
．
)
知识点三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
解分式方程应用题
验根时
，既要检验是否为原方程的根，
还
要检验是否
使实际问题有意义；
（
2
）
分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：分式方程的解
跟踪训练
1．B
解：∵关于x的分式方程=1的解为x=2，
∴x=m-2=2，
解得：m=4．
故选：B．
考点二：解分式方程
跟踪训练
2．解：两边都乘以x（x+3），得：x2-（x+3）=x（x+3），
解得：x=-，
检验：当x=-时，x（x+3）=-≠0，
所以分式方程的解为x=-．
考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
跟踪训练
3．1或
解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
4．D
解：，
解得：x=m-3，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴m-3＜0，
解得：m＜3，
当x=m-3=-1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
考点四、由实际问题抽象出分式方程
跟踪训练
5．B
解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
．
故选：B．
考点五：分式方程的应用
【跟踪训练】
6．解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得： ，
解得：y=25，
∴ ．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．C
解：根据题意，将x=1代入分式方程得：
，
即，
解得：m=4，
经检验：m=4是分式方程的解，
故选：C．
2．B
解：去分母得：1-3（x-2）=-4，
故选：B．
3．A
解：，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
4．D
解：方程两边同乘x（x-2），得3x-a+x=2（x-2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，-a=-4，
解得，a=4，
当x=2时，6-a+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
5．D
解：分式方程去分母得：x+1=2x+a，即x=1-a，
根据分式方程解为负数，得到1-a＜0，且1-a≠-1，
解得：a＞1且a≠2．
故选：D．
6．A
解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：
，
故选：A．
7．C
解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0＜≤1，
解得：-2＜a≤2，即整数a=-1，0，1，2，
解方程，
分式方程去分母得：y+a-2a=2（y-1），
解得：y=2-a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为-1，0，2，之和为1．
故选：C．
8．B
解：不等式组整理得： ，
由不等式组有解，得到a+2≤x≤2a+5，
解得：a≥-3，
解分式方程，
分式方程去分母得：ax-x+2=-3x，
解得： ，
∵关于x的分式方程的解为整数，
∴ ，
解得a≠-3，
当a=-1时，x=-2；a=0时，x=-1；
则满足题意的整数a的值的和是-1+0=-1．
故选：B．
二、填空题
9．-9
解：去分母得：3x-1=4x+8，
解得：x=-9，
经检验x=-9是分式方程的解，
故答案为：-9
10．-1
解：去分母得：x-2-3x=0，
解得：x=-1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：-1
11．
解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
．
故答案为：．
12．120棵
解：设原计划每天种树x棵，由题意得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是原分式方程的解，
故答案为：120棵．
13．2
解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
14．4
解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据题意得： ，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
15．-1或5或-
解：去分母得：x+4+m（x-4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m-1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=-1，
当m+1≠0时，
则，
解得：m=5或-，
综上所述：m=-1或5或-，
故答案为：-1或5或-．
三、解答题
16．解：两边乘x（x-1），得
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．
17．解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x-2x=3（x+1），
解得：x=-，
经检验x=-是方程的解，
∴原方程的解为x=-．
18．解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，
根据题意得： ，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，
∴3x=75，4x=100．
答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．
19．解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
20．解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得： ，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m-8）+600（m-10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
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第二章 方程与不等式
第九讲 分式方程
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、分式方程及其解法
1．分式方程：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程；
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是 去分母 把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：
第一步： 去分母 ，将分式方程转化为整式方程；
第二步：解整式方程；
第三步： 验根 ．
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据
；
（
2
）
解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验
。
)
（3）增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 0 的根，称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：
将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为 0 的因式。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不
要
省略
；
（
2
）
分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：
有增根，则
a=
1
；
若该方程无解，则
a=
1
或
-2
。
解法如下：
方程两边都乘
x
（
x-1
），得到
x
（
x-a
）
-3(x-1)=x
（
x-1
），化简得：（
a+2
）
x=3
．
x=1
为原方程的增根，
将
x=1
代入（
a+2
）
x=3
，
则有
a+2=3
，
解得
a=1
．
所以原方程有增根，则
a=1.
当
a=-2
时，整式方程无解．
综上所述，当
a=1
或
a=-2
时，原方程无解
．
)
知识点三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
解分式方程应用题
验根时
，既要检验是否为原方程的根，
还
要检验是否
使实际问题有意义；
（
2
）
分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：分式方程的解
例1（2018?株洲）关于x的分式方程解为x=4，则常数a的值为（ ）
A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10
【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=10．
【解答】解：把x=4代入方程，得
，
解得a=10．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
跟踪训练
1．（2018?张家界）若关于x的分式方程的解为x=2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路分析】直接解分式方程进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的分式方程=1的解为x=2，
∴x=m-2=2，
解得：m=4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．
考点二：解分式方程
例2 （2018?广西）解分式方程：．
【思路分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以3（x-1），得：3x-3（x-1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x-1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
(
???
思维升华
???
解分式方程时，一定要把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于
0
，则是分式方程的解；若最简公分母等于
0
，则不是分式方程的解。
)
跟踪训练
2．（2018?大庆）解方程： ．
【思路分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x-1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．
【解答】解：两边都乘以x（x+3），得：x2-（x+3）=x（x+3），
解得：x=-，
检验：当x=-时，x（x+3）=-≠0，
所以分式方程的解为x=-．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是把分式方程转化成整式方程，注意：解分式方程一定要进行检验．
考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
例3 （2018?重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．-10 B．-12 C．-16 D．-18
【思路分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：，
解①得x≥-3，
解②得x≤，
不等式组的解集是-3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤＜0
∴-8≤a＜-3，
由得：3y-a-12=y-2．
∴y=，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y=有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是（-8）+（-4）=-12，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
例4．（2018?眉山）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ．
【思路分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解：，
方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
(
●●●
触
雷
警示
●●●
分式方程无解的原因
分式方程无解的原因有两种：
一是去分母后整式方程无解；
二是整式方程的解使得最简公分母为
0
。
在解答此问题时，一定要考虑全面，切勿漏解。
)
跟踪训练
3． （2018?达州）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
【思路分析】直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
4．（2018?黑龙江）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【思路分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠-1求出答案．
【解答】解：，
解得：x=m-3，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴m-3＜0，
解得：m＜3，
当x=m-3=-1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．
考点四、由实际问题抽象出分式方程
例5 （2018?昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
(
???
思维升华
???
由实际问题抽象出分式方程，解答此类问题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，设出未知数，列出方程。
)
跟踪训练
5．（2018?通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
考点五：分式方程的应用
例6 （2018?云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【思路分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得： ，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
(
???
思维升华
???
在利用分式方程解实际问题时，必须进行
“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。
)
【跟踪训练】
6．（2018?包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【思路分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得： ，
解得：y=25，
∴ ．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析
课程标准
和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?太和县模拟）已知x=1是关于x的方程的解，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．4 D．
【思路分析】根据方程的解得定义将x=1代入分式方程，解之可得m的值．
【解答】解：根据题意，将x=1代入分式方程得：
，
即，
解得：m=4，
经检验：m=4是分式方程的解，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程的解及解分式方程．
2．（2018?荆州）解分式方程 时，去分母可得（ ）
A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4
C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1-3（x-2）=-4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2018?成都）分式方程 的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
【思路分析】观察可得最简公分母是x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
4．（2018?巴中）若分式方程 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【思路分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x-2），得3x-a+x=2（x-2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，-a=-4，
解得，a=4，
当x=2时，6-a+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
5．（2018?兰州）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠-2 D．a＞1且a≠2
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1=2x+a，即x=1-a，
根据分式方程解为负数，得到1-a＜0，且1-a≠-1，
解得：a＞1且a≠2．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
6．（2018?临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
7．（2018?重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
【思路分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0＜≤1，
解得：-2＜a≤2，即整数a=-1，0，1，2，
解方程，
分式方程去分母得：y+a-2a=2（y-1），
解得：y=2-a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为-1，0，2，之和为1．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2018?南岸区模拟）若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程 的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．-6 B．-1 C．-3 D．-4
【思路分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．
【解答】解：不等式组整理得： ，
由不等式组有解，得到a+2≤x≤2a+5，
解得：a≥-3，
解分式方程，
分式方程去分母得：ax-x+2=-3x，
解得： ，
∵关于x的分式方程的解为整数，
∴ ，
解得a≠-3，
当a=-1时，x=-2；a=0时，x=-1；
则满足题意的整数a的值的和是-1+0=-1．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
9．（2018?铜仁市）分式方程的解是x= ．
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x-1=4x+8，
解得：x=-9，
经检验x=-9是分式方程的解，
故答案为：-9
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（2018?常德）分式方程 的解为x= ．
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x-2-3x=0，
解得：x=-1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：-1
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．（2018?遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
【思路分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
12．（2018?宿迁）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 ．
【思路分析】设原计划每天种树x棵，由题意得等量关系：原计划所用天数-实际所用天数=4，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设原计划每天种树x棵，由题意得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是原分式方程的解，
故答案为：120棵．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13．（2018?潍坊）当m= 时，解分式方程会出现增根．
【思路分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
【解答】解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（2018?新疆）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
【思路分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据单价=总价÷数量结合第二次购进数量比第一次少了30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据题意得： ，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（2018?齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】解：去分母得：x+4+m（x-4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m-1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=-1，
当m+1≠0时，
则，
解得：m=5或-，
综上所述：m=-1或5或-，
故答案为：-1或5或-．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
三、解答题
16． （2018?连云港）解方程： ．
【思路分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边乘x（x-1），得
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．
17．（2018?南通）解方程： ．
【思路分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x-2x=3（x+1），
解得：x=-，
经检验x=-是方程的解，
∴原方程的解为x=-．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．（2018?东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．
【思路分析】设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据时间=路程÷速度结合小明比小刚提前4min到达剧院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，
根据题意得： ，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，
∴3x=75，4x=100．
答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．
19．（2018?岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
【思路分析】设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（2018?深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【思路分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得： ，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m-8）+600（m-10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
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第二章 方程与不等式
第九讲 分式方程
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、分式方程及其解法
1．分式方程：分母中含有 的方程叫做分式方程；
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：
第一步： ，将分式方程转化为整式方程；
第二步：解整式方程；
第三步： ．
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据
；
（
2
）
解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验
。
)
（3）增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根，称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：
将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为 的因式。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不
要
省略
；
（
2
）
分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：
有增根，则
a=
；
若该方程无解，则
a=
。
解法如下：
方程两边都乘
x
（
x-1
），得到
x
（
x-a
）
-3(x-1)=x
（
x-1
），化简得：（
a+2
）
x=3
．
x=1
为原方程的增根，
将
x=1
代入（
a+2
）
x=3
，
则有
a+2=3
，
解得
a=1
．
所以原方程有增根，则
a=1.
当
a=-2
时，整式方程无解．
综上所述，当
a=1
或
a=
-2
时，原方程无解
．
)
知识点三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
解分式方程应用题
验根时
，既要检验是否为原方程的根，
还
要检验是否
使实际问题有意义；
（
2
）
分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：分式方程的解
例1（2018?株洲）关于x的分式方程解为x=4，则常数a的值为（ ）
A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10
【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=10．
【解答】解：把x=4代入方程，得
，
解得a=10．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
跟踪训练
1．（2018?张家界）若关于x的分式方程的解为x=2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
考点二：解分式方程
例2 （2018?广西）解分式方程：．
【思路分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以3（x-1），得：3x-3（x-1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x-1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
(
???
思维升华
???
解分式方程时，一定要把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于
0
，则是分式方程的解；若最简公分母等于
0
，则不是分式方程的解。
)
跟踪训练
2．（2018?大庆）解方程： ．
考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
例3 （2018?重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．-10 B．-12 C．-16 D．-18
【思路分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：，
解①得x≥-3，
解②得x≤，
不等式组的解集是-3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤＜0
∴-8≤a＜-3，
由得：3y-a-12=y-2．
∴y=，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y=有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是（-8）+（-4）=-12，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
例4．（2018?眉山）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ．
【思路分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解：，
方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
(
●●●
触
雷
警示
●●●
分式方程无解的原因
分式方程无解的原因有两种：
一是去分母后整式方程无解；
二是整式方程的解使得最简公分母为
0
。
在解答此问题时，一定要考虑全面，切勿漏解。
)
跟踪训练
3． （2018?达州）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
4．（2018?黑龙江）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
考点四、由实际问题抽象出分式方程
例5 （2018?昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
(
???
思维升华
???
由实际问题抽象出分式方程，解答此类问题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，设出未知数，列出方程。
)
跟踪训练
5．（2018?通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点五：分式方程的应用
例6 （2018?云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【思路分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得： ，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
(
???
思维升华
???
在利用分式方程解实际问题时，必须进行
“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。
)
【跟踪训练】
6．（2018?包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
(
?
??
感悟中考
?
??
分析
课程标准
和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?太和县模拟）已知x=1是关于x的方程的解，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．4 D．
2．（2018?荆州）解分式方程 时，去分母可得（ ）
A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4
C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4
3．（2018?成都）分式方程 的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
4．（2018?巴中）若分式方程 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
5．（2018?兰州）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠-2 D．a＞1且a≠2
6．（2018?临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018?重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
8．（2018?南岸区模拟）若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程 的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．-6 B．-1 C．-3 D．-4
二、填空题
9．（2018?铜仁市）分式方程的解是x= ．
10．（2018?常德）分式方程 的解为x= ．
11．（2018?遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
12．（2018?宿迁）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 ．
13．（2018?潍坊）当m= 时，解分式方程会出现增根．
14．（2018?新疆）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
15．（2018?齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
三、解答题
16． （2018?连云港）解方程： ．
17．（2018?南通）解方程： ．
18．（2018?东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．
19．（2018?岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
20．（2018?深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
???详细参考答案???
把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！
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第二章 方程与不等式
第九讲 分式方程
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、分式方程及其解法
1．分式方程：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程；
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是 去分母 把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：
第一步： 去分母 ，将分式方程转化为整式方程；
第二步：解整式方程；
第三步： 验根 ．
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据
；
（
2
）
解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验
。
)
（3）增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 0 的根，称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：
将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为 0 的因式。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不
要
省略
；
（
2
）
分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：
有增根，则
a=
1
；
若该方程无解，则
a=
1
或
-2
。
解法如下：
方程两边都乘
x
（
x-1
），得到
x
（
x-a
）
-3(x-1)=x
（
x-1
），化简得：（
a+2
）
x=3
．
x=1
为原方程的增根，
将
x=1
代入（
a+2
）
x=3
，
则有
a+2=3
，
解得
a=1
．
所以原方程有增根，则
a=1.
当
a=-2
时，整式方程无解．
综上所述，当
a=1
或
a=-2
时，原方程无解
．
)
知识点三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。
(
◆◆◆
名师提醒
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（
1
）
解分式方程应用题
验根时
，既要检验是否为原方程的根，
还
要检验是否
使实际问题有意义；
（
2
）
分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：分式方程的解
跟踪训练
1．B
解：∵关于x的分式方程=1的解为x=2，
∴x=m-2=2，
解得：m=4．
故选：B．
考点二：解分式方程
跟踪训练
2．解：两边都乘以x（x+3），得：x2-（x+3）=x（x+3），
解得：x=-，
检验：当x=-时，x（x+3）=-≠0，
所以分式方程的解为x=-．
考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
跟踪训练
3．1或
解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
4．D
解：，
解得：x=m-3，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴m-3＜0，
解得：m＜3，
当x=m-3=-1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
考点四、由实际问题抽象出分式方程
跟踪训练
5．B
解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
．
故选：B．
考点五：分式方程的应用
【跟踪训练】
6．解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得： ，
解得：y=25，
∴ ．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．C
解：根据题意，将x=1代入分式方程得：
，
即，
解得：m=4，
经检验：m=4是分式方程的解，
故选：C．
2．B
解：去分母得：1-3（x-2）=-4，
故选：B．
3．A
解：，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
4．D
解：方程两边同乘x（x-2），得3x-a+x=2（x-2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，-a=-4，
解得，a=4，
当x=2时，6-a+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
5．D
解：分式方程去分母得：x+1=2x+a，即x=1-a，
根据分式方程解为负数，得到1-a＜0，且1-a≠-1，
解得：a＞1且a≠2．
故选：D．
6．A
解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：
，
故选：A．
7．C
解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0＜≤1，
解得：-2＜a≤2，即整数a=-1，0，1，2，
解方程，
分式方程去分母得：y+a-2a=2（y-1），
解得：y=2-a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为-1，0，2，之和为1．
故选：C．
8．B
解：不等式组整理得： ，
由不等式组有解，得到a+2≤x≤2a+5，
解得：a≥-3，
解分式方程，
分式方程去分母得：ax-x+2=-3x，
解得： ，
∵关于x的分式方程的解为整数，
∴ ，
解得a≠-3，
当a=-1时，x=-2；a=0时，x=-1；
则满足题意的整数a的值的和是-1+0=-1．
故选：B．
二、填空题
9．-9
解：去分母得：3x-1=4x+8，
解得：x=-9，
经检验x=-9是分式方程的解，
故答案为：-9
10．-1
解：去分母得：x-2-3x=0，
解得：x=-1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：-1
11．
解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
．
故答案为：．
12．120棵
解：设原计划每天种树x棵，由题意得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是原分式方程的解，
故答案为：120棵．
13．2
解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
14．4
解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据题意得： ，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
15．-1或5或-
解：去分母得：x+4+m（x-4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m-1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=-1，
当m+1≠0时，
则，
解得：m=5或-，
综上所述：m=-1或5或-，
故答案为：-1或5或-．
三、解答题
16．解：两边乘x（x-1），得
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．
17．解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x-2x=3（x+1），
解得：x=-，
经检验x=-是方程的解，
∴原方程的解为x=-．
18．解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，
根据题意得： ，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，
∴3x=75，4x=100．
答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．
19．解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
20．解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得： ，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m-8）+600（m-10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
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第二章 方程与不等式
第九讲 分式方程
★★★核心知识回顾★★★
知识点一、分式方程及其解法
1．分式方程：分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程；
2．分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思路是 去分母 把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：
第一步： 去分母 ，将分式方程转化为整式方程；
第二步：解整式方程；
第三步： 验根 ．
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据
；
（
2
）
解分式方程去分母时，不要漏乘常数项；去括号时，括号前面是负号时，括号内要变号；解得整式方程的根后，要代入原分式方程或最简公分母检验
。
)
（3）增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 0 的根，称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：
将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为 0 的因式。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不
要
省略
；
（
2
）
分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：
有增根，则
a=
1
；
若该方程无解，则
a=
1
或
-2
。
解法如下：
方程两边都乘
x
（
x-1
），得到
x
（
x-a
）
-3(x-1)=x
（
x-1
），化简得：（
a+2
）
x=3
．
x=1
为原方程的增根，
将
x=1
代入（
a+2
）
x=3
，
则有
a+2=3
，
解得
a=1
．
所以原方程有增根，则
a=1.
当
a=-2
时，整式方程无解．
综上所述，当
a=1
或
a=-2
时，原方程无解
．
)
知识点三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行。
(
◆◆◆
名师提醒
◆◆◆
（
1
）
解分式方程应用题
验根时
，既要检验是否为原方程的根，
还
要检验是否
使实际问题有意义；
（
2
）
分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型
。
)
★★★中考典例剖析★★★
考点一：分式方程的解
例1（2018?株洲）关于x的分式方程解为x=4，则常数a的值为（ ）
A．a=1 B．a=2 C．a=4 D．a=10
【思路分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a=10．
【解答】解：把x=4代入方程，得
，
解得a=10．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
跟踪训练
1．（2018?张家界）若关于x的分式方程的解为x=2，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路分析】直接解分式方程进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的分式方程=1的解为x=2，
∴x=m-2=2，
解得：m=4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．
考点二：解分式方程
例2 （2018?广西）解分式方程：．
【思路分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以3（x-1），得：3x-3（x-1）=2x，
解得：x=1.5，
检验：x=1.5时，3（x-1）=1.5≠0，
所以分式方程的解为x=1.5．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
(
???
思维升华
???
解分式方程时，一定要把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不等于
0
，则是分式方程的解；若最简公分母等于
0
，则不是分式方程的解。
)
跟踪训练
2．（2018?大庆）解方程： ．
【思路分析】方程两边都乘以x（x+3）得出方程x-1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x+3）进行检验即可．
【解答】解：两边都乘以x（x+3），得：x2-（x+3）=x（x+3），
解得：x=-，
检验：当x=-时，x（x+3）=-≠0，
所以分式方程的解为x=-．
【点评】本题考查了解分式方程的应用，解此题的关键是把分式方程转化成整式方程，注意：解分式方程一定要进行检验．
考点三：由分式方程解的情况求参数的值或取值范围
例3 （2018?重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．-10 B．-12 C．-16 D．-18
【思路分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：，
解①得x≥-3，
解②得x≤，
不等式组的解集是-3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤＜0
∴-8≤a＜-3，
由得：3y-a-12=y-2．
∴y=，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y=有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是（-8）+（-4）=-12，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
例4．（2018?眉山）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为 ．
【思路分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解：，
方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
(
●●●
触
雷
警示
●●●
分式方程无解的原因
分式方程无解的原因有两种：
一是去分母后整式方程无解；
二是整式方程的解使得最简公分母为
0
。
在解答此问题时，一定要考虑全面，切勿漏解。
)
跟踪训练
3． （2018?达州）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
【思路分析】直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
【解答】解：去分母得：
x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
故关于x的分式方程无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
4．（2018?黑龙江）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【思路分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠-1求出答案．
【解答】解：，
解得：x=m-3，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴m-3＜0，
解得：m＜3，
当x=m-3=-1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．
考点四、由实际问题抽象出分式方程
例5 （2018?昆明）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
(
???
思维升华
???
由实际问题抽象出分式方程，解答此类问题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，设出未知数，列出方程。
)
跟踪训练
5．（2018?通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
考点五：分式方程的应用
例6 （2018?云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【思路分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得： ，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
(
???
思维升华
???
在利用分式方程解实际问题时，必须进行
“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。
)
【跟踪训练】
6．（2018?包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【思路分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得： ，
解得：y=25，
∴ ．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
(
?
??
感悟中考
?
??
分析
课程标准
和近五年的中考试题，可以发现中考命题主要集中在：
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
，题型一般为选择题和填空题，通过近五年考题的规律，
可以预测未来中考试题中
，
解分式方程、根据实际问题列分式方程和分式方程的应用
仍会作为重点进行考查。
)
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1．（2018?太和县模拟）已知x=1是关于x的方程的解，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．4 D．
【思路分析】根据方程的解得定义将x=1代入分式方程，解之可得m的值．
【解答】解：根据题意，将x=1代入分式方程得：
，
即，
解得：m=4，
经检验：m=4是分式方程的解，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程的解及解分式方程．
2．（2018?荆州）解分式方程 时，去分母可得（ ）
A．1-3（x-2）=4 B．1-3（x-2）=-4
C．-1-3（2-x）=-4 D．1-3（2-x）=4
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1-3（x-2）=-4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2018?成都）分式方程 的解是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
【思路分析】观察可得最简公分母是x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
4．（2018?巴中）若分式方程 有增根，则实数a的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【思路分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．
【解答】解：方程两边同乘x（x-2），得3x-a+x=2（x-2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x=0时，-a=-4，
解得，a=4，
当x=2时，6-a+2=0，
解得，a=8，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
5．（2018?兰州）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a≠-2 D．a＞1且a≠2
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：x+1=2x+a，即x=1-a，
根据分式方程解为负数，得到1-a＜0，且1-a≠-1，
解得：a＞1且a≠2．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
6．（2018?临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
7．（2018?重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．2
【思路分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0＜≤1，
解得：-2＜a≤2，即整数a=-1，0，1，2，
解方程，
分式方程去分母得：y+a-2a=2（y-1），
解得：y=2-a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为-1，0，2，之和为1．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2018?南岸区模拟）若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程 的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．-6 B．-1 C．-3 D．-4
【思路分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可．
【解答】解：不等式组整理得： ，
由不等式组有解，得到a+2≤x≤2a+5，
解得：a≥-3，
解分式方程，
分式方程去分母得：ax-x+2=-3x，
解得： ，
∵关于x的分式方程的解为整数，
∴ ，
解得a≠-3，
当a=-1时，x=-2；a=0时，x=-1；
则满足题意的整数a的值的和是-1+0=-1．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
9．（2018?铜仁市）分式方程的解是x= ．
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x-1=4x+8，
解得：x=-9，
经检验x=-9是分式方程的解，
故答案为：-9
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（2018?常德）分式方程 的解为x= ．
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x-2-3x=0，
解得：x=-1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：-1
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．（2018?遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
【思路分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
12．（2018?宿迁）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是 ．
【思路分析】设原计划每天种树x棵，由题意得等量关系：原计划所用天数-实际所用天数=4，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：设原计划每天种树x棵，由题意得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是原分式方程的解，
故答案为：120棵．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13．（2018?潍坊）当m= 时，解分式方程会出现增根．
【思路分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．
【解答】解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
当x=3时，3-5=-m，解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（2018?新疆）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 元．
【思路分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据单价=总价÷数量结合第二次购进数量比第一次少了30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据题意得： ，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（2018?齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】解：去分母得：x+4+m（x-4）=m+3，
可得：（m+1）x=5m-1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=-1，
当m+1≠0时，
则，
解得：m=5或-，
综上所述：m=-1或5或-，
故答案为：-1或5或-．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
三、解答题
16． （2018?连云港）解方程： ．
【思路分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边乘x（x-1），得
3x-2（x-1）=0，
解得x=-2，
经检验：x=-2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的根．
17．（2018?南通）解方程： ．
【思路分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x-2x=3（x+1），
解得：x=-，
经检验x=-是方程的解，
∴原方程的解为x=-．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．（2018?东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．
【思路分析】设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据时间=路程÷速度结合小明比小刚提前4min到达剧院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，
根据题意得： ，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，
∴3x=75，4x=100．
答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．
19．（2018?岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
【思路分析】设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（2018?深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【思路分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得： ，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m-8）+600（m-10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
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