惠州市2020届高三第一次调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B A C B C D D A B C
1．【解析】由中不等式得，解得，即，，故选B．
2．【解析】由，得，
∴，解得，∴．故选A．
3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足小时的人数
是人．故选B．
4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种
数是种，故选A.
5．【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，
所以，故选C．
6．【解析】由题意得．由得，
∴，∴．又，∴．故选B．
7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),
所以解得 ，双曲线方程为.故选C.
8．【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，
为偶函数，排除A；的周期为，排除B；
因为，所以的图象不关于直线对称，排除C. 故选D．
9．【解析】对于A，若存在一条直线，∥，∥，则∥或与相交，若∥，则存在一条直线，使得∥，∥β，所以选项A的内容是∥的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是∥的一个必要条件而不是充分条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有∥，所以选项D的内容是∥的一个充分条件。故选D。
10．【解析】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标，
所以向量：，，
由向量线性关系可得：，，解得：，
代入抛物线方程可得：，则，
由两点之间的距离公式可得：．故选A．
11．【解析】 由题意，120对都小于1的正实数，满足，面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对，满足且，面积为，
∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数为，
则，∴，故选B．
12．【解析】∵，
∴，
∴，∴函数是偶函数，∴当时，易得为增函数，
∴，，
∵，，，∴，∴，故选C．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．7 14． 15． 16．
13．【解析】y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
14．【解析】由题意得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝2＋9－6·＝5，
即AC＝，则＝，＝，得sin A＝.
15．【解析】设等差数列的公差为，则，
因为，所以，整理得，
．
16．【解析】如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则
设，则，又变式上的高，
当平面时，棱锥的体积最大，
此时，
当时，体积最大，此时最大值为.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理可得 ……………………1分
化简得， ……………………2分
由余弦定理得， ……………4分
又因为，……………………………5分（注1：无此步骤，本得分点不能给分）
所以． …………………………………………………………………………6分
（2）解法一：由正弦定理得， ………8分
由余弦定理得， …………9分
即，（当且仅当时取等号） ………………………………10分
故（当且仅当时取等号）．……11分
即面积的最大值为 ……12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分）
（注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分）
解法二：由正弦定理：，∴
， ………………7分
∵,∴ ………8分
∴ ………………………9分
…………………10分
∵，∴当，即时，…………………………………11分
即面积的最大值为 …………………………………………12分
（注：本题解题过程的缺少“”（4分点）和“”（11分点）不重复扣分）
18.（本小题满分12分）
（1）证明：因为平面，平面，
所以.…………1分
由得为等腰直角三角形，
故．………………2分
又，且面，面，……3分
（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分）
故平面．……………4分
（2）解：如图所示，过点作垂直于，
易知，又，故．
由，得，，
故．………………………………5分
以点为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图空间直角坐标系， ……………………………………6分
，，，，，
……………………………………7分
设平面的法向量为，则，
即，……………………………………8分
令，则，故可取．…………9分（注：与共线的非零向量都可给分）
由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即.………10分
则，……11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分）
又二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．………12分（注：无此步骤，本得分点不能给分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）设动点，则，………………………………………1分
，…………………………………………………………………2分
，即．化简得：，………………3分
由已知，故曲线的方程为．………………………4分
（注：方程正确，只要在解答过程出现过，就不扣分；否则扣1分）
（2）由已知直线过点，设的方程为，……………………………5分
则联立方程组，消去得，………………6分
设，，则，………………………………………………7分
直线与斜率分别为 ， ，……8分
………………………………………………9分
当时，，； ………………………10分
当时，，．………………………11分
所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值．……………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）函数的定义域是(1,＋∞)．……………………………1分
因为，………………2分
又，令，解得，……………………3分
所以函数的单调递增区间是(1,2)． ……………………4分
（注：单调区间也可以是(1,2]，写成其它形式，本得分点不能给分）
（2）由，得
令，……………………………………………5分
则（）………………………………. ………6分
由，得，由，得………………………7分
所以函数在[2，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，…………………8分
画出草图，可知方程在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，
则，………………………9分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分）
即，…………………10分
解得，………………11分
综上所述，实数取值范围是．…12分
（注：此步骤中，最终结果可以是集合、区间或不等式。若区间端点开闭错误，本得分点不给分。）
21．（本小题满分12分）
解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分（注：此步骤中，全部写对可得1分）
， ，
， ，
， ，
，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）
∴的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
……………………5分
（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：
7000 9000 11000 13000 15000
P
…………7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）
(元). …………8分
选择延保方案二，所需费用元的分布列为：
10000 11000 12000
P
…………10分（注：此步骤中，取值全对可得1分）
(元). ………………………11分
∵，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。
22．（本小题满分10分）
解：（1）消去参数可得的普通方程为，…………1分
由，得，………………………………2分
又因为，…………3分（注：此步骤中写出任意一个可得1分）
所以的直角坐标方程为．……………………4分
（2）解法1：标准方程为，表示圆心为，半径的圆．………5分
到直线的距离，………………………………………………6分
故．……………………………………………………………7分
原点到直线的距离，…………………………………………8分
所以． …………………………………9分
综上，的面积为 ……………………………………10分
解法2：联立方程组得，…………………5分
∴，……………………………………………………………6分
∴ ……………7分
原点到直线的距离，……………………………………8分
所以．…………………………………9分
综上，的面积为 ……………………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）解法1：当时，不等式可化简为．………1分
当时，，解得，所以；………………………2分
当时，，无解；………………………………………3分
当时，，解得，所以．………………………………4分
综上，不等式的解集为．………5分（注：解集必须是集合或区间形式）
解法2：当时，………1分
当时，，解得，所以； ………………2分
当时，，无解； …………………………………………3分
当时，，解得，所以． ……………………4分
综上，不等式的解集为． ………………5分
（2）解法1：当时，不等式可化简为．……………6分
令，则的图像为过定点斜率为的一族直线， ………7分
数形结合可知，当时，在上恒成立………………………9分
所以，所求的取值范围为．………10分（注：最终结果可以是集合、区间或不等式）
解法2：当时，不等式可化简为．……………6分
由不等式的性质得或，
即或．……………………………………………………7分
当时，，不等式不恒成立；…………………………8分
为使不等式恒成立，则．………………………9分
综上，所求的取值范围为．……………………………………………10分
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理科数学答案 第 8 页，共 8 页
惠州市2020届高三第一次调研考试
理科数学 2019.07
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设（为虚数单位），其中，是实数，则等于（ ）
A．5 B． C． D．2
3．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是（ ）
A．68 B．72 C．76 D．80
4．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．3600种 B．1440种 C．4820种 D．4800种
5．正方形中，点，分别是，的中点，那么（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，
则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f (x)是奇函数； B．y＝f (x)的周期为π；
C．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称； D．y＝f (x)的图象关于点(－，0)对称．
9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
则∥的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线，∥，∥.
B．存在一条直线，?，∥.
C．存在两条平行直线，，?，?，∥，∥.
D．存在两条异面直线，，?，?，∥，∥.
10．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
11．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对的个数，最后根据统计个数估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则函数的最小值为________．
14．在中，，，，则＝________.
15．设是公差不为零的等差数列，为其前项和．已知成等比数列，
且，则数列的通项公式为 ．
16．在三棱锥中，底面是直角三角形且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为__________．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
已知的内角、、满足．
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，平面,，，分别为线段上的点，且，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，
求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；
方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
（1）求的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，求的面积．
23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围．
数学试题（理科） 第 6 页，共 6 页
