人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：19【提高】双曲线的方程

双曲线的方程
【学习目标】
1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；
2.掌握双曲线的定义和标准方程；
3.能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
要点诠释：
1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
要点二、双曲线的标准方程
标准方程的推导：
如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1) 建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

（2）建立直角坐标系.
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．
(3)代数方程
∵
∴
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)
由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2.
即，其中
这就是双曲线的标准方程.
双曲线的标准方程：
1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
要点诠释：
1.当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
2.双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。
3.双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
4.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
要点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论.
【典型例题】
类型一：双曲线的定义
例1.若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【解析】∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．
【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在.
举一反三：
【变式1】已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为(　　)
A.
B. (y>0)
C. 或
D. (x>0)
【答案】　D
【变式2】(2018春 蚌埠校级期中)双曲线方程：，那么k的取值范围是（ ）
A.(5，+∞) B.（2,5） C.（-2,2） D．（-2,2）∪(5，+∞)
【答案】D
【解析】由题意知
解得或k>5,故选D。
【变式3】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13）
C．x=0（|y|≥13） D．以上都不对
【答案】C
例2. 已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程.
【解析】易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，
其方程为 （y≠0）
【总结升华】双曲线的定义应用中要注意绝对值的意义，比如本例中是，不要产生漏解.
举一反三：
【变式1】已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对
【答案】B
【变式2】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)
A．双曲线的一支
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
【答案】　A
类型二：双曲线的标准方程
例3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
【解析】由题意得2a=24，2c=26。
∴a=12，c=13，b2=132－122=25。
当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为；
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为。
【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系数的正负。
举一反三：
【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.
（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点.
【答案】（1）
（2）
【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程.
【答案】由已知设, ，则()
依题意，解得.
∴当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为.
【变式3】（2018 重庆模拟）若以为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为______。
【答案】∵以为焦点的双曲线过点（2，1），
∴设双曲线方程为，a＞0，
把（2，1）代入，得：，a＞0，
解得a2=2，或a2=6（舍），
∴该双曲线的标准方程为。
故答案为：。
例4．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
解法一：依题意设双曲线方程为－=1
由已知得，
又双曲线过点，∴
∴
故所求双曲线的方程为.
解法二：依题意设双曲线方程为，
将点代入，解得，
所以双曲线方程为.
举一反三：
【变式】（2018春 广州期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（ ）
A. B. C.4 D.10
【答案】C
【解析】由题意，
故选：C。
类型三：双曲线与椭圆
例5.讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
【解析】　(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，
所给方程表示椭圆，
此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，
这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，
所给方程表示双曲线，
此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．
【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a,b,c的关系区别.
举一反三：
【变式】若双曲线(m>0，n>0)和椭圆(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________．
【答案】　a－m
【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得
|MF1|－|MF2|＝ ①
|MF1|＋|MF2|＝ ②
②2－①2得，4|MF1|·|MF2|＝4a－4m，
∴|MF1|·|MF2|＝a－m.
例6.求以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝为渐近线的双曲线方程．
【解析】　椭圆3x2＋13y2＝39可化为，
其焦点坐标为(，0)，
∴所求双曲线的焦点为(，0)，
设双曲线方程为：(a>0，b>0)
∵双曲线的渐近线为，
∴，∴，
∴，，
即所求的双曲线方程为：.
【总结升华】双曲线与椭圆的共焦点的问题要注意区分，区分焦点所在轴；区分a,b,c的关系.一般是先化成标准方程再求出焦点坐标.
举一反三：
【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A，且A的纵坐标为4，求双曲线的方程.
【答案】
【变式2】双曲线与椭圆(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
类型四：双曲线方程的综合应用
例7. 已知A,B两地相距2000m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4s,
且已知当时的声速是330m/s,求炮弹爆炸点所在的曲线方程.
【解析】由题知爆炸点P应满足，
又所以点P在以AB为焦点的双曲线的靠近于B点的那一支上.
以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
得
∴
∴点P所在曲线的方程是
【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中. 举一反三：
【变式】设声速为，在相距10am的A,B两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B处的声强是A处声强的4倍，若已知声速声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P到AB中点M的距离.
【答案】
【巩固练习】
选择题
1．（2018春 上海校级期中）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
2．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是(　　)
A. B．
C. D.
3．（2018春 清远期末）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则实数m=( ).
A.1 B. C. D.1 或
4．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程 所表示的曲线是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆
5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　)
A.　　　B．1　　　C．2　　　D．4
6．(2018 新课标Ⅰ)已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若,则的取值范围是（）
（A) (B) (C) (D)
二、填空题
7．（2018春 杭州校级期中改编）设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且,则的值为 .
8．（2018 南昌二模）过原点的直线l与双曲线的左右两支分别相交于A，B两点，是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，。则双曲线C的方程为________．
9．如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a＝________.
10．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
三、解答题
11．设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
12. P是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值
13. 若椭圆(m>n>0)和双曲线(a>0，b>0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，求|PF1|·|PF2|的值.
14．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，，求双曲线的标准方程．
15．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当坐标系．求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．
【答案与解析】
1．答案：　C
解析： 方程表示双曲线，

解得或，
故选：C。
2. 答案：B
解析：　由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴b2＝3，双曲线方程为.
3. 答案：A
解析：双曲线化为，
实轴上是虚轴上的2倍，化为，
解得m=1,故选：A。
4. 答案：　C
解析：　方程即是，因θ∈(，π)，
∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦点在y轴上的椭圆，故答案为C.
5. 答案：　D
解析：　NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D.
6. 答案：A
解析：∵
∴c2=2+1=3
∴，
先找使得的点M坐标，即
∵
∵
联立可得，
∴
即知答案为A
法二：设M（x0，y0），则
∵
∴
∴，∵x02=2+2y02
即 3y02＜1 ∴∴
故选A
7.答案：　4
解析：设，则，
所以2mn=24-16=8,所以mn=4.
8．答案：　
解析：设|FB|=x，则|FA|=4－x，
∵过原点的直线l与双曲线的左右两支分别相交于A，B两点，是双曲线C的左焦点，
∴，
∵，
∴x2+(4－x)2=12，
∴x2－4x+2=0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴b=1，
∴双曲线C的方程为。
故答案为：。
9．答案：　1
解析：　由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.
10. 答案：　(x≤－2)
解析：　设动圆圆心为P(x，y)，由题意得
|PB|－|PA|＝4<|AB|＝8，
由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．
其方程为：(x≤－2)．
11. 解析：　以A、B两哨所所在直线为x轴，它的中垂线为y轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为.
12.解析：
在双曲线中，故
由P是双曲线上一点，得.
∴或
又得
13. 解析：　不妨设点P为双曲线右支上的点，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝，
由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝.
∴|PF1|＝，|PF2|＝。
同理可求P为左支上的点时情况，都能得到：
|PF1|·|PF2|＝m－a.
14. 解析：　设双曲线方程为
∵e＝＝2，∴a＝
由双曲线定义：|PF1|－|PF2|＝2a＝c.
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|
又＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝
得|PF1|·|PF2|＝48，
即c2＝16，∴a2＝4，b2＝12，
所求方程为.
15. 解析：解法一：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如图)
则 解得
设双曲线方程为，
将点代入，可得a2＝.
∴所求双曲线方程为.
解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作PA⊥x轴于A点．
设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如图所示)
因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，
故，，
即，AM＝2y0，
所以，即，
又因为S△PMN＝1，所以MN·PA＝1，
即，∴，
而2a＝PM－PN
，
∴，
故所求双曲线方程为.