人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：22【基础】直线与双曲线的位置关系（理）

直线与双曲线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上的双曲线的标准方程
说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2
要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、双曲线的几何性质
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点

轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
要点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、双曲线的实际应用与最值问题
对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解
双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用双曲线的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质
例1.求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆共焦点，且过点(－2，)的双曲线；
(2)与双曲线有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线．
【解析】(1)∵椭圆的焦点为(0，±3)，
∴所求双曲线方程设为：，
又点(－2，)在双曲线上，
∴，解得a2＝5或a2＝18(舍去)．
∴所求双曲线方程为.
(2)∵双曲线的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：，
又点(3，2)在双曲线上，
∴，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为.
【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。
举一反三：
【变式1】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为(　　)
A．5 B.
C. D.
【答案】C
【变式2】（2018 安徽卷）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】 C
【解析】
由题意：选项中A，B焦点在x轴，排除
C项的渐近线方程为，即y＝±2x，
故选C.
类型二：直线与双曲线的位置关系
例2．已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【思路点拨】
直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.
【解析】联立方程组消去y，并依x项整理得：
(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈，方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；
当k∈时，直线与双曲线有两个公共点；
当k∈时，直线与双曲线无公共点.
【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：
举一反三：
【变式1】(2018 天津)已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令y＝0，可得x＝－5，即焦点坐标为(－5，0)，∴c＝5，
∵双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，
∴＝2，
∵c2＝a2＋b2，
∴a2＝5，b2＝20，
∴双曲线的方程为．
故选：A．
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－x·|x|+y2=1的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3?
【答案】D
例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
【思路点拨】
显然采用过P点的直线方程与双曲线方程联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。
【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和。
【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点.
举一反三：
【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。
【答案】（1）
（2）
类型三：双曲线的弦
例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
【思路点拨】
（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。
（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便.
解：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
.
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则 ∴，
且，
∴，
得或.
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即，
即（图象的一部分）
【总结升华】（1）弦长公式；
（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.
举一反三：
【变式】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程
【答案】
类型四：双曲线的综合问题
例5.设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
【答案】　－2
【解析】设双曲线的另一个焦点为F′，则有F′(－2，0)，F(2,0)，连结AF′交双曲线的右支于点P1，连结P1F，则|P1F′|－|P1F|＝2a＝2.
于是(|PA|＋|PF|)min＝|P1A|＋|P1F|
＝|P1A|＋(|P1F′|－2)＝|AF′|－2＝－2.
【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据
举一反三：
【变式1】设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得 取得最小值时，求P点的坐标.
【答案】P点的坐标为
【变式2】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.
【答案】直线方程；
双曲线方程
【变式3】（2018年 山东文）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
【解析】
依题意，不妨设作出图像如下图所示
则故离心率
【巩固练习】
选择题
1．双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
2．椭圆与双曲线有相同的焦点，则m的值是(　　)
A．±1 B．1 C．－1 D．不存在
3．（2018 新课标Ⅱ文改编）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
4．(2018 湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）
A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
5. 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是(　　)
A. B. C. D．
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是(　　)
A．16 B．18
C．21 D．26
二、填空题
7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
8．（2018 葫芦岛二模）已知双曲线的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆(x－2)2+y2=16相交所得的弦长为________．
9．已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
10．设一个圆的圆心在双曲线的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．
三、解答题
11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率，求双曲线的标准方程及其渐近线．
12．设双曲线C：相交于两个不同的点A、B；求双曲线C的离心率e的取值范围：
13．（2018 肇庆三模）设双曲线=1（014. 如图所示，已知F1，F2为双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
15．已知双曲线E：(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为1：y＝2x，2：y＝－2x．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线分别交直线1，2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.【答案】：C
【解析】：将双曲线化为，以0代替1，得，即；
即 ，故选C
2.【答案】：　A
【解析】：　验证法：当m＝±1时，m2＝1，
对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，
故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴m2＝1，即m＝±1.
3．【答案】：　A
【解析】：根据双曲线渐近方程为，可设双曲线的方程为，把代入得m=1.所以双曲线的方程为，故选A。
4. 【答案】：D
【解析】 依题意，，
因为，由于m＞0，a＞0，b＞0，
所以当a＞b时，，所以e1＜e2；
当a＜b时，，而，所以，所以e1＞e2.
所以当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.
故选D.
5. 【答案】：　C
【解析】：　∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
6.【答案】：　D
【解析】：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
7．【答案】：
【解析】：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.
8．【答案】：
【解析】：双曲线的一条渐近线经过点（3，6），
可得渐近线方程为：y=2x，圆(x－2)2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，
该渐近线与圆(x－2)2+y2=16相交所得的弦长为：
。
故答案为：．
9. 【答案】：
【解析】：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：
|PF2|＝，又|PF2≥c－a，
所以≥c－a，c≤，
∴e＝≤，即e的最大值为.
10．【答案】：
【解析】：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y0＝＝4.代入双曲线方程得，所以，故|PO|＝＝.
11. 【解析】：　由条件知焦点在y轴上，，；可求；所以双曲线的方程为渐近线方程为.
12.【解析】：由C与相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0.
双曲线的离心率
13．【解析】：由已知，的方程为ay+bx-ab=0,
原点到的距离为，则有,
又c2=a2+b2, ∴，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.
两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，∴e2=4或.
∵ 0∴e2=4，故e=2.
14．【解析】∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝2a，∴c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15. 【解析】：(1)因为双曲线E的渐近线分别为1：y＝2x，2：y＝－2x，
所以．
所以．
故c＝a，
从而双曲线E的离心率．
(2)由(1)知，双曲线E的方程为．
设直线与x轴相交于点C，
当⊥x轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a，
又ΔOAB的面积为8，所以|OC|?|AB|＝8，
因此a?4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为．
以下证明：当直线不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为也满足条件．
设直线的方程为y＝kx＋m，依题意，得k＞2或k＜－2；
则C(－，0)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，同理得，
由S△OAB＝|OC|?|y1－y2|得：
，即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由,得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2＜0，
所以△＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)，
又因为m2＝4(k2－4)，
所以△＝0，即直线与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为．