人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：26【基础】直线与抛物线的位置关系（理）

直线与抛物线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；
3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F（即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比）.
要点二、抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
，，，
图像
方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
焦点
准线
要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p的值.
要点三、抛物线的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：.
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
要点三、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.
【典型例题】
类型一：抛物线的方程与性质
例1． 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(4，8)的抛物线有几条?求出它们的标准方程.
【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以即，因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是，
【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.
举一反三：
【变式1】若抛物线通过直线与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
【答案】由得，或，
根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，
则在抛物线上，∴m＝，p＝，
∴方程为或
【变式2】已知定点F(0,2)，若动点M(x，y)满足|MF|＝y＋2，则点M的轨迹方程为________．
【答案】由已知得点M到点F的距离等于点M到直线y＝－2的距离，故点M的轨迹方程为x2＝8y.
【变式3】(2018 德阳模拟)顶点在原点，经过圆C:的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为圆C：的圆心是
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，
设标准方程为，
因为点在抛物线上，所以，
所以p=1,
所以所求抛物线方程为：。
故选B。
类型二：直线与抛物线的位置关系
例2．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
【答案】3
【解析】如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线．
【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉.
举一反三：
【变式】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【答案】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
类型三：抛物线的弦
例3.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．
【解析】如图8－3－1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．
由消去y得x2－6x+1=0．
设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6．
又A、B两点到准线的距离为，，则
【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
举一反三：
【变式】顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝，求抛物线的方程．
【答案】y2＝20x或y2＝－12x.
例4.若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
【解析】把y＝kx－2代入y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB中点M(2，y0)，
∴x1＋x2＝4，即＝4，
解得k＝2或k＝－1.
又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，
∴k>－1，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2，
∵M(2，y0)在直线上，
∴y0＝2，|AB|＝.
【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
举一反三：
【变式】(2018 商洛模拟改编)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．
【答案】8
【解析】抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
类型四：抛物线的综合问题
例5. （2018 福建文）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；（Ⅱ）详见解析．
【思路点拨】（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由|AF|=3可得，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．
【解析】解法一：（I）（4分）由抛物线的定义得．
因为|AF|＝3，即，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x．
（Ⅱ）（8分）因为点A(2，m)在抛物线E: y2=4x上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，F(1，0)可得直线AF的方程为．
由，得2x2-5x+2=0，
解得x=2或，从而．
又G(-1，0)，
所以，，
所以kGA+kGB=0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．
因为点A(2，m)在抛物线E: y2=4x上，
所以，由抛物线的对称性，不妨设．
由，F(1，0)可得直线AF的方程为．
由，得2x2-5x+2=0，
解得x=2或，从而．
又G(-1，0)，故直线GA的方程为，
从而．
又直线GB的方程为，
所以点F到直线GB的距离．
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
举一反三：
【变式1】 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
【答案】如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,
又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)((|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)==
∴y= ±即M(,), N(,─)
【变式2】已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
【答案】　C
【解析】　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，
则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C.
【巩固练习】
选择题
1．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上答案都有可能
2．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
3．（2018 柳州校级一模）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D. 或
4．(2018 新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。
A. 3 B.6 C. 9 D. 12
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝(　　)
A． B．8 C． D．16
6．（2018 渭南一模）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（ ）
A．2 B．18 C．2或18 D．4或16
二、填空题
7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________．
8．（2018 兴安盟一模）已知抛物线y2=2x的焦点为F，过F点作斜率为的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点A，则________。

9．抛物线上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________．
10．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：
(1)△FOP为正三角形．
(2)△FOP为等腰直角三角形．
(3)△FOP为直角三角形．
(4)△FOP为等腰三角形．
其中一定不正确的命题序号是________．
三、解答题
11.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有几条.
12.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
13．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求抛物线的方程．
14. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．
15. (2018 安徽)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．
(Ⅰ)证明：A1B1∥A2B2；
(Ⅱ)过O作直线l(异于l1，l2)与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
答案与解析
1.【答案】　B
【解析】　特值法：取AB垂直于抛物线对称轴这一情况研究．
2. 【答案】　C
【解析】由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．
3.【答案】 B
【解析】设抛物线方程为
抛物线上一点(-5,m)到焦点距离是6，


抛物线方程为，故选：B。
4. 【答案】B
【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2
∴椭圆E中 c=2
，a=4，∴b2=12
∴椭圆E的方程为
设A（－2，y0）
，∴y02=9，∴|y0|=3
∴|AB|=2y0=6
故选B
5. 【答案】　B
【解析】　由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，
又由直线AF的斜率为，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
6. 【答案】　C
【解析】∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6，
∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±6）
∵P到抛物线的焦点的距离为10
∴由抛物线的定义，得 （1）
∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36 （2）
（1）（2）联解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1
故选C。
7．【答案】　x＝1或y＝4x－2
【解析】　当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2.
8．【答案】　3
【解析】　设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵抛物线y2=2x的焦点为，直线AB经过点F且斜率，
∴直线AB的方程为，
将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，
可得，
∵点A是第一象限内的交点，
∴解方程得。
因此。
故答案为3。
9. 【答案】　0【解析】　设抛物线上一点P(x，y)，
则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2
＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1.
∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值，
而|PA|有最小值，此时y＝0，故010.【答案】①②
【解析】∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴①错误．
若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误．
11. 【答案】当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．
因为焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y＝k(x－1)，
由方程联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝5，
∴k2＝，即k＝
因而这样的直线有且仅有两条．
12.【解析】
由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3.
∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
∴m＝或m＝.
∴A(3, )．∴|OA|＝|OB|＝.
∴△OAB的周长为
13.【解析】过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6，
∴|AF|＋|FC|＝|AF|＋3|BF|＝6，
∴|BF|＝1，|AB|＝＝4，
2p＝4sin260°＝3，抛物线方程为y2＝3x.
答案：y2＝3x
14. 【解析】　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
其准线方程为x＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
所以QA＝QB，
即(x1－6)2＋＝(x2－6)2＋，
又＝2px1，＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p
故8－p＝12－2p
∴p＝4
∴所求抛物线方程是y2＝8x
15. (Ⅰ)证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，
设l1：y＝k1x，l2：y＝k2x．
联立，解得．
联立，解得．
联立，解得．
联立，解得．
∴，
．
，
∴A1B1∥A2B2；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2，
同(Ⅰ)可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此，
又，
∴．
故．