人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：29【提高】《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固（理）

《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固
【学习目标】
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1．椭圆：
（1）椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
要点诠释：
①上方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性： 椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点： ，，，是椭圆的四个顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.
要点诠释：
①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；
②当时，表示两条射线；
③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线： 渐近线方程：.
这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
要点诠释：
（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
要点二：直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C的位置关系
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则
弦长公式：
当时, 弦长公式还可以写成：
要点诠释：
（1）当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。（2）利用弦长公式求弦长时，应注意应用韦达定理。
要点三： 有关圆锥曲线综合题类型
1.求圆锥曲线方程的方法
①定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
②直接法
建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
③代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
④参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
常见的参数法有：
（1）点参数
利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）
（2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
要点诠释：
（1求轨迹方程的一般思路：
①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；
②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；
③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；
④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
（2求轨迹方程应注意的问题：
①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
②要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
2.直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
①韦达定理法：
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
②设而不求法：
解析几何的运算中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，
将两式作差可得：。
（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，将两式作差可得：
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),同样设点作差可得2y0k=2p, 即y0k=p.
3．求取值范围或最值：
参数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
方程与不等式组----n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：
利用几何性质求参数范围；
利用不等式性质(结合几何性质)求参数范围．
【典型例题】
类型一：圆锥曲线的方程与性质
例1. 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
【思路点拨】建立坐标系，再依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其“翻译”成数学语言即可.
【解析】如右图，以直线为轴，线段的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，
，
即，又，
的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.
【总结升华】本题采用的是定义法，定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
举一反三：
【变式1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：，。
∴
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，
∴b2=12，
故所求轨迹方程为。
【变式2】
设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点，从Ｆ１引
∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是　　　　　　．
【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，
据题意知：△AQF1为等腰三角形
所以QF1=QA
∵|QF1-QF2|=4
∴|QA-QF2|=4
即AF2=4
∵OP为△F1F2A的中位线
∴OP=2
故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，
方程为：x2+y2=4
例2．过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.
【思路点拨】AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A,B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数.
【解析】设AB的中点M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),
依题意，直线的斜率必须存在，设为k, 又直线 过原点，
∴直线的方程为：y=kx,
将此式代入y=x2-2x+2
整理得：x2-(2+k)x +2=0
∴x1+x2=2+k,
∴

由消去k，得。
又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0,
∴(2+k)2-8>0, 解得或
∵,∴或
∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分。
【总结升华】
①在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数,即“k参数”，此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况.
②参数的选择多种多样，应视具体情况而定 常见的参数有k参数、点参数，也可以选有几何意义的量如角参数、参数a,b,c等。恰当选择参数，可以简化解题过程.
③解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程.
④对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围.
举一反三：
【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程.
【答案】设A点在渐近线上, B点在渐近线上,
A(x1, y1), B(x2, y2),线段AB中点 M(x, y),
∵,
∴
由=30,得,
∴, 化简得.
【变式2】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O, 过点O作OM⊥AB, M为垂足, 求点M的轨迹方程.
【答案】设直线OA方程为, 代入得A点坐标为,
，∴,
同理可得B(),
∴直线AB方程为,
即: ①
直线OM方程为②
①②,得: ,
即为所求点M的轨迹方程.
【变式3】在圆x2+y2=4上，有一定点A（2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列），当B，C两点保持∠BAC=时，求△ABC的重心的轨迹。
【答案】 连OB，OC，∵∠BAC=，∴∠BOC=
设B（2cosθ,2sinθ）(0<θ<),则C(2cos(θ+),2sin(θ+))
设重心G（x，y），则：
x=
y=
即： x=
y=
θ+
∴。（x<）
即
类型二：直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
例3．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。
【思路点拨】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。
【解析】当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。
则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x－2)。
代入双曲线方程，得
即。
设点，，
则当Δ>0时，，。
从而
。
∵，∴
∴，解得。
此时
∴，
故由焦点弦长公式，得：。
【总结升华】
处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而 是用韦达定理作整体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求”.
涉及直线与双曲线相交弦的问题，Δ＞0是必不可少的条件。关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑Δ＞0，同时要考虑方程根的取值范围。
举一反三：
【变式1】(2018 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.
【思路点拨】(1)求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程即得(2)因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC＝2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量．首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC＝2AB解出直线AB斜率，写出直线AB方程．
【解析】 (1)由题意，得且，
解得，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为．
（2）当AB⊥x轴时，，又，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x－1)，A（x1，y1），B（x2，y2），
将AB的方程代入椭圆方程，得，
则，C的坐标为，且
．
若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．
从而k≠0，故直线PC的方程为，
则P点的坐标为，从而．
因为PC=2AB，所以，解得k=±1．
此时直线AB方程为y=x－1或y=－x+1．
【变式2】(2018 浙江理)如图，设椭圆．
(Ⅰ)求直线y＝kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；
(Ⅱ)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
【答案】
(Ⅰ)设直线y＝kx+1被椭圆截得的线段为AP，
由得，
故．
因此．
(Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，
满足|AP|＝|AQ|．
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2．
由(Ⅰ)知，，
故，
所以，
由于k1≠k2，k1，k2＞0得，
因此， ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是，
所以．
因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1≤a≤2，
由得，所求离心率的取值范围为，
【变式3】如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足。　
（1）求的值；
（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l过点E（2，0）交（2）中曲线C于M、N两点，且，求的方程.
【解析】（1）由已知得

（2）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由得


∴ 消去m，n可得
，又因
∴ P点的轨迹方程为
它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支
（3）设直线l的方程为，将其代入C的方程得

即
易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又
设，则
∵ l与C的两个交点在轴的右侧


∴ ，即
又由 同理可得
由得

∴
由得
由得
消去得
解之得： ，满足
故所求直线l存在，其方程为：或
类型三：求取值范围或最值：
例4. （2018 天津）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.
(Ⅰ)求直线FM的斜率；
(Ⅱ)求椭圆的方程；
(Ⅲ)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）解：由已知有，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2.
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k(x+c).
由已知，有，解得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为，
直线FM的方程为，两个方程联立，消去y，
整理得，解得，或x=c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由，解得c=1，
所以椭圆的方程为.
（Ⅲ）解：设点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，
得，即，与椭圆方程联立
，消去y，整理得.
又由已知，得，解得，或－1＜x＜0.
联立，整理可得.
①当时，有，因此m＞0，于是
，得.
②当x∈（－1，0）时，有y=t(x+1)＞0，因此m＜0，于是
，得.
综上，直线OP的斜率的取值范围是.
举一反三：
【变式1】
(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
【答案】（1）（2，2）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
【变式2】
设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,
若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任一点，为圆的任意一条直径，求的最大值．
【答案】（1）由题设知:
由得:
解得，椭圆的方程为
（2）

从而将求的最大值转化为求的最大值
是椭圆上的任一点，设，则有
即 又，
当时，取最大值
∴的最大值为。
【变式3】
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
【答案】
（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F
由题设 解得 故所求椭圆的方程为.
（2）设P为弦MN的中点，由 得 .
由于直线与椭圆有两个交点， 即 ①
，从而，
又，则，
即 ② 把②代入①得 解得
又由②得 解得. 故所求m的取范围是。
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 安徽卷）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是 （ ）
A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x
3．（2018 浙江理）已知椭圆与双曲线的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
4. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，
则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 5 C. D.
5．抛物线上的点到直线4x+3y－8=0距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
6. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B． C． D．
7.已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =
（A）1 （B） （C） （D）2
二、填空题
8．(2018 上海)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　　 ．
9．F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。的最小值为
10.抛物线与斜率为1且过焦点的直线交于A、B两点，则 ；
11. 在抛物线y2=16x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________
三、解答题
12．△ABC中,A(3,0)，BC在y轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC外心的轨迹方程。
13．已知抛物线y2=2px(p>0)，一条长为4p的弦AB的两个端点A、B在抛物线上滑动，求此动弦的中点Q到y轴的最小距离.
14. 如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆 的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．
15．(2018 北京)已知椭圆C: x2+3y2=3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（Ⅲ）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
16.(2018 山东理) 平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点F是C的一个顶点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i)求证：点M在定直线上；(5分)
(ii)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.(6分)
【答案与解析】
1、【答案】 C
【解析】
由题意：选项中A，B焦点在x轴，排除
C项的渐近线方程为，即y＝±2x，故选C.
2、【答案】C
【解析】 点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C
3、【答案】A
【解析】由题意知m2-1＝n2+1，即m2＝n2+2，，代入m2＝n2+2，得m＞n，(e1e2)2＞1．故选A．
4. 【答案】D
【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=, 所以,,故选D.
5．【答案】A；
【解析】抛物线上的点到直线4x+3y－8=0距离
，故距离的最小值是.
6. 【答案】C
【解析】对于，则直线方程为，
直线与两渐近线的交点为B，C，，
则有，
因．
7. 【答案】B
【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
8、【答案】x＝－2
【解析】由题意椭圆，故它的右焦点坐标是(2，0)，
又y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆的右焦点重合，
故p＝4，
∴抛物线的准线方程为x＝－2．
故答案为：x＝－2
9. 【答案】4-
【解析】设另一焦点为，则(-1,0)连A,P

当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。
10.【答案】-3；
【解析】∵抛物线的焦点，∴直线：，
设点，，
由，得，
有，，
故.
11. 【答案】8x-y-15=0 ；
【解析】设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入抛物线方程得，
两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2)
即
故所求直线方程为y=8x-15
12、【解析】设C在B的上方，设B(0,t)， 则C(0,t+2)，-3≤t≤1
设外心为M(x,y)，因BC的中垂线为y=t+1 ①
AB中点为 ， AB的中垂线为 ②
由①、②消去t得这就是点M的轨迹方程。
13．【解析】
设F为焦点，A(x1,y1), B(x2,y2) ，则,
其到y轴的距离为,所以要使中点Q到y轴的距离最小，只需最小即可，
由抛物线定义有,|AF|+|BF|≥|AB|，
所以 x1+x2+p≥|AB|, 即 x1+x2+p≥4p, ；
∴点Q到y轴的最小距离为。
14. 【解析】 (1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，
C(3c，0) 且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+u+3=0相切，
∴ ，解得c=1，∴所求的椭圆方程为
(2) 点A的坐标为(-2，0)，圆M的方程为(x-1)2+y2=4，

过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)，
∵，又，∴cos=
∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=，所以，∴k=
所求直线的方程为x×2+2=0．
15.(Ⅰ)椭圆C的标准方程为．
所以．
所以椭圆C的离心率．
（Ⅱ）因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)．
直线AE的方程为y－1=(1－y1)(x－2)．
令x=3，得M(3，2－y1)．
所以直线BM的斜率．
（Ⅲ）直线BM与直线DE平行．证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM=1．
又因为直线DE的斜率，所以BM∥DE．
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x－1)(k≠1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为．
令x=3，得点．
由，
得．
所以．
直线BM的斜率．
因为
所以kBM=1=kDE．
所以BM∥DE．
综上可知，直线BM与直线DE平行．
16.【解析】(Ⅰ)由题意知，可得：a＝2b．
因为抛物线E的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为．
(Ⅱ)(i)设，由x2＝2y可得y′＝x，
所以直线l的斜率为m，
因此直线l的方程为，即．
设，联立方程
得，
由△＞0，得，
因此，
将其代入，
因为，所以直线OD方程为．
联立方程，得点M的纵坐标为，
即点M在定直线上．
(ii)由(i)知直线l方程为，
令x＝0得，所以，
又，
所以，
令t＝2m2+1，则，
当，即t＝2时，取得最大值，此时，满足△＞0，
所以点P的坐标为，因此的最大值为，此时点P的坐标为.