人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：30【基础】空间向量及其线性运算
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：30【基础】空间向量及其线性运算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 858.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-20 08:39:13 | ||
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文档简介
空间向量及其线性运算
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．
2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．
3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
（要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开）
要点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
要点诠释：
空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)= (μ)a．
要点诠释：
（1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．
（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．
注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对（），使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例1、已知在平行六面体中，设，，，试用向量、、来表示向量、。
【思路点拨】 要想用、、表示所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量加法运算即可。
【解析】在平行六面体中，四边形ABCD是平行四边形，
。
又因为四边形为平行四边形，
∴。
【总结升华】 运用已知向量表示其他向量时，应充分运用向量加法、减法的三角形法则，平行四边形法则
以及向量加法的交换律、结合律等，运用数形结合的数学思想解题。
举一反三：
【变式1】（2018春 武汉校级期中改编）空间四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AD的中点，试用向量，表示向量 。
【答案】
【解析】∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，
∴，，。
∴
【变式2】如图，设四面体ABCD的三条棱，，，Q为△BCD的重心，M为BC的中点，试用、、表示向量、。
【答案】∵M为BC的中点，
∴
。
例2、如图，已知长方体，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）。
【思路点拨】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。
【解析】（1）；
（2）。
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。
举一反三：
【变式1】 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1） ；
（2） ；
【答案】 (1)
(2)
【变式2】已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B；
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
【思路点拨】 先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可.
【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心
∴，D为BC的中点
∴
【总结升华】
(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；
(2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有
举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：。
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴，，，
∴
又由于，，
∴
∴。
【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。
【答案】 ①
②
①+②得。
∴。
类型二：共线向量定理的应用
例4．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，．求证：四边形EFGH是梯形．
【解析】
∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴，，
，
∴且，又F不在EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
【总结升华】利用共线向量定理可以判定两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；
举一反三：
【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值。
【答案】
由共线的向量定理列出关系式。
∵，。
又∵A、B、D三点共线，
由共线向量定理，得，∴。
【变式2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。
用向量法证明BD∥平面EFGH；
【答案】∵
∴EH∥BD
又EH平面EFGH，BD平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH。
类型三：共面向量及应用
例5．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【思路点拨】利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
【解析】由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
举一反三：
【变式1】（2018秋 隆化县校级期中）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．或
【思路点拨】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论。
【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底。
故选C。
【变式2】已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
【答案】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
例6. V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，，，。
求证：VA∥平面PMN。
【解析】
设，，，
则。
由题意，知，
。
∴。
∴∥平面PMN。
又∵VA平面PMN，∴VA∥平面PMN。
【总结升华】
（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．
（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
举一反三：
【变式1】
已知斜三棱柱，设 ， ， .
在面对角线和棱上分别取点和 ， ,
（）.求证： 与向量 ， 共面.
【答案】 ，∴
∴ 与向量 ， 共面.
【变式2】 如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．
求证：MN∥平面CDE．
【答案】
如题图，因为M在BD上，且，所以．
同理．
所以
．
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面．
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春 安溪县校级期中）空间向量不可以做的运算是（ ）
A．加法 B．减法 C．数量积 D．除法
2．空间向量中，下列说法正确的是（ ）
A．如果两个向量长度相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等
C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
3.（2018秋 珠海期末）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，,则( )
A. B.
C. D.
4．（2018秋 振兴区校期末）若是空间不共面的三个向量，则与向量
和向量构成不共面的向量是（ ）
B. C. D.
5.如图空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：
①；②；
③；④．
其中运算的结果为向量的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知空间向量A，B，且，，，则一定共线的三点是（ ）．
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
二、填空题
8.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。
9.已知平行六面体，化简下列表达式：
（1） ；
（2） 。
10．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若，则x+y+z=________。
11．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=________．
三、解答题
12．已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
13.已知平行六面体，，用表示如下向量：
(1)；
(2)(G是平面中心)。
14. 如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，
试证A1B∥平面AC1D.
15．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
证明：直线EE1∥平面FCC1．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解答】解：类比平面向量的运算性质，得；
空间向量可以进行加法运算，减法运算和数量积的运算，
而不能进行除法运算。
故选：D。
2．【答案】D
【解析】用相等向量的定义判定，要得到相等向量，两个条件缺一不可：
（1）方向相同；（2）长度相等。
3．【答案】B
4．【答案】D
【解析】由题意可知向量和向量是平面AOB内的向量，而都在平面AOB内，显然是共面向量，只有与向量和向量构成不共面的向量。故选D。
5. 【答案】
【解析】 。
6．【答案】D
【解析】 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①；
②；
③；
④。
所以4个式子的运算结果都是，故选D。
7．【答案】A
【解析】 ∵，∴A、B、D三点共线，故选A。
8. 【答案】存在实数对（），使．
【解析】由共面定理可得。
9. 【答案】（1）；（2）。
【解析】由加减法定义可得
10．【答案】
【解析】 因为，所以x=1，，。因此。
11．【答案】－1
【解析】 ，由A、B、C、D四点共面的充要条件，知(―2x)+(―3y)+(―4z)=1，即2x+3y4z=―1。
12．【解析】
13. 【解析】
(1)；
；
；
(2)
14. 【解析】
设＝a，＝c，＝b，
则 ＝＋
＝＋＝a＋c，
＝＋＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝b－a＋c，
＝－2，∵AB?平面AC1D，
因此A1B∥平面AC1D.
15．【解析】由题意知，
∵F是AB的中点，∴，
∴四边形AFCD是平行四边形，∴。
∵E，E1分别是AD，AA1的中点，
∴。
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面。
∵EE1不在平面FCC1内，∴EE1∥平面FCC1。
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．
2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．
3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
（要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开）
要点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
要点诠释：
空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)= (μ)a．
要点诠释：
（1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．
（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．
注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对（），使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例1、已知在平行六面体中，设，，，试用向量、、来表示向量、。
【思路点拨】 要想用、、表示所给向量，只需结合图形，充分运用空间向量加法运算即可。
【解析】在平行六面体中，四边形ABCD是平行四边形，
。
又因为四边形为平行四边形，
∴。
【总结升华】 运用已知向量表示其他向量时，应充分运用向量加法、减法的三角形法则，平行四边形法则
以及向量加法的交换律、结合律等，运用数形结合的数学思想解题。
举一反三：
【变式1】（2018春 武汉校级期中改编）空间四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AD的中点，试用向量，表示向量 。
【答案】
【解析】∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，
∴，，。
∴
【变式2】如图，设四面体ABCD的三条棱，，，Q为△BCD的重心，M为BC的中点，试用、、表示向量、。
【答案】∵M为BC的中点，
∴
。
例2、如图，已知长方体，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）。
【思路点拨】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。
【解析】（1）；
（2）。
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。
举一反三：
【变式1】 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1） ；
（2） ；
【答案】 (1)
(2)
【变式2】已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B；
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
【思路点拨】 先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可.
【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心
∴，D为BC的中点
∴
【总结升华】
(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；
(2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有
举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：。
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴，，，
∴
又由于，，
∴
∴。
【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。
【答案】 ①
②
①+②得。
∴。
类型二：共线向量定理的应用
例4．如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，．求证：四边形EFGH是梯形．
【解析】
∵E、H分别是边AB、AD的中点，
∴，，
，
∴且，又F不在EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
【总结升华】利用共线向量定理可以判定两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；
举一反三：
【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值。
【答案】
由共线的向量定理列出关系式。
∵，。
又∵A、B、D三点共线，
由共线向量定理，得，∴。
【变式2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。
用向量法证明BD∥平面EFGH；
【答案】∵
∴EH∥BD
又EH平面EFGH，BD平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH。
类型三：共面向量及应用
例5．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【思路点拨】利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
【解析】由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
举一反三：
【变式1】（2018秋 隆化县校级期中）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．或
【思路点拨】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论。
【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底。
故选C。
【变式2】已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
【答案】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
例6. V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，，，。
求证：VA∥平面PMN。
【解析】
设，，，
则。
由题意，知，
。
∴。
∴∥平面PMN。
又∵VA平面PMN，∴VA∥平面PMN。
【总结升华】
（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．
（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
举一反三：
【变式1】
已知斜三棱柱，设 ， ， .
在面对角线和棱上分别取点和 ， ,
（）.求证： 与向量 ， 共面.
【答案】 ，∴
∴ 与向量 ， 共面.
【变式2】 如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．
求证：MN∥平面CDE．
【答案】
如题图，因为M在BD上，且，所以．
同理．
所以
．
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面．
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018春 安溪县校级期中）空间向量不可以做的运算是（ ）
A．加法 B．减法 C．数量积 D．除法
2．空间向量中，下列说法正确的是（ ）
A．如果两个向量长度相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等
C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
3.（2018秋 珠海期末）如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，,则( )
A. B.
C. D.
4．（2018秋 振兴区校期末）若是空间不共面的三个向量，则与向量
和向量构成不共面的向量是（ ）
B. C. D.
5.如图空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则 等于（ ）
A. B. C. D.
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：
①；②；
③；④．
其中运算的结果为向量的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知空间向量A，B，且，，，则一定共线的三点是（ ）．
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
二、填空题
8.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。
9.已知平行六面体，化简下列表达式：
（1） ；
（2） 。
10．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，若，则x+y+z=________。
11．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=________．
三、解答题
12．已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
13.已知平行六面体，，用表示如下向量：
(1)；
(2)(G是平面中心)。
14. 如图, 在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，
试证A1B∥平面AC1D.
15．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
证明：直线EE1∥平面FCC1．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解答】解：类比平面向量的运算性质，得；
空间向量可以进行加法运算，减法运算和数量积的运算，
而不能进行除法运算。
故选：D。
2．【答案】D
【解析】用相等向量的定义判定，要得到相等向量，两个条件缺一不可：
（1）方向相同；（2）长度相等。
3．【答案】B
4．【答案】D
【解析】由题意可知向量和向量是平面AOB内的向量，而都在平面AOB内，显然是共面向量，只有与向量和向量构成不共面的向量。故选D。
5. 【答案】
【解析】 。
6．【答案】D
【解析】 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
①；
②；
③；
④。
所以4个式子的运算结果都是，故选D。
7．【答案】A
【解析】 ∵，∴A、B、D三点共线，故选A。
8. 【答案】存在实数对（），使．
【解析】由共面定理可得。
9. 【答案】（1）；（2）。
【解析】由加减法定义可得
10．【答案】
【解析】 因为，所以x=1，，。因此。
11．【答案】－1
【解析】 ，由A、B、C、D四点共面的充要条件，知(―2x)+(―3y)+(―4z)=1，即2x+3y4z=―1。
12．【解析】
13. 【解析】
(1)；
；
；
(2)
14. 【解析】
设＝a，＝c，＝b，
则 ＝＋
＝＋＝a＋c，
＝＋＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝b－a＋c，
＝－2，∵AB?平面AC1D，
因此A1B∥平面AC1D.
15．【解析】由题意知，
∵F是AB的中点，∴，
∴四边形AFCD是平行四边形，∴。
∵E，E1分别是AD，AA1的中点，
∴。
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面。
∵EE1不在平面FCC1内，∴EE1∥平面FCC1。