人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：31【提高】空间向量及其线性运算
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：31【提高】空间向量及其线性运算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 965.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-20 08:41:21 | ||
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文档简介
空间向量及其线性运算
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．
2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．
3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
（要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开）
要点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
要点诠释：
空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)= (μ)a．
要点诠释：
（1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．
（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．
注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对（），使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例1.（2018春 南昌期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项。
【解析】
∵，，，
∴，
故选：A。
【总结升华】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题。
举一反三：
【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
【答案】A 显然。
【变式2】（2018春 遂宁校级期末）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接ON，AN，
则
，
所以。
故选C。
例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）．
①；②；
③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．
【解析】 ①；
②；
③；
④．
因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A．
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。
举一反三：
【变式1】如图，已知长方体，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）。
【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。
（1）；
（2）。
【变式2】 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1） ；
（2） ；
【答案】 (1)
(2)
【变式3】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
【思路点拨】 先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可.
【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心
∴，D为BC的中点
∴
【总结升华】
(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；
(2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有
举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：。
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴，，，
∴
又由于，，
∴
∴。
【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。
【答案】 ①
②
①+②得。
∴。
例4、已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：
（1）；
（2）。
【思路点拨】根据向量运算法则，用向量、、表示和，然后利用向量相等来确定x、y、z的值。
【解析】（1）∵，
又∵，
∴x=1，y=－1，z=1。
（2）∵
，
又∵，
∴，，。
【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示。
举一反三：
【变式】已知是平行六面体。
（1）化简，并在图中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，设，试求、、的值。
【答案】
（1）如图所示
取的中点为E，则
取F为的一个三等分点，则
又，，
∴。
（表示法不唯一）
（2）
∴，，。
类型二：共线向量定理的应用
例5． 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心）
【思路点拨】 如图．在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点，要证明EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
【解析】 ∵E、G分别为AB、AC的中点，∴，同理，
∴．
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点．连接OP、OQ．
只要能证明向量，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点．事实上，，，而O为GH的中点，∴，，．
∴，．
∴．
∴．
∴PQ经过O点，且O为PQ的中点．
即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证．
【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
举一反三：
【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值。
【答案】
由共线的向量定理列出关系式。
∵，。
又∵A、B、D三点共线，
由共线向量定理，得，∴。
【变式2】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。
求证：平面EFG∥平面AB1C。
【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行。
证明：设，，， 则，
∴， ∴，∴EG∥AC
又∵，
∴，∴，EF∥B1C。
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，
∴平面EFG∥平面AB1C。
类型三：共面向量及应用
例6．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
举一反三：
【变式】已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【答案】由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
例7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，
求证：B1C∥平面ODC.
【解析】
【总结升华】
（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．
（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
举一反三：
【变式1】
已知斜三棱柱，设 ， ， .
在面对角线和棱上分别取点和 ， ,
（）.求证： 与向量 ， 共面.
【答案】，∴
∴ 与向量 ， 共面.
【变式2】 如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．
求证：MN∥平面CDE．
【答案】
证明：如题图，因为M在BD上，且，所以．
同理．
所以
．
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面．
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
2.①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2018秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点
A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
5.（2018秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2018 四川校级模拟） 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过ΔABC的（ ）
A. 外心 B.内心 C. 重心 D.垂心
7．已知空间向量A，B，且，，，则一定共线的三点是（ ）．
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
二、填空题
8.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。
9.已知平行六面体，化简下列表达式：
（1） ；
（2） 。
10．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点,G是△ABC的重心，则用基向量、、表示向量的表达式为 .
11．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=________．
三、解答题
12．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，△BCD的重心为G，
化简。
13． 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
14．如右图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
证明：直线EE1∥平面FCC1．
15. 如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PD．点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．求证：
（1）E、F、G、H四点共面；
（2）平面EFGH∥平面ABCD．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】①②③正确，④不正确。
2．【答案】C
【解析】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；
②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；
③中a、b所在直线可能重合；
④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．
3. 【答案】C
【解析】：连接AF，，故选：C。
4. 【答案】D
【解析】由
可得
即
所以，即点M与点A、B、C一定共面。
5. 【答案】A
【解析】
根据题意，得：
，
又∵，
∴，
故选：A。
6．【答案】C
【解析】
，设它们等于t,
而
表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心。故选C。
7．【答案】A
【解析】∵，∴A、B、D三点共线，故选A。
8. 【答案】存在实数对（），使．
【解析】由共面定理可得。
9. 【答案】（1）；（2）。
【解析】由加减法的几何意义可得。
10．【答案】 =-++
【解析】如图所示，连AG延长交BC于E，=+=+=+·(+)=+(-)+(-)=-++.
11．【答案】－1
【解析】 ，
由A、B、C、D四点共面的充要条件，知(―2x)+(―3y)+(―4z)=1，即2x+3y4z=―1。
12．【解析】设E为BC的中点，
。
13.
【解析】
∴
14．【解析】由题意知，
∵F是AB的中点，∴，
∴四边形AFCD是平行四边形，∴。
∵E，E1分别是AD，AA1的中点，
∴。
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面。
∵EE1不在平面FCC1内，∴EE1∥平面FCC1。
15. 【解析】
（1）连接PE、PF、PG、PH，分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、M、Q、R．
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心．
∴M、N、P、R为所在边的中点，顺次连接MNPR所得四边形为平行四边形．且有
，，，．
∵四边形MNQR为平行四边形，则
．
∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）知．
∴MQ∥EC，从而EG∥面AC．
又，
∴MN∥EF，∴EF∥面AC．
又∵EG∩EF=E，∴平面EFGH∥平面ABCD．
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法．
2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律．
3．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．
【要点梳理】
要点一、空间向量的相关概念
1.空间向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
（要注意印刷体用a，而手写体为，要区分开）
要点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或
3．空间向量的有关概念：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.
相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：
①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
要点二、空间向量的加减法
1．加减法定义
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．
2．运算律
交换律：
结合律：
要点诠释：
空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
要点三、空间向量的数乘运算
定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当＞0时，a与a方向相同；
当＞0时，a与a方向相反；
当=0时，a=0．
a的长度是a的长度的||倍．如右图所示．
2．运算律．
分配律：(a+b)=a+b；
结合律：(μa)= (μ)a．
要点诠释：
（1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．
（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+a，－a无意义．
要点四、共线定理
1．共线向量的定义．
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．
注意： 0与任意向量是共线向量．
2．共线向量定理．
空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．
要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
3. 共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
要点五、共面定理
1．共面向量的定义．
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．
2．共面向量定理．
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对（），使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，
上式叫做平面的向量表达式．
3.共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【典型例题】
类型一：空间向量的线性运算
例1.（2018春 南昌期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项。
【解析】
∵，，，
∴，
故选：A。
【总结升华】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题。
举一反三：
【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
【答案】A 显然。
【变式2】（2018春 遂宁校级期末）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接ON，AN，
则
，
所以。
故选C。
例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）．
①；②；
③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．
【解析】 ①；
②；
③；
④．
因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A．
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化。表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面。
举一反三：
【变式1】如图，已知长方体，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）。
【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简。
（1）；
（2）。
【变式2】 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1） ；
（2） ；
【答案】 (1)
(2)
【变式3】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.
【思路点拨】 先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2：1,两次使用向量的运算性质,把相关向量用表示即可.
【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心
∴，D为BC的中点
∴
【总结升华】
(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；
(2)此类例题常用到结论：若OD是ΔOBC的中线，则有
举一反三：
【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：。
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴，，，
∴
又由于，，
∴
∴。
【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：。
【答案】 ①
②
①+②得。
∴。
例4、已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：
（1）；
（2）。
【思路点拨】根据向量运算法则，用向量、、表示和，然后利用向量相等来确定x、y、z的值。
【解析】（1）∵，
又∵，
∴x=1，y=－1，z=1。
（2）∵
，
又∵，
∴，，。
【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示。
举一反三：
【变式】已知是平行六面体。
（1）化简，并在图中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，设，试求、、的值。
【答案】
（1）如图所示
取的中点为E，则
取F为的一个三等分点，则
又，，
∴。
（表示法不唯一）
（2）
∴，，。
类型二：共线向量定理的应用
例5． 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心）
【思路点拨】 如图．在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点，要证明EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
【解析】 ∵E、G分别为AB、AC的中点，∴，同理，
∴．
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点．连接OP、OQ．
只要能证明向量，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点．事实上，，，而O为GH的中点，∴，，．
∴，．
∴．
∴．
∴PQ经过O点，且O为PQ的中点．
即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证．
【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
举一反三：
【变式1】设、是平面上不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值。
【答案】
由共线的向量定理列出关系式。
∵，。
又∵A、B、D三点共线，
由共线向量定理，得，∴。
【变式2】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。
求证：平面EFG∥平面AB1C。
【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行。
证明：设，，， 则，
∴， ∴，∴EG∥AC
又∵，
∴，∴，EF∥B1C。
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，
∴平面EFG∥平面AB1C。
类型三：共面向量及应用
例6．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
举一反三：
【变式】已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【答案】由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
例7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，
求证：B1C∥平面ODC.
【解析】
【总结升华】
（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．
（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
举一反三：
【变式1】
已知斜三棱柱，设 ， ， .
在面对角线和棱上分别取点和 ， ,
（）.求证： 与向量 ， 共面.
【答案】，∴
∴ 与向量 ， 共面.
【变式2】 如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．
求证：MN∥平面CDE．
【答案】
证明：如题图，因为M在BD上，且，所以．
同理．
所以
．
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面．
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
2.①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2018秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，则向量与、的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点
A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
5.（2018秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2018 四川校级模拟） 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过ΔABC的（ ）
A. 外心 B.内心 C. 重心 D.垂心
7．已知空间向量A，B，且，，，则一定共线的三点是（ ）．
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
二、填空题
8.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。
9.已知平行六面体，化简下列表达式：
（1） ；
（2） 。
10．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点,G是△ABC的重心，则用基向量、、表示向量的表达式为 .
11．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则2x+3y+4z=________．
三、解答题
12．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，△BCD的重心为G，
化简。
13． 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
14．如右图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
证明：直线EE1∥平面FCC1．
15. 如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PD．点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．求证：
（1）E、F、G、H四点共面；
（2）平面EFGH∥平面ABCD．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】①②③正确，④不正确。
2．【答案】C
【解析】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；
②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；
③中a、b所在直线可能重合；
④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．
3. 【答案】C
【解析】：连接AF，，故选：C。
4. 【答案】D
【解析】由
可得
即
所以，即点M与点A、B、C一定共面。
5. 【答案】A
【解析】
根据题意，得：
，
又∵，
∴，
故选：A。
6．【答案】C
【解析】
，设它们等于t,
而
表示与共线的向量
而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心。故选C。
7．【答案】A
【解析】∵，∴A、B、D三点共线，故选A。
8. 【答案】存在实数对（），使．
【解析】由共面定理可得。
9. 【答案】（1）；（2）。
【解析】由加减法的几何意义可得。
10．【答案】 =-++
【解析】如图所示，连AG延长交BC于E，=+=+=+·(+)=+(-)+(-)=-++.
11．【答案】－1
【解析】 ，
由A、B、C、D四点共面的充要条件，知(―2x)+(―3y)+(―4z)=1，即2x+3y4z=―1。
12．【解析】设E为BC的中点，
。
13.
【解析】
∴
14．【解析】由题意知，
∵F是AB的中点，∴，
∴四边形AFCD是平行四边形，∴。
∵E，E1分别是AD，AA1的中点，
∴。
又与不共线，
根据向量共面的充要条件可知，，共面。
∵EE1不在平面FCC1内，∴EE1∥平面FCC1。
15. 【解析】
（1）连接PE、PF、PG、PH，分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、M、Q、R．
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心．
∴M、N、P、R为所在边的中点，顺次连接MNPR所得四边形为平行四边形．且有
，，，．
∵四边形MNQR为平行四边形，则
．
∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）知．
∴MQ∥EC，从而EG∥面AC．
又，
∴MN∥EF，∴EF∥面AC．
又∵EG∩EF=E，∴平面EFGH∥平面ABCD．