人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：32【基础】空间向量的数量积
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：32【基础】空间向量的数量积 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 679.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-20 08:39:39 | ||
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文档简介
空间向量的数量积
【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。
2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。
3. 能用向量的数量积判断向量的垂直．
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
2.空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1. 规定：
2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥?·＝0
要点诠释：
⊥?·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）；
（（2）=＝0--8+18=
【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。
举一反三：
【变式1】已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
【答案】（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。
【变式2】(2018秋 烟台期末)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，，故排除A。
故B满足条件。
，故排除C。
，故排除D。
故选B。
例2、 如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。
【解析】 在空间四边形ABCD中，
（1）∵，，∴．
（2）∵，，，
∴．
（3）∵，，又，∴．
∴．
（4）∵，，，
∴，∴．
【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a·b=|a| |b|cos〈a，b〉即可顺利计算．
举一反三：
【变式1】已知在长方体ABCD—AB1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： （1）；（2）．
【答案】 (1)
(2)
【变式2】（2018 南充三模）已知正方体ABCD—A1B1C1D1，下列命题：
①，
②
③向量与向量的夹角为60°
④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为，
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，如图
，，，，，
所以对于①，故①正确；
对于②，，故②正确；
对于③，因为，向量与向量的夹角为120°；故③错误；
④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为，但是，故④错误。
故选：A。
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3． 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【思路点拨】 利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【解析】 因为,
所以
=
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以=0,
=-a2.
所以=-a2.
又
所以〈〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．
【总结升华】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
举一反三：
【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。
【答案】
∵，∴
∴。
∴OA与BC的夹角的余弦值为。
【变式2】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别是和的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C；
设，，，
则，，
∵，，
∴，，
∴==
∴直线AM与CN所成的角的余弦值是.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、已知，，，求的值。
【解析】
。
∴。
【总结升华】善于利用求模公式是解此类题的关键。
举一反三：
【变式】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】A
∴。
例5、在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
【思路点拨】求线段CD的长度，可转化为求向量的模
【解析】不难发现ABCD为一空间四边形，由空间向量的加法运算法则，有，于是CD之长可求。
如图，依题有、、两两垂直，
∴，，。
∴
。
∴（cm）。
【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
举一反三：
【变式1】已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求线段PC的长，
【答案】∵，
∴。
∴|PC|=12。
【变式2】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（ ）
A．85 B． C． D．50
【答案】B
=50+2(10+7.5)=85。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6．已知空间四边形中，，，求证：．
【思路点拨】判断线线垂直问题，可以转化为求向量的数量积为零。
【解析】
证明：（法一）
．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，，
∴，
∴，∴，即．
【总结升华】证明直线垂直可转化为证明向量间的垂直，即向量的数量积等于零，且大大简化运算过程
举一反三：
【变式1】已知在四棱锥中，底面为正方形,平面，且，点分别是的中点.
求证： ；
【答案】证明：
设,
【变式2】 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
【答案】如图，设，，。
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°。
（1）证明：，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD。
∴MN为AB与CD的公垂线。
（2）由（1）可知，
∴
。
∴,∴MN的长度为。
（3）设向量与的夹角为，
∵，，
∴
。
又∵，
∴。
∴。
∴向量与的夹角余弦值为。
从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为。
【巩固练习】
一、选择题：
1．（2018秋 文登市期末）已知长方体ABCD—A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2018年海淀区高三年级第二学期期中练习）已知向量a与向量b的夹角为60°， ，则 =（ ）
A．3 B． C． D．1
4．（2018秋 城区校级月考） 若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知空间中非零向量a、b，且|a|=2，|b|=3，〈a，b〉=60°，则|2a－3b|的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
6．已知a、b是异面直线，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a=2e1+3e2，
b=ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）．
A．－6 B．6 C．3 D．－3
7．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）．
A．6 B． C．3 D．
二、填空题：
8．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________.
9．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________．
10．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。
11．已知，，，，，，则 ________。
三、解答题
12.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
（1）；（2）；（3）；（4）。
13．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
14．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，求a、b所成的角．
15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
【答案与解析】
1.【答案】 B
【解析】对于A，如果长方体为正方体，则线段AD1⊥B1C，此时成立；
对于D，如果长方体的底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，由三垂线定理可得AC⊥BD1，所以此时。
2.【答案】 B
【解析】 当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.
3.【答案】 D
【解析】 |a-b|2＝(a-b)2＝a2-2a·b＋b2
＝|a|2-2|a||b|cos＋|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a-b|2＝1，
∴|a-b|＝1
4．【答案】D
【解析】
若直线与平面所成的角为，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为，则或， ，
，故选：D。
5．【答案】C
【解析】 ∵|2a―3b|2=4a2+9b2―12a·b=4×4+9×9－12|a|·|b|cos60°=97－12×2×3×=61，∴|2a－2b|=，故选C。
6．【答案】B
【解析】 由a⊥b，得a·b=0，∴(2e1+3e2)·(ke1－4e2)=0，∴2k－12=0，∴k=6。故选B。
7．【答案】B
【解析】 ∵，
∴
∴，即AC1的长为
8. 【答案】
【解析】|2e－e2|2＝4－4e1e2＋＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，
∴|2e1－e2|＝.
9．【答案】
【解析】 将化为(a－b)2=7，求得，再由求得。
10．【答案】
【解析】在上的射影的长度为。
11．【答案】
【解析】由得，，，
，
，。
12. 【解析】
（1）在空间四边形ABCD中，且，
∴。
（2），，，
∴。
（3），，
又，，
∴。
（4）∵，，，
∴。
∴。
13.【解析】 (a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)(7a－2b)
＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°.
14．【解析】如图所示，在封闭四边形ABDC中，AC⊥CD，BD⊥CD，
∵，
∴
。
又，，
∴。
又，∴。
∴异面直线a、b所成的角是。
15.解：（1）∵是PC的中点，∴
（2）
.
【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。
2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。
3. 能用向量的数量积判断向量的垂直．
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
2.空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1. 规定：
2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥?·＝0
要点诠释：
⊥?·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）；
（（2）=＝0--8+18=
【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。
举一反三：
【变式1】已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
【答案】（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。
【变式2】(2018秋 烟台期末)如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，，故排除A。
故B满足条件。
，故排除C。
，故排除D。
故选B。
例2、 如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。
【解析】 在空间四边形ABCD中，
（1）∵，，∴．
（2）∵，，，
∴．
（3）∵，，又，∴．
∴．
（4）∵，，，
∴，∴．
【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a·b=|a| |b|cos〈a，b〉即可顺利计算．
举一反三：
【变式1】已知在长方体ABCD—AB1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： （1）；（2）．
【答案】 (1)
(2)
【变式2】（2018 南充三模）已知正方体ABCD—A1B1C1D1，下列命题：
①，
②
③向量与向量的夹角为60°
④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为，
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，如图
，，，，，
所以对于①，故①正确；
对于②，，故②正确；
对于③，因为，向量与向量的夹角为120°；故③错误；
④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为，但是，故④错误。
故选：A。
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3． 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【思路点拨】 利用，求出向量与的夹角〈,〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【解析】 因为,
所以
=
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
所以=0,
=-a2.
所以=-a2.
又
所以〈〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．
【总结升华】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
举一反三：
【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。
【答案】
∵，∴
∴。
∴OA与BC的夹角的余弦值为。
【变式2】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别是和的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C；
设，，，
则，，
∵，，
∴，，
∴==
∴直线AM与CN所成的角的余弦值是.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、已知，，，求的值。
【解析】
。
∴。
【总结升华】善于利用求模公式是解此类题的关键。
举一反三：
【变式】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】A
∴。
例5、在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
【思路点拨】求线段CD的长度，可转化为求向量的模
【解析】不难发现ABCD为一空间四边形，由空间向量的加法运算法则，有，于是CD之长可求。
如图，依题有、、两两垂直，
∴，，。
∴
。
∴（cm）。
【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
举一反三：
【变式1】已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求线段PC的长，
【答案】∵，
∴。
∴|PC|=12。
【变式2】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（ ）
A．85 B． C． D．50
【答案】B
=50+2(10+7.5)=85。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6．已知空间四边形中，，，求证：．
【思路点拨】判断线线垂直问题，可以转化为求向量的数量积为零。
【解析】
证明：（法一）
．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，，
∴，
∴，∴，即．
【总结升华】证明直线垂直可转化为证明向量间的垂直，即向量的数量积等于零，且大大简化运算过程
举一反三：
【变式1】已知在四棱锥中，底面为正方形,平面，且，点分别是的中点.
求证： ；
【答案】证明：
设,
【变式2】 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
【答案】如图，设，，。
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°。
（1）证明：，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD。
∴MN为AB与CD的公垂线。
（2）由（1）可知，
∴
。
∴,∴MN的长度为。
（3）设向量与的夹角为，
∵，，
∴
。
又∵，
∴。
∴。
∴向量与的夹角余弦值为。
从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为。
【巩固练习】
一、选择题：
1．（2018秋 文登市期末）已知长方体ABCD—A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2018年海淀区高三年级第二学期期中练习）已知向量a与向量b的夹角为60°， ，则 =（ ）
A．3 B． C． D．1
4．（2018秋 城区校级月考） 若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知空间中非零向量a、b，且|a|=2，|b|=3，〈a，b〉=60°，则|2a－3b|的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
6．已知a、b是异面直线，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a=2e1+3e2，
b=ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）．
A．－6 B．6 C．3 D．－3
7．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）．
A．6 B． C．3 D．
二、填空题：
8．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________.
9．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________．
10．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。
11．已知，，，，，，则 ________。
三、解答题
12.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
（1）；（2）；（3）；（4）。
13．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
14．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，求a、b所成的角．
15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．
（1）试用表示出向量；
（2）求的长．
【答案与解析】
1.【答案】 B
【解析】对于A，如果长方体为正方体，则线段AD1⊥B1C，此时成立；
对于D，如果长方体的底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，由三垂线定理可得AC⊥BD1，所以此时。
2.【答案】 B
【解析】 当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.
3.【答案】 D
【解析】 |a-b|2＝(a-b)2＝a2-2a·b＋b2
＝|a|2-2|a||b|cos
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a-b|2＝1，
∴|a-b|＝1
4．【答案】D
【解析】
若直线与平面所成的角为，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为，则或， ，
，故选：D。
5．【答案】C
【解析】 ∵|2a―3b|2=4a2+9b2―12a·b=4×4+9×9－12|a|·|b|cos60°=97－12×2×3×=61，∴|2a－2b|=，故选C。
6．【答案】B
【解析】 由a⊥b，得a·b=0，∴(2e1+3e2)·(ke1－4e2)=0，∴2k－12=0，∴k=6。故选B。
7．【答案】B
【解析】 ∵，
∴
∴，即AC1的长为
8. 【答案】
【解析】|2e－e2|2＝4－4e1e2＋＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，
∴|2e1－e2|＝.
9．【答案】
【解析】 将化为(a－b)2=7，求得，再由求得。
10．【答案】
【解析】在上的射影的长度为。
11．【答案】
【解析】由得，，，
，
，。
12. 【解析】
（1）在空间四边形ABCD中，且，
∴。
（2），，，
∴。
（3），，
又，，
∴。
（4）∵，，，
∴。
∴。
13.【解析】 (a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)(7a－2b)
＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°.
14．【解析】如图所示，在封闭四边形ABDC中，AC⊥CD，BD⊥CD，
∵，
∴
。
又，，
∴。
又，∴。
∴异面直线a、b所成的角是。
15.解：（1）∵是PC的中点，∴
（2）
.