人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：33【提高】空间向量的数量积
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：33【提高】空间向量的数量积 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 499.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-20 08:41:52 | ||
图片预览
文档简介
空间向量的数量积
【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。
2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。
3. 能用向量的数量积判断向量的垂直．
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
（3）空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1. 规定：
2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥?·＝0
要点诠释：
⊥?·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）=
＝1+16+9+0-3-12=11；
（2）=＝0--8+18=
【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。
举一反三：
【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .
【答案】-62，373
（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+
9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62. 同理可得（2a+b-3c）2=373
【变式2】已知：, ，试计算。
【答案】由,
可得
∵，
∴。
例2、 如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G
分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。
【解析】 在空间四边形ABCD中，
（1）∵，，∴．
（2）∵，，，
∴．
（3）∵，，又，∴．
∴．
（4）∵，，，
∴，∴．
【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a·b=|a| |b|cos〈a，b〉即可顺利计算．
举一反三：
【变式1】已知在长方体ABCD—AB1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： （1）；（2）．
【答案】 (1)
(2)
【变式2】（2018秋 太原期末）如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（ ）
A.4 B.-4 C.-2 D.2
【答案】C
【解析】,
=
=
=-2.
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3. 如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
【思路点拨】 要求异面直线SM与BN所成角的余弦值可以转化为求与所成的角的余弦值，因此就要求以及，然后再用向量夹角公式求解．
【解析】 设，，，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°，
∴．
∵
．
∴．
所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为．
【总结升华】本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。
举一反三：
【变式1】（2018秋 金家庄区校级期末）空间四边形OABC中，OB=OC，，则（ ）
A. B. C. D.0
【答案】D
【解析】
由于OB=OC
则
=
=0
故选D。
【变式2】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.
【解析】设正方体棱长为m,=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0.
又∵=+=+=a+b,
=+=+=c+a,
∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2.
又∵||=m,||=m,
∴cos<,>===.
即A1C1与DE所成角的余弦值为.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N
分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；
【思路点拨】求线段MN的长度，可转化为求向量的模
【解析】（1）证明 设=p, =q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2
=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]
=×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a.
【总结升华】善于利用求模公式是解此类题的关键。
举一反三：
【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】A
∴。
【变式2】设，，，且，，，则向量的模是________。
【答案】
∵
，
∴。
例5. 如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．求B、D间的距离．
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得
．
∴∠ACB=60°．即．
同理可求得，
又AD⊥BC，∴．
∴
=29+2×2×3cos120°+2×3×4cos120°+2×2×4cos90°=11．
∴．故B、D间的距离为．
【总结升华】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
由本例可知，运用空间向量方法来分析解决问题的关键在于选择恰当的向量来表示有关向量，如本例由．
举一反三：
【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（ ）
A．85 B． C． D．50
【答案】B
=50+2(10+7.5)=85。
【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
【答案】如图，依题有、、两两垂直，
∴，，。
∴
。
∴。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6. 已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是
MN的中点.
求证：OG⊥BC.
【思路点拨】 要证OG⊥BC，只须证明即可.
而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.
【解析】 连ON由线段中点公式得：
又,
所以)
=().
因为.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
【总结升华】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零。
举一反三：
【变式1】已知在四棱锥中，底面为正方形,平面，且，点分别是的中点.
求证： ；
【答案】设,
【变式2】 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
【答案】如图，设，，。
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°。
（1）证明：，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD。
∴MN为AB与CD的公垂线。
（2）由（1）可知，
∴
。
∴,∴MN的长度为。
（3）设向量与的夹角为，
∵，，
∴
。
又∵，
∴。
∴。
∴向量与的夹角余弦值为。
从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为。
【巩固练习】
一、选择题：
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2018 奉贤区二模）已知长方体ABCD-A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A. B. C. D.
3．（2018秋 兴庆区校级期末）已知向量分别是空间三条不同直线的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B. ，
C. 平行于同一个平面
D. 共点
4．已知非零向量、不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以
5．已知空间中非零向量a、b，且|a|=2，|b|=3，〈a，b〉=60°，则|2a－3b|的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
6．已知a、b是异面直线，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a=2e1+3e2，
b=ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）．
A．－6 B．6 C．3 D．－3
7．（2018春 广安校级月考）已知直线l的方向向量，点A（1，2，―1）在l上，则点P（2，―1，2）到l的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题：
8．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________．
9．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。
10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________．
11．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．
三、解答题
12.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
（1）；（2）；（3）；（4）。
13．如右图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．
求证：AO⊥CD1．
14．已知在平行六面体中，AB=3，AD=2，AA＇=4，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，求BD＇的长．
15.在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，
⑴ 求证：；⑵ 求所成角的余弦；⑶ 求的长
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】①②③正确，④不正确。
2.【答案】 D
【解析】
选项A，当四边形ADD1A为正方形时，可得,而，可得，此时有；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得,可得，故有，此时有；
选项C，由长方体的性质可得，可得，此时必有；
选项D，由长方体的性质可得,可得，为直角三角形，为直角，故BC与BD1不可能垂直，即.故选D。
3.【答案】 C
【解析】
A.由，，可得共面，但是不一定共线，因此不正确。
B. 由，，可得，，不共线，因此不正确。
C. 平行于同一个平面，因此正确。
D. 共点，可知不一定共面，因此不一定共面，故推不出：，因此不正确。
4．【答案】A
【解析】∵，
∴。
5．【答案】C
【解析】 ∵|2a―3b|2=4a2+9b2―12a·b=4×4+9×9－12|a|·|b|cos60°=97－12×2×3×=61，∴|2a－2b|=，故选C。
6．【答案】B
【解析】
由a⊥b，得a·b=0，∴(2e1+3e2)·(ke1－4e2)=0，∴2k－12=0，∴k=6。故选B。
7．【答案】C
【解析】 连接AP,做P垂直直线l交于B，则，所以.
8．【答案】
【解析】 将化为(a－b)2=7，求得，再由求得。
9．【答案】
【解析】在上的射影的长度为。
10. 【答案】4
【解析】：由已知，可得a·b＝0，a·c＝b·c.由a·(a＋b＋c)＝0，可得a·c＝b·c＝－1，将(a＋b＋c)2＝0展开，求得|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
11. 【答案】1－
【解析】a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴|a＋b|＝，|c|＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ＝1－cos θ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.
12.【解析】
（1）在空间四边形ABCD中，且，
∴。
（2），，，
∴。
（3），，
又，，
∴。
（4）∵，，，
∴。
∴。
13．【解析】∵
∴
，
∴，即AO⊥CD1。
14．【解析】∵，
∴
=4+9+16+2×2×4cos60°－2×3×4cos60°=25，
∴。
15. 【解析】设，则，
⑴
∵，
∴ ∴
（2）
， ，
∴
∴，， ,
（3）∵
∴ ∴的长为
【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。
2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。
3. 能用向量的数量积判断向量的垂直．
【要点梳理】
要点一、空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，
即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
（3）空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
②；
③或；
④；
⑤
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）（a）·b=（a·b）；
（2）a·b=b·a（交换律）；
（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，
若不能得出，即向量不能约分．
（2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
（3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，
有，向量的数量积不满足结合律．
要点二、 空间两个向量的夹角．
定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。
要点诠释：
1. 规定：
2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；
如果，那么与垂直，记作。
利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
要点三、空间向量的长度。
定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：
。
将其推广：；
。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。
要点四、空间向量的垂直。
若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．
根据数量积的定义：⊥?·＝0
要点诠释：
⊥?·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
【典型例题】
类型一：空间向量的数量积
例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）．
【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。
【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）=
＝1+16+9+0-3-12=11；
（2）=＝0--8+18=
【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。
举一反三：
【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= .
【答案】-62，373
（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+
9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62. 同理可得（2a+b-3c）2=373
【变式2】已知：, ，试计算。
【答案】由,
可得
∵，
∴。
例2、 如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G
分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。
【解析】 在空间四边形ABCD中，
（1）∵，，∴．
（2）∵，，，
∴．
（3）∵，，又，∴．
∴．
（4）∵，，，
∴，∴．
【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a·b=|a| |b|cos〈a，b〉即可顺利计算．
举一反三：
【变式1】已知在长方体ABCD—AB1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： （1）；（2）．
【答案】 (1)
(2)
【变式2】（2018秋 太原期末）如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（ ）
A.4 B.-4 C.-2 D.2
【答案】C
【解析】,
=
=
=-2.
类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．
例3. 如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．
【思路点拨】 要求异面直线SM与BN所成角的余弦值可以转化为求与所成的角的余弦值，因此就要求以及，然后再用向量夹角公式求解．
【解析】 设，，，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°，
∴．
∵
．
∴．
所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为．
【总结升华】本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。
举一反三：
【变式1】（2018秋 金家庄区校级期末）空间四边形OABC中，OB=OC，，则（ ）
A. B. C. D.0
【答案】D
【解析】
由于OB=OC
则
=
=0
故选D。
【变式2】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.
【解析】设正方体棱长为m,=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0.
又∵=+=+=a+b,
=+=+=c+a,
∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2.
又∵||=m,||=m,
∴cos<,>===.
即A1C1与DE所成角的余弦值为.
类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。
例4、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N
分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；
【思路点拨】求线段MN的长度，可转化为求向量的模
【解析】（1）证明 设=p, =q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2
=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]
=×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a.
【总结升华】善于利用求模公式是解此类题的关键。
举一反三：
【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】A
∴。
【变式2】设，，，且，，，则向量的模是________。
【答案】
∵
，
∴。
例5. 如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．求B、D间的距离．
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得
．
∴∠ACB=60°．即．
同理可求得，
又AD⊥BC，∴．
∴
=29+2×2×3cos120°+2×3×4cos120°+2×2×4cos90°=11．
∴．故B、D间的距离为．
【总结升华】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
由本例可知，运用空间向量方法来分析解决问题的关键在于选择恰当的向量来表示有关向量，如本例由．
举一反三：
【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（ ）
A．85 B． C． D．50
【答案】B
=50+2(10+7.5)=85。
【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。
【答案】如图，依题有、、两两垂直，
∴，，。
∴
。
∴。
类型四：利用空间向量的数量积证垂直．
例6. 已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是
MN的中点.
求证：OG⊥BC.
【思路点拨】 要证OG⊥BC，只须证明即可.
而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.
【解析】 连ON由线段中点公式得：
又,
所以)
=().
因为.
且，∠AOB=∠AOC.
所以=0,即OG⊥BC.
【总结升华】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零。
举一反三：
【变式1】已知在四棱锥中，底面为正方形,平面，且，点分别是的中点.
求证： ；
【答案】设,
【变式2】 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点。
（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。
【答案】如图，设，，。
由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°。
（1）证明：，
∴
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD。
∴MN为AB与CD的公垂线。
（2）由（1）可知，
∴
。
∴,∴MN的长度为。
（3）设向量与的夹角为，
∵，，
∴
。
又∵，
∴。
∴。
∴向量与的夹角余弦值为。
从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为。
【巩固练习】
一、选择题：
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2018 奉贤区二模）已知长方体ABCD-A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A. B. C. D.
3．（2018秋 兴庆区校级期末）已知向量分别是空间三条不同直线的方向向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．，
B. ，
C. 平行于同一个平面
D. 共点
4．已知非零向量、不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以
5．已知空间中非零向量a、b，且|a|=2，|b|=3，〈a，b〉=60°，则|2a－3b|的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
6．已知a、b是异面直线，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a=2e1+3e2，
b=ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）．
A．－6 B．6 C．3 D．－3
7．（2018春 广安校级月考）已知直线l的方向向量，点A（1，2，―1）在l上，则点P（2，―1，2）到l的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题：
8．已知a，b是空间两个向量，若|a|=2，|b|=2，，则cos〈a，b〉=________．
9．已知线段AB的长度为，与直线的正方向的夹角为120°，则在上的射影的长度为______。
10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________．
11．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．
三、解答题
12.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：
（1）；（2）；（3）；（4）。
13．如右图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．
求证：AO⊥CD1．
14．已知在平行六面体中，AB=3，AD=2，AA＇=4，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，求BD＇的长．
15.在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，
⑴ 求证：；⑵ 求所成角的余弦；⑶ 求的长
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】①②③正确，④不正确。
2.【答案】 D
【解析】
选项A，当四边形ADD1A为正方形时，可得,而，可得，此时有；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得,可得，故有，此时有；
选项C，由长方体的性质可得，可得，此时必有；
选项D，由长方体的性质可得,可得，为直角三角形，为直角，故BC与BD1不可能垂直，即.故选D。
3.【答案】 C
【解析】
A.由，，可得共面，但是不一定共线，因此不正确。
B. 由，，可得，，不共线，因此不正确。
C. 平行于同一个平面，因此正确。
D. 共点，可知不一定共面，因此不一定共面，故推不出：，因此不正确。
4．【答案】A
【解析】∵，
∴。
5．【答案】C
【解析】 ∵|2a―3b|2=4a2+9b2―12a·b=4×4+9×9－12|a|·|b|cos60°=97－12×2×3×=61，∴|2a－2b|=，故选C。
6．【答案】B
【解析】
由a⊥b，得a·b=0，∴(2e1+3e2)·(ke1－4e2)=0，∴2k－12=0，∴k=6。故选B。
7．【答案】C
【解析】 连接AP,做P垂直直线l交于B，则，所以.
8．【答案】
【解析】 将化为(a－b)2=7，求得，再由求得。
9．【答案】
【解析】在上的射影的长度为。
10. 【答案】4
【解析】：由已知，可得a·b＝0，a·c＝b·c.由a·(a＋b＋c)＝0，可得a·c＝b·c＝－1，将(a＋b＋c)2＝0展开，求得|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
11. 【答案】1－
【解析】a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴|a＋b|＝，|c|＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ＝1－cos θ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.
12.【解析】
（1）在空间四边形ABCD中，且，
∴。
（2），，，
∴。
（3），，
又，，
∴。
（4）∵，，，
∴。
∴。
13．【解析】∵
∴
，
∴，即AO⊥CD1。
14．【解析】∵，
∴
=4+9+16+2×2×4cos60°－2×3×4cos60°=25，
∴。
15. 【解析】设，则，
⑴
∵，
∴ ∴
（2）
， ，
∴
∴，， ,
（3）∵
∴ ∴的长为