人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：34【基础】空间向量的直角坐标运算

空间向量的直角坐标运算
【学习目标】
1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。
3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.
【要点梳理】
要点一、空间向量的基本定理
1. 空间向量的基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc．

2．基底、基向量概念：
由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点二、空间向量的坐标表示
（1）单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
（3）空间直角坐标系中的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a，其坐标向量为i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a1，a2，a3）．
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．

要点诠释：
（1）空间任一点P的坐标的确定．
过P作面xOy的垂线，垂足为P＇，在面xOy中，过P＇分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则x=|P＇C|，y=|AP＇|，z=|PP＇|．如图．
（2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作。
要点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或
要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）向量加减法、数乘的坐标运算
若，，则
①；
②；
③；
（3）向量数量积的坐标运算
若，，则
；
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，，则
①，．
②．
要点诠释：
（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是
(2)
(3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（5）空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【典型例题】
类型一、 空间向量的坐标表示
例1．已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A、B、C、D、A1、B1、C1、D1各点的坐标，并写出、、、、、、及的坐标表示。
【思路点拨】一个向量的坐标等于表示这个向量的终点坐标减去起点坐标。
【解析】A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1）。
，，，，
，，，。
【总结升华】要求空间某一点M的坐标，只要求出以原点O为起点、M为终点的向量的坐标即可．
设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向模相同的单位坐标向量．
举一反三：
【变式1】已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。
【答案】∵C（0，2，0），D（0，0，0）且F为DC的中点，
∴F（0，1，0）。
又∵B（2，2，0），B1（2，2，2），且E为BB1的中点，
∴E（2，2，1）。
【变式2】（2018春 三峡区校级期中）如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，
点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，BO=1，
所以BD=1，∠DBC=60°，D在平面yOz上坐标
所以D的坐标为：，
∴，
故选：B。
类型二：空间向量的直角坐标运算
例2． 已知，，，，
，求， ， .
【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
【解析】
【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
举一反三：
【变式】已知=（1，0，1），=（1，―2，2），=（―2，3，―1），那么向量等于（ ）
A．（0，1，2） B．（4，―5，5） C．（―4，8，―3） D．（2，―5，4）
【答案】C
例3．已知，
（1）求,；
（2）求；
（3）若，求.
【解析】（1），
（2）
（3），
∵，∴
【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.
举一反三：
【变式1】已知向量=（4，－2，―4），=（6，―3，2），求：
（1）·；
（2）||，||；
（3）（2+3）·（－2）。
【答案】
（1）·=4×6+(―2)×(―3)+(―4)×2=22；
（2）；
；
（3）。
【变式2】　如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．
【答案】不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设
＝i，＝j，＝k．
以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则点B、
E1、D、F1的坐标分别为
　　B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)，F1(0,,1)
∴＝(1,,1)－(1,1,0)＝(0,－,1)，
　＝(0,,1)－(0,0,0)＝(0,,1)．
∴，，·＝．
∴cos＜,＞＝．
例4．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。设
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若向量与互相垂直，求k的值。
【思路点拨】（Ⅰ）利用数量积定义求cos，再求；
（Ⅱ）先求出与坐标表示，利用数量积为0求k
【解析】
（Ⅰ），

（Ⅱ）， ，

【总结升华】若，，那么： 。
举一反三：
【变式1】已知向量，且与互相垂直，则k值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
，
。
∵两向量垂直，∴，∴。
【变式2】 已知， ，求一个向量使 且 .
设,由，,令.
【变式3】已知空间三点A（0，2，3），B（―2，1，6）C（1，―1，5）。
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。
【答案】
（1）由题中条件，可知，，
∴。
∴。
∴以，为边的平行四边形面积
。
（2）设，由题意得，
解得或。
∴=（1，1，1）或=（―1，―1，―1）。
类型三、 空间向量的共线与共面
例5．已知，求证：A、B、C三点共线.
【解析】
法一：∵，
则，∴，又有公共点A
∴A、B、C三点共线.
法二：(x,y∈R)，则：
(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)
∴且x+y=1,
∴A、B、C三点共线.
【总结升华】 在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程求解.
举一反三：
【变式】若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则
A.x=1，y=1 B.x=，y=－ C.x=，y=－ D.x=－，y=
【答案】∵a=（2x，1，3）与b=（1，－2y，9）共线，故有==.
∴x=，y=－.应选C.
例6．已知，证明：向量共面。
【思路点拨】要证三向量共面，即证存在x,y∈R，使得.
【解析】假设存在x,y∈R，使得.
则
又
得
∴存在x=2, y=-1, 使得.
∴向量共面。
【总结升华】
①在向量坐标运算中，要注意方程思想的应用，若本题方程组无解，则表示不共面.
②在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。
举一反三
【变式1】已知，，，若三向量共面，则实数λ等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
由三向量共面，
设，则
即，解得
【变式2】证明：四点A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17) 在同一平面内.
【答案】
∵，
设，
则：(9,14,16)=(3x+y, 4x+2y, 5x+2y)
,
∴,
∴A、B、C、D四点共面.
【变式2】（2018秋 隆化县校级期中）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．或
【解析】由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底。
故选C。
【巩固练习】
一、选择题
1．在空间直角坐标系O—xyz中，下列说法正确的是（ ）
A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同 D．向量与向量的坐标相同
2．（2018秋 维坊期末）设，是两个空间向量，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2018秋 武威校级期末）向量，，则与（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对
4．已知，，是空间直角坐标系O—xyz的坐标向量，并且，则B点的坐标为（ ）
A．（―1，1，―1） B． C．（1，―1，―1） D．不确定
5．与点P（1，3，5）关于原点成中心对称的点P＇的坐标是（ ）
A．（―1，―3，―5） B．（―1，―3，5） C．（1，―3，5） D．（―1，3，5）
6．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC的面积为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2018秋 齐齐哈尔校级期中）已知A（2，―2，1），B（1，0，1），C（3，―1，4），则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是 ?。
9．已知=（2，－1，3），=（―4，2，x），且⊥，则x的值是________。
10. 已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.
11．已知：点A(1,-2,0)和向量=(-3,4,12)，若向量，且||等于的二倍. 则点B的坐标
三、解答题
12. 已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；
13．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
14. 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F.
15． 在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，
（1）求证：；
（2）求与所成的角的余弦；
（3）求的长.
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】空间向量的坐标有两种形式可以得到：
（1）将向量的起点移到原点，终点坐标就是向量的坐标；
（2）向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
2．【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，
∴。
故选C。
3.【答案】C；
【解析】∵向量，，则与平面，
故选：C。
4．【答案】D
【解析】向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，∴终点的坐标也不确定。
5．【答案】A
【解析】P（x，y，z）关于原点成中心对称的点P＇为（―x，―y，―z）。
6．【答案】D
【解析】 ∵，，
∴，，。
∴，∴。
∴。
7．【答案】B
【解析】∵，

8. 【答案】 C
【解析】 |AB|==3.?
9．【答案】
【解析】⊥·=0，即2×(―4)+(―1)×2+3x=0，∴。
10. 【答案】120°
【解析】=（－2，－1，3），=（－1，3，－2），
cos〈，〉=
==－，∴θ=〈，〉=120°.
11．【答案】(-5,6,24)或(7,-10,-24).
【解析】设点坐标列方程即可求出。
12. 【解析】
①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.
②∵|a|==5, |b|==,
∴cos〈a,b〉= ==-.∴a与b夹角的余弦值为-.
13. 【解析】
∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，∴和的夹角为－。
(2)∵ k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
14. 【解析】
取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.
（1）∵· =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F.
（2）∵·=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角.
（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED.
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F.
15. 【解析】如图以为原点建立直角坐标系，
则，，，，，，，
（1），，∴，∴．
（2）∵，
∴，
，，
∴，∴与所成的角的余弦．
（3）∵，∴．