人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：35【提高】空间向量的直角坐标运算

空间向量的直角坐标运算
【学习目标】
1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。
3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.
【要点梳理】
要点一、空间向量的基本定理
1. 空间向量的基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc．

2．基底、基向量概念：
由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
要点诠释:
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点二、空间向量的坐标表示
（1）单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
（3）空间直角坐标系中的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a，其坐标向量为i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a1，a2，a3）．
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．

要点诠释：
（1）空间任一点P的坐标的确定．
过P作面xOy的垂线，垂足为P＇，在面xOy中，过P＇分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则x=|P＇C|，y=|AP＇|，z=|PP＇|．如图．
（2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作。
要点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或
要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）向量加减法、数乘的坐标运算
若，，则
①；
②；
③；
（3）向量数量积的坐标运算
若，，则
；
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，，则
①，．
②．
要点诠释：
（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是
(2)
(3) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（5）空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【典型例题】
类型一、 空间向量的坐标表示
例1. 如下图，已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E、F分别是侧棱PA、PB的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点A、B、C、D、P、E、F的坐标．
（1）如下图甲，以O为坐标原点，分别以射线DA、DC、OP的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系；
（2）如下图乙，以O为坐标原点，分别以射线OA、OB、OP的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

【思路点拨】 要求空间某一点M的坐标，只要求出以原点O为起点、M为终点的向量的坐标即可．
【解析】（1）因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O、边长为2，所以，所以向量的坐标为（1，1，0），即点B的坐标为B（1，1，0）．
同理可得A（1，－1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0）．
又点P在z轴上，所以，
所以向量的坐标为（0，0，2），即点P的坐标为P（0，0，2）．
因为F为侧棱PB的中点，所以，
所以点F的坐标为．
同理点E的坐标为．
故所求各点的坐标分别为
A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，O），D（－1，－1，0），P（0，0，2），，；
（2）因为底面正方形ABCD的中心为O、边长为2，所以。
由于点A在x轴的正半轴上，所以，即点A的坐标为．
同理可得，，，P（0，0，2）．
因为E为侧棱PA的中点．
所以，
所以点E的坐标为．
同理点F的坐标为．
故所求各点的坐标分别为
，，，，P（0，0，2），，．
【总结升华】 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造．
举一反三：
【变式1】已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。
【答案】∵C（0，2，0），D（0，0，0）且F为DC的中点，
∴F（0，1，0）。
又∵B（2，2，0），B1（2，2，2），且E为BB1的中点，
∴E（2，2，1）。
【变式2】
如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD，四边形ABCD为正方形．以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求、的坐标表示．
【答案】，．
类型二：空间向量的直角坐标运算
例2、已知=（2，―1，―2），=（0，―1，4），求+，―，3+2，·。
【思路点拨】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
【解析】
∵=（2，―1，―2），=（0，―1，4），
∴+=（2，―1，―2）+（0，―1，4）
=（2+0，―1+（―1），―2+4）
=（2，―2，2）。
―=（2，―1，―2）―（0，―1，4）
=（2―0，―1―（―1），―2―4）
=（2，0，―6）。
3+2=3（2，―1，―2）+2（0，―1，4）
=（3×2，3×（―1），3×（―2））+（2×0，2×（―1），2×4）
=（6，―3，―6）+（0，―2，8）
=（6，―5，2）。
·=（2，―1，―2）·（0，―1，4）
=2×0+（―1）×（―1）+（―2）×4
=0+1―8=―7。
【总结升华】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。
举一反三：
【变式】已知向量=（3，5，-1），=（2，2，3），=（4，-1，-3），则下列向量的坐标是：
①= ；② ；③ ；④ _.
【答案】①(6,10,-2)；②(1,8,5)；③(16,0,-23)；④(3m+2n,5m+2n,-m+3n)
例3．已知向量=（4，－2，―4），=（6，―3，2），求：
（1）·；
（2）||，||；
（3）（2+3）·（－2）。
【答案】
（1）·=4×6+(―2)×(―3)+(―4)×2=22；
（2）；
；
（3）。
【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用.
举一反三：
【变式1】已知，
（1）求,；
（2）求；
（3）若，求.
【答案】
（1），
（2）
（3），
∵，∴
【变式2】（2018春 武汉月考）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A．（－2，+∞） B． C．（－∞，－2） D．
【答案】　A
【解析】　，解得，故选A.
例4．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。设
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若向量与互相垂直，求k的值。
【思路点拨】（Ⅰ）利用数量积定义求cos，再求；（Ⅱ）先求出与坐标表示，利用数量积为0求k
【解析】
（Ⅰ），

（Ⅱ）， ，

【总结升华】
（Ⅰ）利用数量积定义求cos，再求；
（Ⅱ）先求出与坐标表示，利用数量积为0求k
举一反三：
【变式1】 已知， ，求一个向量使 且 .
设,由，,令.
【变式2】已知，
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数k的值；
（3）若取得最小值，求实数k的值。
【答案】，
(1)，，
即
由，解得；
(2)，
，
即，解得；
(3)
当时，取得最小值。
【变式3】
在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，
（1）求证：；
（2）求与所成的角的余弦；
（3）求的长.
【答案】
如图以为原点建立直角坐标系，
则，，，，，，，
（1），，∴，∴．
（2）∵，
∴，
，，
∴，∴与所成的角的余弦．
（3）∵，∴．
类型三、 空间向量的共线与共面
例5．若空间三点A（1，5，―2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p=________，q=________。
【解析】A、B、C三点共线，则有与共线，即。
又∵，，
∴，∴。
【总结升华】 在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.
举一反三：
【变式1】已知，求证：A、B、C三点共线.
【答案】
法一：∵，
则，∴，又有公共点A
∴A、B、C三点共线.
法二：(x,y∈R)，则：
(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)
∴且x+y=1,
∴A、B、C三点共线.
【变式2】（2018春 拉萨校级月考）已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵C为线段AB上一点，且，
∴，
∴
，
。
故选：C。
例6．求证A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）四点共面.
【思路点拨】要证三向量共面，即证存在x,y∈R，使得.
【解析】
法一：证
∵，，
∴
∴A、B、C、D四点共面.
法二：证
∵，，
显然，
由共面向量定理，A，B，C，D四点共面.
∴A、B、C、D四点共面.
【总结升华】
在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。
举一反三
【变式1】已知，，，若三向量共面，则实数λ等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
由三向量共面，
设，则
即，解得
【变式2】证明：四点A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17) 在同一平面内.
【答案】
∵，
设，
则：(9,14,16)=(3x+y, 4x+2y, 5x+2y)
,
∴,
∴A、B、C、D四点共面.
【巩固练习】
一、选择题
1．在空间直角坐标系O—xyz中，下列说法正确的是（ ）
A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量的坐标与向量的坐标相同 D．向量与向量的坐标相同
2．（2018 云南一模）已知，，且，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka+b与2a－b互相垂直，则k值是（ ）．
A．1 B． C． D．
4.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
5．已知a=（cos，1，sin），b=（sin，1，cos），则向量a+b与a－b的夹角是（ ）．
A．90° B．60° C．30° D．0°
6．（2018 青海校级期中）已知P（3cos，3sin，1）和Q（2cos，2sin，1），则|PQ|的取值范围是（ ）
A．[1，5] B．（1，5） C．[0，5] D．[0，25]
7．（2018春 保定期末）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线A1C与BD所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
8．已知=（2，－1，3），=（―4，2，x），且⊥，则x的值是________。
9．若，，且与夹角的余弦值为，则等于
10.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .
11．已知向量a=（0，－1，1），b=（4，1，0）， 且，则=________．
三、解答题
12.设，，且，记，
求与轴正方向的夹角的余弦值.
13．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)
⑴ 求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵ 若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标.
14. 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F.
15. 如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos〈〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】空间向量的坐标有两种形式可以得到：
（1）将向量的起点移到原点，终点坐标就是向量的坐标；
（2）向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
2．【答案】C
【解析】∵，，
∴，
解得x=5
故选C。
3．【答案】D
【解析】 ka+b=(k―1，k，2)，2a―b=（3，2，―2），
且(ka+b)·(2a―b)=3(k―1)+2k―4=0，∴。
4. 【答案】B
【解析】法一：BC边上的中线长。
法二：由中点坐标公式可得BC边上的中点为，再由两点间的距离公式可得
5．【答案】A
【解析】 ∵a+b=(cos+sin，2，sin+cos)，a―b=(cos―sin，0，sin―cos)，
∴(a+b)·(a―b)=cos2―sin2+sin2―cos2=0，∴（a+b）⊥（a―b）。
6．【答案】A
【解答】∵P（3cos，3sin，1）和Q（2cos，2sin，1），
∴


∴|PQ|的取值范围是[1，5]。
故选：A。
7．【答案】D
【解析】如图，分别以D1A1，D1C1，D1D三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则：
A1（1，0，0），C（0，1，1），D（0，0，1），B（1，1，1）；
∴，，

∴
∴；
则A1C⊥BD；
∴直线A1C与BD所成角为90°。
故选D。
8．【答案】
【解析】⊥·=0，即2×(―4)+(―1)×2+3x=0，∴。
9．【答案】―2或
【解析】∵，∴，
∴=―2或。
10. 【答案】9
【解析】 S=|a||b|sin〈a, b〉求得.
11．【答案】3
【解析】 ∵a=（0，―1，1），b（4，1，0），∴a+b=（4，1―，）。∵，∴16+(1―)2+2=29。
∴=3或=―2。∵＞0，∴=3。
12. 【解析】
取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，
∵
∴，即为所求.
13. 【解析】
⑴
∴∠BAC＝60°，
⑵ 设＝(x,y,z)，
则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).
14. 【解析】
取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）.
（1）∵· =（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F.
（2）∵·=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角.
（3）∵·=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED.
∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F.
15. 【解析】
（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜｜==.
（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴=（1，－1，2），=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.
∴cos〈，〉==.
（3）证明：C1（0，0，2），M（，，2），
=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M.