人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：36【基础】立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法
【学习目标】
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。
3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。
4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。
【要点梳理】
要点一、直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。
要点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2. 平面的法向量定义：
已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
要点二、用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。
（1）线线平行
设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。
②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。
要点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。
（1）线线垂直
设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。
②证明两个平面的法向量互相垂直。
要点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则。
要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，
则有。
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若分别为面，的法向量，
则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。
②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。
要点五、 用向量方法求空间距离
求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。
即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【典型例题】
类型一、求平面的法向量
例1.已知点,,，求平面的一个法向量。
【思路点拨】利用待定系数法，列方程组求面ABC的法向量。
【解析】，
设面ABC的法向量，则⊥且⊥，
即，即，解得，
令，则
∴向量为平面的一个法向量.
【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量。
举一反三：
【变式1】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，如图建立空间直角坐标系，则平面AB1C的一个法向量为（ ）
A．（1，0，1） B．（1，―1，0） C．（1，1，―1） D．（1，1，―2）
【答案】C
分别写出、的坐标，去验证四个向量中的哪个向量与、均垂直即可。
【变式2】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量。
【答案】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
所以E（1，1，0）
所以，。
设平面CD1E的法向量=（x，y，z），则：
，。
所以，所以。
令y=1，则x=1，z=2。
所以平面CD1E的一个法向量为（1，1，2）。
类型二、利用向量研究平行问题
例2、如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面,,，为的中点，为的中点，求证：直线平面。
【思路点拨】证明直线的方向向量和平面的法向量垂直。
【解析】如图,分别以AB,AD,AO所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则,,,,,,,
∴,,
法一：∵,∴共面
又平面，平面,平面,
平面
法二：设平面的法向量为,则
，即 ，取,得
，
又平面，平面。
【总结升华】立体几何中的证明线面平行（），一般先求出平面的法向量是，再证明，即。
举一反三：
【变式1】在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B和AC上的点，。
求证：MN∥平面BB1C1C。
【答案】如图，建立空间直角坐标系，
则A1（a，a，0），B（a，0，a），C（0，0，a），A（a，a，a），
则，，
所以。
而平面BB1C1C的一个法向量为。
所以，所以。
所以MN∥平面BB1C1C。
【变式2】（2018 邹城市校级模拟）设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k=（ ）
A．2 B．―4 C．―2 D．4
【答案】D
【解析】平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
∵，由题意可得，
∴k=4。
故选：D。
例3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D 和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）
＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）
　　　设，，（、、 ，且均不为0）
设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，
由 可得 即

解得：＝（1，1，－1）
由 可得 即

解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，
所以平面A1EF∥平面B1MC．
【总结升华】证两个面、平行，只需求出平面、的法向量，，再证出即可。
举一反三：
【变式】
如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。
求证：平面EGF∥平面ABD。
【答案】如图所示，由条件，知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标。
由条件知B（0，0，0）、D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA=a，
则A（a，0，0）。
所以，，。
，。
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD。因此B1D⊥平面ABD（1）
由E、F、G的定义，知E（0，0，3）、、F（0，1，4）。
所以，，
，。
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF。
所以B1D⊥平面EFG。
结合（1），可知平面EGF∥平面ABD。
类型三、利用向量研究垂直问题
例4. 如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是Pc的中点，作EF上PB交PB于F，证明：
（1）直线PA∥平面EDB；
（2）直线PB⊥平面EFD．

【思路点拨】线面的平行、垂直的问题，建立恰当的空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，本题的“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题。
【解析】 以DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PD=DC=2，则得下列各点的坐标D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
P（0，0，2）．
（1）∵E是PC的中点，∴E（0，1，1），-
∵，，，
∴。
又PA平面EDB，∴PA∥平面EDB．
（2）∵，
又，
∴，∴BP⊥DE．
又BP⊥EF，且EF∩DE=E．所以直线PB⊥平面EFD．
【总结升华】证明线面垂直，需要证明这条直线对应的向量和平面内两条相交直线对应的向量的数量积均为0
举一反三：
【变式】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.
【答案】如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设＝i，＝j，＝k，
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，
则＝（－１，0，０），＝(0,,-1)，?
·＝(-1，0，0)·(0，，-1)＝0，∴AD⊥D1F.
又＝(0，1，)，＝(0，，-1)，
∴·＝(0，1，)·(0，，-1)＝-＝0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE.
例5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2，E、F分别是BB1，CD的中点。
求证：平面平面
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)，D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)
∴,，
，
∴,即，
又∵，平面，
∵平面,平面平面.
【总结升华】
（1）用向量法证明面面垂直，就是证两个面的法向量的数量积为0；
设，，则。
（2）建立恰当的直角坐标系可以简化向量法解决问题时的计算量。
举一反三：
【变式】平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，
求证:平面AGC⊥平面BGC；
【答案】如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）
，，
设平面AGC的法向量为，
设平面BGC的法向量为，
∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；
类型四、利用向量求空间角
例6. 如图，在正方体中，点，分别是,的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
【思路点拨】与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，我们可以通过，的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值．
【解析】不妨设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则．
所以,,
,
,,．
所以,
因此，与所成的角的余弦值是．
【总结升华】用空间向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是：建立适当的空间坐标系→确定相应的点的坐标→确定相应的点的向量的坐标→用夹角公式确定两条异面直线所成的角．
举一反三：
【变式】长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：
的夹角的余弦值.
【答案】如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，
B(2，2，0)、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).
(1)令的夹角为θ，?
则cosθ＝.
∴的夹角的余弦值为.
例7. 已知正方体，点是的中点，点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】
设正方体棱长为4，建立空间直角坐标系D—xyz,
则知A（4,0,0）, C(0，4，0), D1(0，0，4) ，
设
得 令．
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【总结升华】
用传统几何法求直线与平面所成的角，关键是找出与已知平面垂直的直线，从而确定斜线在面内的射影，得到斜线和平面所成的角，计算在三角形中进行．
用向量法求直线与平面所成的角，关键是建立恰当的坐标系，求出斜线对应向量的坐标和平面的法向量坐标，由夹角公式及线面角与线线角的关系得到结果．
举一反三：
【变式】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90(，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用正弦值表示）；
【答案】
如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ，
∵ ，
，
，
∴ a＝1，，
∵ 为平面ABD的法向量，且。
∴ A1B与平面ABD所成角的正弦值是。
例8．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值。
【思路点拨】可建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求解．
【解析】如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）
设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，
由 可解得＝（1，1，1）
易知＝（0，0，1），
所以，＝
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值为或－．
【总结升华】用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求
出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
举一反三：
【变式】如图，三棱锥中，，，，，面，求二面角的余弦值。

【答案】在直角中,，，∴，
如图所示，以为坐标原点，过且平行于的直线为轴，、所在直线为轴、轴,
建立空间直角坐标系

则，，，.
∴，，，,
设平面的法向量，则，，
∴，即，
令，则，∴，
设平面的法向量，则，，
∴即，
令，则，∴，
,
故二面角的余弦值为.
类型五、利用向量求空间距离
例9.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）M到直线PQ的距离；（2）M到平面AB1P的距离。
【思路点拨】用空间向量求点线距和点面距，都要首先找到一条M到线和面的斜线段。
【解析】
如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），
（1）∵，
∴上的射影的模
故M到PQ的距离为
（2）设是平面的某一法向量，则，
∵∴
因此可取，由于，那么点M到平面的距离为
，故M到平面的距离为。
【总结升华】法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．
举一反三：
【变式1】（2018春 广安校级月考）已知直线l的方向向量，点A（1，2，―1）在l上，则点P（2，―1，2）到l的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】　C
【解析】 连接AP,做P垂直直线l交于B，则，所以.
【变式2】 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离．
【答案】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
，；
设面的法向量为，
则有：，
，
，又，所以点到截面的距离为=．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018秋 莆田校级月考）已知向量，的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．∥ B．⊥ C． D．与斜交
3．若平面的法向量为，直线的方向向量为v，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
6．P是二面角棱上的一点，分别在、半平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角的大小为（ ）．
A．60° B．70° C．80° D．90°
7．正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为1，M为CC1的中点，则点B1到截面A1BM的距离为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2018春 宜昌校级月考改编）设直线l1、l2的方向向量分别为，，则直线l1、l2的夹角余弦值是 。
9．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m=（－1，2，0），n=（3，0，－2），且m、n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为________．
10．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．
11． 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 ．
三、解答题
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点，求证： AE⊥平面A1D1F.
13.如图,矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=。
求证：AE//平面DCF.
14.已知是长方体的棱的中点，,,
求：二面角的正切值.
15．(2018 北京)如图，在四棱锥A－EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．
(Ⅰ)求证：AO⊥BE；
(Ⅱ)求二面角F－AE－B的余弦值；
(Ⅲ)若BE⊥平面AOC，求a的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
2．【答案】B；
【解析】由于，所以。而是平面的法向量，故直线垂直于平面。
3．【答案】D
【解析】若直线与平面所成的角为，直线与该平面的法向量所成的角为，则。
4．【答案】A
【解析】可用平移法或空间向量法求得。
5．【答案】C
【解析】 此类题通常找出其在相应平面内的射影，用定义法去解；也可用空间向量法。
6．【答案】D
【解析】 不妨设PM=a，PN=b，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，
如图所示。
∵∠BPM=∠BPN=45°，
∴，，
∴
。∴。
∵EM、FN分别是、内与棱AB垂直的直线，
∴EM与FN之间的夹角就是所求二面角，即的大小为90°。
7．【答案】B
【解析】可借助等体积法。
8．【答案】
【解析】
9．【答案】或
【解析】 ∵，
∴该二面角的余弦值为或。
10．【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）
设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,
由 可解得＝（1，0，1）
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，
11．【答案】
【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则．
，；
设面的法向量为，
则有：，
，
，又，所以点到截面的距离为=．
12．【解析】
如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，

设正方体的棱长为1，则
∴ ,
∴ ,
∴ ,即AE⊥D1F.
又，且，
∴ AE(D1A1，由(1)知AE(D1F，且D1A1∩D1F=D1，
∴AE⊥平面A1D1F.
13. 【解析】
如图，以点为坐标原点，以和分别作为、和轴，建立空间直角坐标系．
设，
则，，，．
∴，，
因为平面,所以是平面的法向量
因为,且平面，
故平面．
14. 【解析】
如图，建立坐标系，则,,
∴,
设平面DBE的法向量为，则
，即，化简得
令，则，
∴平面DBE的一个法向量为
又因为平面BCD的一个法向量为
二面角的余弦值为：
∴二面角的正切值为.
15．【解析】 (Ⅰ)因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF．
又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO平面AEF，
所以AO⊥平面EFCB．
所以AO⊥BE．
(Ⅱ)取BC中点G，连结OG．
由题设知EFCB是等腰梯形，
所以OG⊥EF．
由(Ⅰ)知AO⊥平面EFCB，
又OG平面EFCB，
所以OA⊥OG．
如图建立空间直角坐标系O－xyz，
则E(a，0，0)，，
，，
．
设平面AEB的法向量为，
则
即
令z＝1，则，y=－1．
于是．
平面AEF的法向量为=(0，1，0)．
所以．
由题知二面角F－AE－B为钝角，所以它的余弦值为．
(Ⅲ)因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即．
因为，，
所以．
由及0＜a＜2，解得．