人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：38【基础】《空间向量与立体几何》全章复习与巩固

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固
【学习目标】
1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；
2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；
4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；
一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或．
向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定．如图：
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．
单位向量：长度为1的空间向量，即．
相等向量：方向相同且模相等的向量．
相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
平行于记作，此时．=0或=(．
共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作．与同向．
（4）当=0或(时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作．
要点二：空间向量的基本运算
空间向量的基本运算：
运算类型
几何方法
运算性质
向
量
的
加
法
1平行四边形法则：
加法交换率：
加法结合率：
2三角形法则：
向
量
的
减
法
三角形法则：
向
量
的
乘
法
是一个向量，满足：
>0时，与同向；
<0时，与异向；
=0时， =0
∥
向
量
的
数
量
积
1．是一个数：；
2．，或
=0．
要点三：空间向量基本定理
共线定理：两个空间向量、（≠），//的充要条件是存在唯一的实数，使．
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线．
（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．
空间向量分解定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.
要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
要点四：空间向量的直角坐标运算
空间两点的距离公式
若，，则
①；
②；
③ 的中点坐标为．
空间向量运算的的坐标运算
设，，则
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ，；
⑥ ．
空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，；
②．
要点诠释：
（1）空间任一点的坐标的确定：
过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则．如图：
（２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中θ的范围是．
（３）与任意空间向量平行或垂直．
要点五：用向量方法讨论垂直与平行
图示
向量证明方法
线线平行
（//）
//
（分别为直线的方向向量）
线线垂直
（）
（分别为直线的方向向量）
线面平行
（//）
，即
（是直线的方向向量，是平面的法向量）．
线面垂直
（）
//
（是直线的方向向量，是平面的法向量）
面面平行
（//）
（分别是平面，的法向量）
面面垂直
（）
，即
（，分别是平面，的法向量）
要点诠释：
（１）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．
要点六：用向量方法求角
图示
向量证明方法
异面直线所成的角
（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角
（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
二面角
（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
要点诠释：
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。
②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。
要点七：用向量方法求距离
图示
向量证明方法
点到平面的距离
（为平面的法向量）
与平面平行的直线到平面的距离
（是平面的公共法向量）
两平行平面间的距离
（是平面，的一个公共法向量）
要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．
（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．
（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
要点八：立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）
3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）
用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤
1．建立适当的空间直角坐标系；
2．写出相关点的坐标及向量的坐标；
3．进行相关的计算；
4．写出几何意义下的结论．
【典型例题】
类型一：空间向量的概念及运算
例1．在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则＝________(用，，表示)．
【思路点拨】将，，看作已知条件，不断的应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则、向量的数乘法则，层层推进，最终得到的向量表示．
【答案】
【解析】

【总结升华】1. 类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途． 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．2. 由于四点共线，故最后的结果可以用共面向量定理检查，即若=，则.
举一反三：
【变式1】如图，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【变式2】如图，在平行六面体中，为与的交点． 若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
法一：
．
法二：
；
；
；
．
故选A．
类型二：空间向量的直角坐标运算
例2. 设＝(1，5，-1)，＝(-2，3，5)．
(1)当()∥()时，求的值；
(2)当(-3)⊥(+)时，求的值．
【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算．
【解析】(1)∵ (1，5，-1)，(-2，3，5)，
∴ (1，5，-1)-3(-2，3，5)＝(1，5，-1)-(-6，9，15)＝(7，-4，-16)．
(1，5，-1)+(-2，3，5)＝(，，)+(-2，3，5)＝(，，)．
∵ ∥()，
∴ ，解得．
(2)由()⊥()(7，-4，-16)·(，，)＝0
，
解得．
举一反三：
【变式1】已知，设在线段上的一点M满足，则向量的坐标为________．
【答案】
【变式2】（2018秋 齐齐哈尔校级期中）已知，则向量与夹角的余弦值为________.
【答案】
【变式3】空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，则等于( )
A． B． C． D．0
【答案】D
设，，，则，
所以．
所以OA⊥BC．所以．
类型三：共线和共面向量定理的应用
例3．已知平行四边形，从平面外一点引向量，，，． 求证：
（1）四点共面；
（2）平面//平面．
【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点共面；
（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明．
【解析】
（1），
∵，
由共线向量定理可知，点共面．
（2），
∴//
又∵平面，平面，
∴∥平面．
同理∥平面，
∵，
∴平面//平面．
【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解． 若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系即可．在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试．
举一反三：
【变式1】与向量平行的单位向量的坐标为（ ）
　A. (1,1,0) B. (0,1,0) C. (1,1,1) D. 或．
【答案】D
【变式2】已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　 　　
【答案】
类型四：空间向量在立体几何中的应用
例4．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD、PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB；
(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．
【思路点拨】证明线面垂直，求线面所成角的问题，题设中的垂直关系易考虑建立空间直角坐标系，（1）转化为求；（2）先求平面AEF的法向量，再利用公式求解.
【解析】(1)建立空间直角坐标系(如图)．
设AD＝PD＝1，AB＝2a(a＞0)，
则E(a，0，0)，C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，．
∴ ，，．
∵ ，
∴ ，即EF⊥AB．
同理EF⊥PB，又AB∩PB＝B，∴ EF⊥平面PAB．
(2)由AB＝BC，得，即，得，，，
有，，．
设平面AEF的法向量为＝(x，y，1)，
由 得
解得
于是．
设AC与平面AEF所成的角为，与的夹角为，
则．
【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题．
举一反三：
【变式1】(2018 上海)如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.
【答案】
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为 A12,0,1，C10,2,1，E2,1,0，F1,2,0，C0,2,0，D10,0,1．
因为 A1C1=?2,2,0，EF=?1,1,0，
所以 A1C1∥EF，因此直线 A1C1 与直线 EF 共面，即 A1，C1，F，E 四点共面．
设平面 A1C1FE 的法向量为 n=u,v,w，则 n⊥EF，n⊥FC1，
又 EF=?1,1,0，FC1=?1,0,1，故
?u+v=0,?u+w=0,
解得u=v=w.
取 u=1，得平面 A1C1FE 的一个法向量 n=1,1,1．
又 CD1=0,?2,1，故
CD1?nCD1n=?1515.
因此直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成角的正弦值为 151515．
【变式2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．
【答案】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC＝1，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，M，D(0，2，0)．
(1)因为，所以PB⊥DM．
(2)因为，所以PB⊥AD．
又因为PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN．
因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角．
因为，
所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．
例5．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝DA＝AB＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．
(1)求证：DM⊥EB；
(2)求二面角M-BD-A的余弦值．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则
(1) ，，所以，从而得DM⊥EB．
(2)设是平面BDM的法向量，
则由，及，，得
可以取．
显然，(1，0，0)为平面ABD的一个法向量．
设二面角M-BD-A的平面角为，则此二面角的余弦值
．
【总结升华】本题主要考查空间想象能力及坐标运算能力，若用立体几何逻辑推理的方法也可以证明计算，但适当建系后解题较直观.
举一反三：
【变式1】过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，如果PA＝AB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
设PA＝AB＝a，则PD＝，设二面角为，则．故选B．
【变式2】如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝，求平面APB与平面PBD夹角的大小．
【答案】在△PAD中，PD＝AD＝a，PA＝，
∴ PD⊥AD，同理在△PCD中PD⊥CD．
如图分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．
则A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)．
∴ (-a，0，a)，(0，a，0)，(a，a，0)，(0，0，a)．
设平面PAB的法向量为(x，y，z)．
由 得
令z＝1，得(1，0，1)．
同理设平面PDB的法向量为．
由 得(-1，1，0)，
∴ ．
∴ 平面PAB与平面PDB的夹角为60°．
【变式3】如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且 设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．
【答案】
【解析】以为原点，分别为轴、轴建立空间直角坐标系，由平面,得
即
解得
故，所以线段的长为．
【巩固练习】
一、选择题
1．在下列命题中：
①若、共线，则、所在的直线平行；
②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；
③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；
④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为．
其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2018秋 武威校级期末）向量，，则与（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对
3．(2018春 济南校级期中改编)下列各组向量中不平行的是（ ）
A．， B．
C． D．
4．已知A(-4，6，-1)、B(4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是 ( )
A．(0，1，6) B．(-1，2，-1) C．(-15，4，36) D．(15，4，-36)
5．已知为平行四边形，且，则的坐标为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6. 如图所示，ABCD-EFGH是边长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为( )
A． B． C． D．
7．已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．若向量，则________.
9．设，则的中点到点的距离＝________．
10．若，且，则与的夹角为________．
11．在空间四边形中，和为对角线，为△的重心，是上一点，，以｛，，｝为基底，则＝ ．
三、解答题
12． (2018 福建)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(Ⅰ)求证：GF∥平面ADE；
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
13. 如图，四面体中，，，，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
14. 已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点.
（1）设与底面所成的角的大小为，平面与平面的夹角为.
求证：；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.
15. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若平面，求平面与平面的夹角大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得∥平面．若存在，求∶的值；若不存在，试说明理由．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】①错，若、共线，则、所在的直线平行或共线；
②错，空间中任意两个向量都是共面向量；
③错，若、、三向量两两共面，则、、三向量不一定共面，
如正方体中，向量，，不共面；
④错，这是共面向量的推论，必须满足条件．
故选项为A.
2．【答案】C
【解析】解：∵向量，
，
则与平面，
故选：C。
3．【答案】D
【解析】而零向量与任何向量都平行，故选D.
4．【答案】D
【解析】 设法向量为(x，y，z)，则
解得 令y＝4，则得法向量(15，4，-36)．
5．【答案】D
【解析】设.
为平行四边形
解得.所以.
6．【答案】A
【解析】分别以AB、AD、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则．P点在AB上的射影坐标为，∴ P到AB的距离为．
7. 【答案】D
【解析】由共面向量定理的推理可知，若四点共面，则对于空间任意一点，有，故选D.
8．【答案】
【解析】，，则.
9．【答案】
【解析】点M的坐标为，，．
10．【答案】
【解析】由题意可知，
即
则
所以向量的夹角为
11．【答案】
【解析】连接.
中，，则
，
，
；
中，，则；
中，；
中，.
12. 【解析】
解法一：（Ⅰ）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且，
又F是CD中点，所以，由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB=AC，所以GH∥DF，且GH＝DF．从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH，又DH趟平面ADE，GF平面ADE，所以GF∥ADE．

(Ⅱ)如图，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC，因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE．
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ
以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1)．因为AB⊥平面BEC，所以为平面BEC的法向量，设为平面AEF的法向量．又
由得取z=2得．
从而，
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
解法二：(Ⅰ)如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，
又AE面ADE，GM面ADE，所以GM∥平面ADE．
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD．
又AD面ADE，MF面ADE，所以MF∥面ADE．
又因为GM∩MF=M，GM面GMF，MF面GMF，
所以面GMF∥平面ADE，因为GF面GMF，所以GM∥平面ADE．
（Ⅱ）同解法一．
13. 【解析】如图建立空间坐标系，然后可以用向量求解.
（Ⅰ）连结
∵AB=AD，∴，
又∵，，
∴，∴，
∴平面，
（Ⅱ）如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），，，，，
∴，
∴
∴异面直线AB与CD所成角的余弦为.
（Ⅲ），，，
设平面的法向量为
则，即，
令得
点到平面的距离.
14. 【解析】设正四棱柱的高为.
⑴ 连，底面于，
∴ 与底面所成的角为，即
∵ ，为中点，∴，又，
∴ 是二面角的平面角，即
∴ ，.
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有
设平面的一个法向量为，
∵ ，取得
∴ 点到平面的距离为，则.
15 【解析】
（Ⅰ）证明：连，设交于，由题意知平面．以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图．
(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求角为，则
，
平面与平面的夹角为．
（Ⅲ）在棱SC上存在一点使．由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，且，．
设，
而，即当时，，
而不在平面内，故．