坐标系与参数方程综合问题分类解析（Word版 学案 练习无答案）

一、已知直线上一定点，直线与曲线相交于不同两点，求定点到两个交点的距离的和（或积或差）的值：
【典例1】解答下列问题：
1、在直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为： x=1+t(t为参数)，在以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中， y=1+t，曲线C的极坐标方程为（1+2 cos）=3。
（1）写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M（1,1），若直线l与曲线C相交于不同两点A，B，求|MA|+|MB|的值（2019成都市高三零诊）
2、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为 x=2+2cos (为参数)，以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系， y=2sin，直线l的极坐标方程为： sin(+)=。
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点M（0，1），若直线l与曲线C相较于A，B两点，求|MA|+|MB|的值（2019成都市高三三诊）
3、在直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为 ：x=2+t(t为参数)，在以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中， y=2+t，曲线C的极坐标方程为sin+4sin=。
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点M在直角坐标系中的坐标为（2,2），若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|.|MB|的值（2018成都市高三一诊）


〖解析〗
1、（1）直线l的参数方程为 : x=1+t(t为参数)，==，y-1=
y=1+t ，(x-1) y=x+1-， 直线l的普通方程是： y=x+1-；曲线C的极坐标方程为： （1+2 cos）=3，+2 cos=3++2 =3，+=1，曲线C的直角坐标方程是： +=1。
（2）当x=1时，y=+1-=1，点M（1,1）在直线l上，
由 x=1+t(t为参数)，得：3+2（3+）t+2=0，+=-（3+），.= ,
y=1+t，|MA|+|MB|=|+|=（3+）。
+=1，
2、（1）曲线C的参数方程为：x=2+2cos (为参数)， =4cos，
+=4， y=2sin， =4sin，
曲线C的普通方程是：+=4；直线l的极坐标方程为：sin(+) =，（sin+cos）=1，x+y-1=0，直线l的直角坐标方程是：x+y-1=0。
（2）当x=0时，y=1-0=1，点M（0,1）在直线l上，直线l的参数方程为：
x=-t(t为参数），由x=-t(t为参数），得：- t+1=0，+=，
Y=1+t， Y=1+t， .= 1，|MA|+|MB|=|+|=。
+=4，
3、（1）直线l的参数方程为: x=2+t(t为参数)，==，y-2=(x-2) y=x+2-2， y=2+t ，直线l的普通方程是： y=x+2-2；
曲线C的极坐标方程为： sin+4sin=，sin+4sin=，+4y =+=4y，曲线C的直角坐标方程是： =4y。
（2）当x=2时，y=2+2-2=2，点M（2,2）在直线l上，由x=2+t(t为参数)，得： -8（-1）t-16=0，+=8（-1），.=-16， y=2+t，
|MA|.|MB|=|.|=16。 =4y，
『思考问题1』
（1）这类问题的结构特征是：第一小题已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题已知一个定点和直线与曲线相较于不同两点，求定点到两个交点距离的和（或积或差）的值；
（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的解答方法是：①确定已知点在直线上；②由直线的参数方程与曲线方程联立，消去未知数x和y得到关于参数t的一元二次方程；③根据韦达定理得到+和.的值；④运用定点到两个交点的距离和=|+|，
距离积=|.|，距离差=|-|= 求出结果。
［练习1］解答下列问题：
1、在平面直角坐标系XOY中，已知直线l的参数方程为 x=t(t为参数)，在以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系 y=t-1 ，长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是=2sin(+)。
（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（0，-1），若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|+|PB|的值（2019成都市高三一诊）
2、在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是=4cos，直线l的极坐标方程是sin(+)=1，点Q（，）在直线l上，以极点为坐标原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系XOY，且两坐标系取相同的单位长度。
（1）求曲线C及直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同两点A，B，求|QA|+|QB|的值（2018成都市高三三诊）
3、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为 x=2cos，（为参数），在，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中， y=sin，直线l的极坐标方程为sin（-）=。
（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程和直线l的倾斜角；
（2）设点P（0,1），若直线l与曲线C相交于不同两点A，B，求|PA|+|PB|的值（2017成都市高三零诊）





二、已知直线与曲线相交于不同两点，求满足某个条件的直线（或曲线）的方程（或求直线斜率的值或取值范围）：
【典例2】解答下列问题：
1、在极坐标系中，O为极点，点M（，）（>0）在曲线C: =4 sin上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P。
（1）当=时，求及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程（2019全国高考新课标II）
1、在直角坐标系XOY中，曲线的方程为y=k|x|+2，以坐标原点,为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为+2cos-3=0。
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程（2018全国高考新课标I卷）
2、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为 x=2cos，（为参数），直线l的参数方程为 x=1+tcos（t为参数）， y=4sin
y=2+tsin。
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率（2018全国高考新课标II卷）
3、在平面直角坐标系XOY中，O的参数方程为 x=cos，（为参数），过点（0，-）且倾斜角为的直线l与O交于 y=sin，A，B两点。
（1）求的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程（2018全国高考新课标III卷）

〖解析〗
1、（1）=，点M（，）（>0）在曲线C: =4 sin上，=4sin=2， M（2，）， M（，3），==，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，直线l的方程为：y=-（x-4），y=-x+，直线l的极坐标方程是： cos+sin-=0。
（2）设点P（，），在RtOAP中，|OP|=|OA|cos=4cos，=4cos，点P在线段OM上，APOM，[，]，点P轨迹的极坐标方程是： =4cos， [，]。
2、（1）曲线C的参数方程为 x=2cos，（为参数），= cos，+
=1， y=4sin =sin ，曲线C的直角坐标方程是：+=1；①当cos 0时，直线l的参数方程为：
x=1+tcos（t为参数），==tan，y-2= tan(x-1)， y=2+tsin，直线l的直角坐标方程是：xtan-y+2- tan=0；②当cos=0时，直线l的直角坐标方程是：x=1，当cos 0时，直线l的直角坐标方程是：xtan-y+2- tan=0；当cos=0时，直线l的直角坐标方程是：x=1。
（2）①当cos 0时，由 x=1+tcos，y=2+tsin，得：4+
+=1，=16，（1+3 cos）+（8 cos+ 4 sin
）t-8=0， + =- ，. =-，直线l与曲线C
相交所得线段的中点为（1，2）， + =0，2cos+sin=0，tan=-2，
直线l的斜率k=-2；②当cos=0时，直线l的斜率k不存在，当cos 0时，直
线l的斜率k=-2；当cos=0时，直线l的斜率k不存在。
3、（1）O的参数方程为 x=cos，（为参数）， = cos，+= y=sin， = sin ，
cos + sin=1+=1，O的普通方程为：+=1，直线l过点（0，
-），倾斜角为，①当时，直线l的方程为：x tan-y-=0，, 直线l
与O交于A，B两点，=<1，>1， tan>1或tan<-1，
②当=时，直线l过点（0，-），A（0，1），B（0，-1）满足条件，
的取值范围是：（，）。
（2）①当=时，直线l过点（0，-），直线l的方程是：X=0，
由x=0，得：=1，A（0，1），B（0，-1），P（0，0）；②当时，
+=1，设A（，），B（，），P（x，y）， 由 y=x tan-，
得：（1+）-2x tan+1=0，+=，+=1，
.=，+=-2=
=，x=，y=，AB中点P的轨迹的参数方程是：
x=，（，）。
y=，
『思考问题2』
（1）这类问题的结构特征是：（1）这类问题的结构特征是：第一小题已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题已知直线与曲线相交于不同两点，所求问题是直线（或曲线）的方程或求直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题的基本方法是：①由直线和曲线的直角坐标方程联立，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程；②根据韦达定理得到+和.的式子；③利用②的式子结合所求问题把结果表示出来；④化简整理得出问题的结果。
［练习2］解答下列问题：
1、在直角坐标系XOY中，圆C的方程为+=25。
(1)以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是： x=tcos，(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=，求l的斜率 y=tsin，（2016全国高考新课标II卷）
2、在直角坐标系XOY中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为=2cos，（0，）。
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标（2014全国高考新课标II卷）
3、已知曲线的参数方程为： x=4+5cost，（t为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系， y=5+5sint，曲线的极坐标方程为=2sin。
（1）把的参数方程化为极坐标方程；
（2）求与交点的极坐标（0，0＜2）（2013全国高考新课标I卷）
三、已知直线和曲线的方程，曲线上一个动点，求与动点相关（或动点到定直线）的距离（或最值）：
【典例3】解答下列问题：
1、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为： x=（t为参数），以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系， y=，直线l的极坐标方程为2cos+sin+11=0。
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值（2019全国高考新课标I）
2、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为： x=2cos，其中为参数，（0，），在以坐标原点O为极点，X轴的正 y=2sin，半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为（4，），直线l的极坐标方程为sin(-)+5=0。
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，求点M到直线l的距离的最大值（2018成都市高三二诊）
3、在直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为： x=1+t(t为参数)，在以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中， y=t，曲线C的极坐标方程为=2cos（+）。
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|的值（2018成都市高三零诊）

〖解析〗
1、（1）曲线C的参数方程为： x=（t为参数），=，=
y=，===4（1-x）（1+x）
=4-4，4+=4，曲线C的直角坐标方程是：+=1；直线l的极坐标
方程为：2cos+sin+11=0，直线l的直角坐标方程是：2x+y+11=0。
（2）设P（cos，2sin）是曲线C上的任意一点，=
=，当=-1时，=最小，曲线C的点到直线l距离的最小值是。
2、（1）曲线C的参数方程为： x=2cos（为参数），=cos，
= cos， y=2sin， = sin，
= sin，+= cos+ sin=1，曲线C的普通方程是：+=1；
直线l的极坐标方程为：sin(-)+5=0，sin-cos+10=0 y-x+10=0，
直线l的直角坐标方程是：y-x+10=0。
（2）设Q（2cos，2sin）是曲线C上任意一点，M（x，y）是线段PQ的中点，点P的极坐标为（4，），点P的直角坐标为（4，4），M（2+cos，
2+sin），==，当=1时，取最大值6，点M到直线l距离的最大值是6。
3、（1）直线l的参数方程为： x=1+t(t为参数)，t=x-2，y=（x-2），
y=t，直线l的普通方程是：x-2y-2=0；
曲线C的极坐标方程为=2cos（+），=2 cos-2sin，
+=2x-2y，曲线C的直角坐标方程是：+=2x-2y。
（2）设M（，），N（，），由x-2y-2=0，得：7-4（5-）x+12-8=0， +=2x-2y，+=（5-），
.=（3-2），|MN|==（2+）


『思考问题3』
（1）这类问题的结构特征是：第一小题已知直线和曲线的参数方程（或极坐标方程），求直线和曲线的普通方程（或直角坐标方程）；第二小题已知一个定点和直线与曲线相较于不同两点，求定点到两个交点距离的和（或积或差）的值；
（2）解答这类问题的基本方法是：第一小题用参数方程画普通方程（或极坐标方程画直角坐标方程）的基本方法去解答；第二小题解答的基本方法是：①把曲线上的动点坐标用曲线的参数方程表示出来；②将两点（或动点到定直线）的距离表示出来得到与三角函数相关的问题；③根据②的三角函数运用三角函数的知识求解；④得出问题的结果。
［练习3］解答下列问题：
1、在直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为： x=3cos，（为参数），直线l的参数方程为： x=a+4t，（t为参数）。 y=sin，
y=1+t，
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a（2017全国高考新课标I卷）
2、在直角坐标系XOY中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos=4。
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|.|OP|=16，求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线上，求OAB面积的最大值（2017全国高考新课标II卷）
3、在直角坐标系XOY中，直线的参数方程为： x=2+t，（t为参数），直线的参数方程为：x=-2+m，（m为参数）， y=kt，设与的交点为P，当k 变
y=，化时，P的轨迹为C。
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设：（cos+ sin）-=0，M为与C的交点，求M的极径（2017全国高考新课标III卷）
4、在平面直角坐标系XOY中，倾斜角为（）的直线l的参数方程为:
x=1+tcos，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极
y=tsin，坐标方程是：-4sin=0。
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点P（1，0），若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于
A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值（2017成都市高三一珍）
5、在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为 x=2cos，（为参数），直线
l参数方程为 x=-t，（t为参数）， y=2+2sin，在以坐标原点为极y=3+t，点，X轴的正半为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线
C交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，），其中（，）。
（1）求的值；
（2）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值（2017成都市高三二珍）
6、已知曲线C的极坐标方程为：=2，在以极点为坐标原点O，极轴为X轴的正半轴建立的直角坐标系XOY中，直线l的参数方程为 ： x=t，（t为参数），
y=3+t。
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换：=x得到曲线，若M（x，y）为曲线上任意一点，求点M到直线l的最小距离（2017成都市高三三珍）
7、在直角坐标系XOY中，曲线的参数方程为： x=acost（t为参数，a＞0），在以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中， y=1+asint，曲线：=4cos。
（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为=，其中满足tan=2，若曲线与的公共点都在上，求a（2016全国高考新课标I卷）
8、在直角坐标系XOY中，曲线的参数方程为 x=cos(为参数)，以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系， y=sin 曲线的极坐标方程为
sin(+)=2。
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点P在上，点Q在上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标（2016全国高考新课标III卷）
9、在直角坐标系XOY中，直线：x=-2，圆：+=1，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,。
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为=（R），设与的交点为M，N，求MN的面积（2015全国高考新课标I卷）
10、在直角坐标系XOY中，曲线： x=tcos，（t为参数，t0），其中0＜，在以O为极点，X轴的正半轴为极轴 y=tsin，建立极坐标系中，曲线：=2sin，：=2cos。
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若与相交于点A，与相交于点B，求|AB|的最大值（2015全国高考新课标II卷）
11、在直角坐标系XOY中，曲线的参数方程为： x=cos，（为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，y=sin，曲线：的极坐标方程为sin（+）=2。
（1）写出的普通方程和的直角坐标系方程；
（2）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标（2015全国高考新课标III卷）