3.1随机事件的概率（一）
问题提出
1. 日常生活中，有些问题是能够准确回答的.
例如: 明天太阳一定从东方升起吗？ 明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？
这些事情的发生都是必然的.
2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系.
例如:
长沙地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但长沙地区一年里哪一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的.
3.数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究.
知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事件
思考1：考察下列事件：
（1）导体通电时发热；
（2）向上抛出的石头会下落；
（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？
在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件.
你能列举一些必然事件的实例吗？
思考3：考察下列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽；
（2）在常温常压下钢铁融化；
（3）服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点？
思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，能指出不可能事件的一般含义吗？
在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
你能列举一些不可能事件的实例吗？
思考5：考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；
（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件
就其发生与否有什么共同特点？
思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件.
你能列举一些随机事件的实例吗？
归纳：
必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示.
思考7:对于事件A，能否通过改变条件，使事件A在这个条件下是确定事件，在另一条件下是随机事件？
你能举例说明吗？
知识探究（二）：事件A发生的频率与概率
物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量.对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映.
思考1：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率fn(A)等于什么？频率的取值范围是什么？
思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示
在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？
思考3：某农科所对某种油菜籽在相同条件下的发芽情况进行了大量重复试验，结果如下表所示：
在上述油菜籽发芽的试验中，每批油菜籽发芽的频率的稳定值为多少？0.9
思考4：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
事件A发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动.
思考5：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率fn(A)趋于稳定，在某个常数附近摆动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.那么在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的概率是多少？在上述油菜籽发芽的试验中，油菜籽发芽的概率是多少？
思考6：在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率.
思考7：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？
频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关.
思考8：必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？
思考9：概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？
思考10：怎样理解“4月3号长沙地区的降水概率为0.6”的含义？
例题讲解
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）如果a＞b，那么a一b＞0；
（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；
（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签;
（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；
（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0.
例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
课堂小结
1. 概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
2. 随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间
[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
3. 任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.
作业：
《习案》：作业二十九
3.1随机事件的概率（三）
问题提出
1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？
2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．
知识探究（一）：事件的关系与运算
在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，
C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，
C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，
D1＝｛出现的点数不大于1｝，
D2＝｛出现的点数大于4｝，
D3＝｛出现的点数小于6｝，
E＝｛出现的点数小于7｝，
F＝｛出现的点数大于6｝，
G＝｛出现的点数为偶数｝，
H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.
思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?
思考2：如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为: BA(或AB)
特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系约定为:
任何事件都包含不可能事件.
思考3：分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？
一般地，当两个事件A、B满足:
若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.
思考4：如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？
事件D2一定发生, 反之也成立.
事件D2为事件C5与事件C6的并事件(或和事件)
一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作
C=A∪B(或A+B).
思考5：类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？
思考6：两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝，此时，称事件A与事件B互斥，那么在一次试验中，事件A与事件B互斥的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？
思考7：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，那么在一次试验中，事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解？在上述事件中能找出这样的例子吗？
事件A与事件B有且只有一个发生.
思考8：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？
集合A与集合B互为补集.
思考9：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？
知识迁移
例1 某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.
例2 一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ D ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
例3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( B )
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件
C. 必然事件 D. 不可能事件
知识探究（二）：概率的几个基本性质
思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.
思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，
则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、
P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
若事件A与事件B互为对立事件，则: P(A)＋P(B)＝1.
思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)与1的大小关系如何？
P(A)＋P(B)≤1.
思考5：如果事件A1,A2，…，An中任何两个都互斥,那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何?P(A1+A2+…+An)与P(A1)，P(A2)，…，P(An)有什么关系？
事件(A1 + A2 +…+ An)表示事件A1, A2,…,An中有一个发生；P(A1 + A2 +…+ An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An).
例4 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A）的概率是
,取到方片(事件B)的概率是 ,问：
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
P(C)=P(A∪B)= P(A)＋P(B)=0.5，
P(D)=1- P(C)=0.5.
例5 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，
试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
课堂小结
1. 事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算；
2. 在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立 事件有且仅有一个发生；
3. 事件(A+B)或(A∪B),表示事件A与事件B至少有一个发生,事件(AB)或A∩B,表事件A与事件B同时发生.
4. 概率加法公式是对互斥事件而言的， 一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).
3.1随机事件的概率（二）
问题提出
1. 概率的定义是什么？
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率.
2. 频率与概率有什么区别和联系？
① 频率是随机的，在实验之前不能确定；
② 概率是一个确定的数，与每次实验无关；
③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率；
④频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小.
探究（一）： 概率的正确理解
思考1：连续两次抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？
“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，
“一次正面朝上，一次反面朝上”.
思考2：抛掷—枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗？
答：这种说法是错误的，抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面向上，也可能两次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上.
思考3：试验：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向.将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率.你有什么发现？随着试验次数的增多，三种结果发生的频率会有什么变化规律？
“两次正面朝上”的频率约为0.25，“两次反面朝上” 的频率约为0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上” 的频率约为0.5.
思考4：若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？
答：不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为1/1000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖.
思考5：围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑子吗？说明你的理由.
不一定.摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的.可能有两次或两次以上摸到黑子，也可能没有一次摸到黑子，摸到黑子的概率为1-0.910≈0.6513.
归 纳:
随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：
即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率.
探究（二）：概率思想的实际应用
思考1：在一场乒乓球比赛前，必须要决定由谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁判员常用什么方法确定发球权吗？其公平性是如何体现出来的？
思考2:某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，1班必须参加，另外再从2至12班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？
不公平，因为各班被选中的概率不全相等，七班被选中的概率最大.
思考3：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？
这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那面比较重，会使出现1点的概率最大，更有可能连续10次都出现1点. 如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一次出现1点的概率为，连续10次都出现1点的概率为这是一个小概率事件，几乎不可能发生.
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法.
如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法在统计学中被称为似然法.
思考4：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨？你认为应如何理解？
降水概率≠降水区域；明天本地下雨的可能性为70%.
思考5：天气预报说昨天的降水概率为 90％，结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预报不准确？如何根据频率与概率的关系判断这个天气预报是否正确？
不能，概率为90％的事件发生的可能性很大，但“明天下雨”是随即事件，也有可能不发生.收集近50年同日的天气情况，考察这一天下雨的频率是否为90％左右.
思考6：奥地利遗传学家孟德尔从1856年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试验的具体数据如下：
豌豆杂交试验的子二代结果
你能从这些数据中发现什么规律吗？
孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同的后代，并且每次试验的显性与隐性之比都接近3︰1，这种现象是偶然的，还是必然的？我们希望用概率思想作出合理解释.
思考7：在遗传学中有下列原理：
（1）纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征.
（2）用符号AA代表纯黄色豌豆的两个特征，符号BB代表纯绿色豌豆的两个特征.
（3）当这两种豌豆杂交时，第一年收获的豌豆特征为：AB.把第一代杂交豌豆再种下时，第二年收获的豌豆特征为： AA，AB，BB.
（4）对于豌豆的颜色来说．A是显性因子，B是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时，表现显性因子的特性，即AA，AB都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性，即BB呈绿色．在第二代中AA，AB，BB出现的概率分别是多少？黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少？
黄色豌豆(AA，AB)︰绿色豌豆(BB)≈3︰1
（1）概率与公平性的关系：
利用概率解释游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理.
（2）概率与决策的关系：
在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法：在一次实验中，概率大的事件发生的可能性大.
（3）概率与预报的关系：
在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想来进行预测.
课堂小结
1. 概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大.
2. 孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴.
3. 利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
作业：
<习案>作业三十.
