2.3.1向量数量积的物理背景与定义
具体要求：
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
为实现在整个学科课程价值中的作用，本课教材的教学突出向量的物理背景与几何背景，强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用，通过向量数量积的运算与数的乘法运算的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。
教学设计:
一、物理背景引入
引言：数学是一门高度抽象的学科，这也使得它的应用非常广泛。比如对物理中的矢量的研究就产生了数学中的向量，力的合成与分解就是向量的加法、减法和数乘运算。类比实数的运算，我们思考一个问题：
【问题1】两个向量能否相乘呢？
思考：在物理中，大家遇到过两个矢量确一个量的问题吗？
活动：学生思考回答问题。
[设计意图] 选择贴近学生实际生活的问题来展开探究，激活学生的已有相关经验，从物理背景迁移到数学概念中来，很容易引起学生的兴趣，感受数学来源于生活，又服务于生活。
二、物理背景分析
【问题2】物理上如何计算“功”？
活动：学生回答问题。
如图所示，一个力作用于一个物体，使该物体产生位移，由于力与位移的夹角为，力所做的功为：
引导：功可以看作是力与位移进行某种运算的结果。
[设计意图] 因为学生已经有“功”的概念,这是平面向量的数量积的知识增长点。教师设置问题引导学生思考，并类比地定义操作性很强的向量夹角定义,达到水到渠成的效果。
探究1：影响功的大小有哪几个因素？
活动：学生回答。
引导：计算公式涉及到力与位移的夹角，我们看两个向量夹角的定义：
已知两个非零向量，在平面任取一点，做，，则叫做两个向量的夹角，记作，并规定（在这个条件下，任意两个向量的夹角是确定的）
探究2：力作功的最大值及最小值是多少？
活动：学生回答向量夹角的范围。
强调：寻找两个向量的夹角时要做到共起点。
即时练习.⑴当同向时， ⑵当反向时，
⑶当垂直时， 规定：。
⑷正三角形中， ， ，
活动：学生先独立思考，再个别回答。
[设计意图] 让学生温故知新,加深对功的认识,为平面向量的数量积的学习做好铺垫。从认知心理来看,当输入“数量积”这一概念,学生通过自身的内化、重组、操作和交流主动进行建构,是对原有“积”的
概念的改造过程。通过设计即时练习促使这一过程更自觉进行。
三、概念形成
力和位移是矢量，抽象为数学概念是向量。
【问题3】如果我们把功看作力和位移的一种运算，你能尝试定义两个向量的新运算？
活动：学生回答。
定义：叫做向量的数量积（内积），记作，即
向量的数量积的结果与两个向量的模及它们的夹角有关。
剖析： ①的符号；②的运算结果；③的结构。
[设计意图] 把功看作力和位移的一种运算，让学生类比概括出数量积的定义。学生参与数量积概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自然产物，突破本节课的难点。
四、概念应用
例1. ⑴已知，是轴的单位向量，若，求，.
⑵已知，，，求.
⑶已知，，，求.
⑷已知，，，求，.
⑸已知，，，求.
活动：学生定时完成，师生共同核对答案。
[设计意图] 学会对新知识从不同角度进行探究,达到对知识的全面理解，对知识点强化到位，对思维方法发展到位，对知识的灵活运用到位，并为下一步提炼数量积的性质做好铺垫。
五、提炼性质
【问题4】通过以上一组练习，你能发现数量积有哪些性质？
活动：学生先观察思考，再小组内讨论，最后小组代表回答问题。
数量积的性质. ①
② 思考：⑴或？ ⑵是个什么量？
③，即 遇模平方
④ ⑤
引导：计算公式从方程角度来研究，四个量，知三求一。
[设计意图] 数学学习的过程，是一个不断探究、不断总结的过程。学生合作探究提炼性质，充分体现学生的主体地位，使学生对知识有了一个系统的理解与认识，进一步强化本节课的重点。
六、概念的再认识
【问题5】物理学中功的另一种表述是：功是力与力的方向上的位移的乘积。请你研究数量积是否也有此性质？
活动：师生共同探究。
引导：力的做功问题中就是在物体位移方向上的分力的数量。
1.在方向上的正射影.
2.数量积的几何意义：两个向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在它方向上的射影数量的乘积。
即时练习..⑴已知，当分别为时，求在轴上的数量.
⑵已知，，求在上的数量.
⑶已知，在上的投影分别为和时，求.
活动：学生小组合作探究,教师给予适当的帮助。
[设计意图] 了解向量的数量积与向量投影的关系，使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识，引导学生顺利突破教学难点,从中总结思想方法，同时让思维得到升华。
七、反馈练习
例1.已知正的边长为，令，，，求．
例2.在中，令，，当或时，分别判断三角形的形状.
[设计意图] 通过例题让学生感受平面向量的数量积及其几何意义在处理有关长度、角度和垂直等问题中的应用，使学生对解题方法由感性认识上升到理性认识，完成了思维的提升。
八、归纳总结
【问题6】本节课你有哪些收获？
活动：学生归纳总结，师生共同同评价。
引导：1.内容：平面向量的数量积、向量数量积的几何意义、数量积的性质.
2方法：抽象概括、归纳类比等
[设计意图] 学生自己梳理本节所学知识，可提高学生的归纳概括能力，让学生将所学知识条理化、系统化，使自己的认识结构更趋合理。同时，注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的制高点。
九、布置作业
1.（必做）课本P115A组1-3
2.（选做）⑴在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求的最小值．
⑵思考：若，能否得到，根据实数乘积的运算律进行类比，向量的数量积有哪些运算律？
[设计意图] 分层作业符合因材施教的教学理念。通过分层作业将问题由课内延伸到课外，可以使大部分同学巩固本节所学知识。思考题激励学生大胆提出问题，用自己己有的向量知识去解决问题，同时使教师下节课的教学有的放矢。
结束语：今天这节课，结合物理背景，通过大家的自主探究、合作交流认识了数量积的定义和性质。美国著名数学教育家波利亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现”。只要我们能保持一种对问题探究的热情，就会掌握打开未知的钥匙，或许你的研究结果也能在实际生活中创造出很高的价值。所以，数学来源于生活又服务于生活。
课件14张PPT。2.3.1向量数量积的物理背景与定义高中数学人教B版必修四第二章《平面向量》情境引入矢量向量力的合成与分解向量的加法、减法和数乘物理背景情境引入物理背景概念形成 两个向量的夹角规定概念形成任何时候不要忘了任性的零向量 寻找向量的夹角要共起点两个向量的夹角概念形成向量的数量积定义概念应用思考：通过以上练习，你能发现数量积有哪些性质？探究性质遇模平方数量积的性质概念深化两个向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在它上的数量的乘积.向量在轴上的正射影数量积的几何意义概念深化 巩固新知归纳总结通过本节课的学习，你有哪些收获？布置作业1.（必做）课本P115A组1-3波利亚（George Polya，1887-1985）2.3.1向量数量积的物理背景与定义反馈练习
（满分100分，考试时间30分钟）
一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若，则( )
A．
B．
C．
D．在方向上的射影的数量与在方向上的射影的数量必相等
2．已知，，且，则( )
A． B．
C． D．
3． 已知，，，则( )
A． B．
C． D．
4．设非零向量，，满足，且，则 ( )
A． B．
C． D．
5．已知正方形的边长为，为上一动点，则的最大值为 ( )
A． B. C． D．
二、填空题（本题共2小题，每小题8分，共16分。）
6．已知是边长为的等边三角形,点分别是边的中点,连接，则的值为
7．已知，，且，则向量在向量方向上的射影数量是________，向量在向量方向上的射影数量是________．
三、解答题（本题包括3小题，每小题18分，共54分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤和推理过程）
8．如图所示，在平行四边形中，，，，求：
⑴；
⑵·；
⑶.
9．已知中中，，，当满足下列条件时，能确定的形状吗？
⑴；
⑵；
⑶.
10．在中，已知，求：
⑴在方向上的射影数量；
⑵.
