教学设计
课题
正切函数的图象和性质
教学目标
（1）能利用三角函数线正确地画出正切函数的图象；
（2）能根据图象理解正切函数的性质；
（3）通过学生自己画图，培养学生数形结合的思想方法；
（4）培养学生类比的思想方法；
（5）培养学生发现数学规律，增强学习数学的兴趣。
重点难点
重点：正切函数的性质
难点：正切函数的图象，性质应用。
教学过程设计
教学环节
教学内容
学生活动
创设情境，
导入新课
同学们，我们知道常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。在前面两节我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，那么本节课我们就一起来探讨一下正切函数的图象和性质。
新 授
（一）
知识回顾
【问题1】
【问题2】
【问题3】
（二）
合作探究
【问题1】
【问题2】
【问题3】
正切函数图象
【问题3】
正切函数的性质
（三）
典型例题
请同学们看一下今天的学习目标。
（1）能利用三角函数线正确地画出正切函数的图象.
（2）能根据图象理解正切函数的性质.
让我们带着学习目标走进今天的课堂。
在学习新课之前，我们先来回顾一下与正切有关的知识点。
（1）角的正切是如何定义的？
答：在定义角的正切时，我们是把角放到平面直角坐标系里的，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，在终边上任意取一点 ，那么 。接着问，
（2）对任意角都可以吗？
答：不是，当终边落到轴上，，就没有意义了，所以，
如何作角的正切线？
如图，单位圆与轴正半轴的交点为，任意角的终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于点。 我们称有向线段AT为角的正切线。
从图中可以看出:当角位于第一和第三象限时，T点位于轴的上方;当角位于第二和第四象限时，T点位于轴的下方。
所以，同学们可以得到什么规律？
答：第二象限角的正切线会与第四象限角的正切线重合；
第三象限角的正切线会与第一象限角的正切线重合.
如何作正弦函数R的图象？
答：先通过平移正弦线得到的图象；再利用周期性将其平移可得R的图象.
哪位同学能说一下做正弦函数图象的步骤？
答：（1）作单位圆，并将单位圆等分；
（2）作正弦线；（3）平移正弦线；
（4）用光滑的曲线将点连接。
接下来请同学看一下合作探究。
类比于正弦函数图象的作法，能否用平移正切线的方法得到正切函数的图象呢？
答：可以。（这里学生很容易想到）
在作正切线时，是否需要取遍各个象限的角呢？为什么？
答：不需要，只需要先作（）区间内的图象。
原因：第二象限角的正切线会与第四象限角的正切线重合；第三象限角的正切线会与第一象限角的正切线重合.
如何利用正切线画出函数，(, )的图象？
步骤：(1) 作单位圆，等分：把单位圆右半圆分成8等份，在轴上标出相应的点；
(2) 作正切线；(3) 平移；(4) 连线。
注意强调渐近线，无限接近，但永远不能相交。
请同学们将作正切函数图象的步骤落实到学案对应位置。
现在我们已经得到了，(, )的图象，怎么得到的图象呢？
学生的回答利用周期性平移，周期是多少呢？
利用周期性将，的图象向左、向右连续平移可得的图象。
多媒体展示正切曲线。
正切曲线是由通过点(()且与 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
我们在作正弦函数简图用的是五点作图法，那么同学们讨论一下正切函数简图如何作呢？
总结：“三点”:（ 1），(0,0）,（1）。
“两线”:。
让学生尝试自己在学案上画简图。
现在我们已经得到正切函数的图象，请同学们结合正、余弦函数的性质，小组讨论一下正切函数又有哪些性质？
⑴定义域_____________________________；
⑵值域_______________________________；
⑶周期性__________________________；
⑷奇偶性__________________________；
⑸单调性__________________________；
⑹对称性__________________________；
正余弦函数主要有这六个性质，与它们不同，正切函数还有一个性质：渐近线方程。
⑺渐近线方程_______________________.
现在请大家把这些性质落实到学案上。
学习完性质，我们来看一下应用。
求函数的定义域.
考察正切函数的定义域，体现了整体的思想。
变式训练1.求函数的定义域.
不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小。
与
（2）与
小结：比较两个正切值大小，关键是把相应的角利用诱导公式转化到的同一单调区间(一般考虑)内，再利用的单调递增性解决。
变式训练2. 比较大小
(1)tan138°____tan143°
(2) ____
例3.求函数
的单调区间。
变式训练3.求函数的单调区间。
展示学习目标，让学生带着目标走进课堂。
思考并回答
教师总结点评。
通过动画展示，让学生发现各象限角的正切线的作法。
通过对正弦函数图象作法的回顾，为正切函数图象作法做铺垫。
引导学生用区间表示。
提示利用正切的诱导公式，得到是它的一个周期。
学生讨论，小组发言，师生一起总结。
指导学生作图。
强化数形结合。
小组讨论交流。
单调性时强调开区间。
【设计意图】
强化训练
（四）
课堂小结
1.正切函数的图象
2.正切函数的性质
3.数学思想
类比思想、数形结合
整体思想、转化思想
板书设计
正切函数的图象和性质
的图象
的性质
定义域
单调递增区间
作业布置
必做：课本P56练习A
选做：练习B-1-3
评测练习
1.观察正切曲线，写出满足下列条件的的值的范围.
(1)(2) ; (3)
2.求函数 的定义域和单调区间.
3.求函数 的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单调性.
4.不通过求值，比较大小.
