推理和证明
2.2直接证明和间接证明
2.2.1综合法和分析法
【教材分析】
本节《2.2.1综合法和分析法》 ，是高中数学教材人教版选修2-2第二章《推理和证明》第一节的内容.
推理和证明，是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，以其他数学知识为载体，贯穿在高中课程的始终.本章《推理和证明》 ，是对学生已经学习过的证明方法系统总结和理论提升.通过本章的学习，有助于发展学生的思维能力，提高学生的数学素养，让学生感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神.
本小节《2.2.1综合法和分析法》 ，是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.本小节主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．
【学情分析】
在以前的学习中，学生已经能应用综合法和分析法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定清楚.本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的思考过程和特点，并归纳出操作流程图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯.
【教学目标】
1、知识目标
（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法.
（2）了解综合法和分析法的思考过程与特点.
2、过程目标
（1）通过对实例的分析、归纳和总结的过程，发展学生的理性思维能力；
（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力.
情感目标
通过本节课的学习，了解数学直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学与其他学科以及实际生活的联系,发展学生的思维能力，逐步形成理性思维和科学精神.
【教学重点与难点】
本节课的教学重点是综合法和分析法的思维过程及特点.
本节课的教学难点是综合法和分析法的应用.
【 课 型 】
本节课程类型为新授课.
【教学方法】
基于以上教材分析和学情分析，运用分组讨论、引导探究法.
本节课以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认知规律出发，进行启发、诱导，充分调动学生的积极性和主动性，层层设疑，发挥学生的主体作用，引导学生在自主学习与分组讨论中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力，培养团队合作精神.
【 课 时 】
本节课用时一课时
【教具准备】
多媒体辅助教学
【教学过程】
（下页展示）
教学设计
一、教学视频 引入新课
提起数学证明，大家都很熟悉，也已经掌握了数学证明的一些方法．本节我们将借助熟悉的数学实例，对数学证明的方法进行系统的理论提升.今天我们学习的是直接证明的两种基本方法.
【板书课题：2.2.1综合法和分析法】
【设计意图：由熟悉情境引入，学生易于接受.】
二、提炼方法 例题探究
1.综合法
在刚才教学视频中，我们可以看到题目的证明过程的书写，就是利用这个显然成立的结论，经过推理论证，得出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
【板书：一、综合法】
【大屏幕展示综合法定义】
用表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
【板书：框图、顺推证法】
例1 在中,三个内角,,的对边分别为,,，且，.
求证：为等边三角形.
证明（法一）：
因为，
所以， 所以.
因为，
由余弦定理可得：.
再由得.
即, 因此，从而.
由得.
所以为等边三角形．
证明（法二）：
因为，
所以，
所以，
即 ，
因为为三角形内角，
所以.
因为，
由余弦定理可得：.
再由得.
即, 因此，从而.
由得.
所以为等边三角形．
【投影展示学生的预习作业，启发学生用多种方法解决.总结:两种方法都是用综合法证明，并突出强调综合法的证明特点是：由因导果．】
2.分析法
在刚才教学视频中，我们可以看到题目的分析过程，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，得到一个显然成立的式子.这个分析的过程帮我们迅速找到了证明问题的突破口，是一种很好的思维方式，同时它也是一种证明方法，就做分析法.
【板书：二、分析法】
【大屏幕展示分析法定义】
用表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
【学生讨论：分析法框图画法】
【设计意图：通过类比综合法框图，引发学生讨论思考，启发学生深入探讨分析法的证明特点.】
例2 求证:.
证明（法一）：因为都是正数，
所以要证
只需证
即证
即证
即证
因为显然成立，
所以成立.
证明（法二）：因为都是正数，
所以要证
只需证
即证
即证
即证
即证
因为显然成立，
所以成立.
【例2总结:启发学生用多种方法解决.总结:两种方法都是用分析法证明，并突出强调分析法的证明特点是：执果索因．】
三、学生练习 方法巩固
【课堂练习：《课本》第89页练习1.学生爬黑板】
【课堂练习：《课本》第89页练习2.学生爬黑板】
四、方法提升 综合运用
例3已知，且
求证:.
证明：因为，所以将①②代入，
可得.
另一方面，要证，
即证，
即证，
即证.
由于上式与③式相同，于是问题得证.
【例3总结:本例中，是综合法和分析法综合使用．】
练习:在锐角中,求证:
证法一（综合法）:
又因为、为锐角,所以
因为为锐角,为钝角，所以恒成立，
，
.
证法二（分析法）:
要证明
只需证
因为、为锐角,所以
只需证
只需证
因为为锐角,为钝角
所以恒成立
所以
【练习总结:本题可以用综合法和分析法两种方法证明．】
五、当堂评测 巩固新知
【完成评测练习】
六、数学游戏 新知升华
游戏名称：抢数
游戏规则：
（1）游戏由两个人完成，轮流抢数；
（2）两人约定，确定谁先开始抢数；
（3）从1开始顺次抢数，可以抢一个数，也可以抢连续的两个数；
如：甲：1
乙：2 （或抢2、3）
……
（4）谁先抢到10谁胜.
七、课堂小结 系统巩固
1、知识内容小结：（1）综合法（2）分析法
2、思想方法小结：（1）综合法（顺推证法）：由因导果
（2）分析法（逆推证法）：执果索因
八、布置作业 课下巩固
1．必做题：《课本》2.2 A组第3题、B组第3题．
2．选做题：证明：在锐角中，求证．
【附】板书设计
一、综合法 二、分析法 例2（法一） （法二） 例3
学生板书课堂练习： 学生板书课堂练习：
评测练习
一、概念巩固
综合法
分析法
定义
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.
框图
特点
________________
________________
又称
______推证法
______推证法
二、当堂检测：
1．要证明,可选择的方法有多种，其中最合理的方法是( ).
A．综合法 B．分析法 C．综合法、分析法综合使用
2．“已知，求证”的证明：
其证明过程是应用了( ).
A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用
三、课后检测：
证明：在锐角中，求证.
