人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：06【提高】导数的计算（理）

导数的计算
【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，
4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
【要点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8）， ，这样的形式。
要点诠释：
1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即（n∈Q）．
特别地，。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数：，．
6．对数函数的导数：，．
有时也把 记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：，
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．
2．两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：且（v≠0）．
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
知识点三：复合函数的求导法则
1．复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．
要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。
2．复合函数的导数
设函数在点x处可导，，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作．
3．掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数分出内层、外层。
（2）各层求导：对内层，外层分别求导。得到
（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到
的导数。
要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一：求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数：
（1）y=x13；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
【解析】 （1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。
（2）准确记忆公式。
（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）
【答案】
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
∴.
类型二：求函数的和、差、积、商的导数
例2. 求下列函数导数：
（1）；
（2）y ＝x · sin x · ln x；
（3）y ＝；
（4）y ＝．
【解析】
（1）法一：去掉括号后求导.
法二：利用两个函数乘积的求导法则
=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′＝(x sin x)′ln x ＋x sin x · (ln x)′
＝(sin x ＋x cos x) ln x ＋sin x．
（3）y′＝＝.
（4）y′＝＝．
【点评】
（1）如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；
（2）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简。
（3）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心。
举一反三：
【变式1】．求下列各函数的导函数
（1） （2）y= （3）y=
【答案】
（1）法一：
∴
法二：
=+

（2）=
（３）=
【变式2】求下列函数的导数.
（1）
（2） y ＝
（3）.
【答案】
（1）
（2）y′＝[(sin x －x cos x)′(cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x)·(cos x ＋x sin x)′]
＝[(cos x －cos x ＋x sin x) (cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x) (x cos x)]
＝＝
（3）∵，
∴ .
【变式3】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】
（1）

。
（2）。
（3）∵，∴。
类型三：求复合函数的导数
例3．求下列复合函数的导数：
(1)f(x)＝ln(8x)； (2)y＝5log2(2x＋1)． (3)y＝sin2x－cos2x.
【解析】 (1) 因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝.
(2) 设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝.
(3) 法一：y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2sin(2x＋)．
法二：∵y＝sin(2x－)，∴y′＝cos(2x－) ·2＝2sin(2x＋)．
【点评】
把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。
举一反三：
【变式1】．求下列函数导数.
（1）； （2）； （3）.
【答案】
（1），
∴
（2），.
∴
（3），，
∴.
例4 求下列函数导数.
(1)（2018春 拉萨校级期中改编）
（2）
【解析】
令，则，

（2）设，μ=cosv，，则
　　
　　 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：
　 　
　　
【点评】
（1）复合函数求导数的步骤是：
①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；
②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；
③将中间变量代回为自变量的函数。
简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，
即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。
（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。
举一反三：
【变式1】 （2018春 郑州期末）若函数，则是（ ）
A.仅有最小值的奇函数
B.仅有最大值的偶函数
C.既有最大值又有最小值的偶函数
D.非奇非偶函数
【答案】C
【解析】因为函数，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值2；
且。即是既有最大值又有最小值的偶函数。
【变式2】求下列函数导数：
（1）
（2）（）。
（3）y=ln（x＋）；
【答案】 （1）




（2）．方法一：
。
方法二：∵，∴
。
（3）=＝
类型四：利用导数求函数式中的参数
例5 （1），若，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）设函数，若是奇函数，
则=________。
【解析】 （1）∵，
∴，∴，故选A。
（2）由于，
∴，
若是奇函数，则，即，
所以。
又因为，所以。
【点拨】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。
【变式1】已知是关于的多项式函数，
（1）若，求；
（2）若且，解不等式.
【解析】显然是一个常数，所以
所以，即
所以
∵，∴可设
∵ ∴
由，解得
【变式2】
已知函数过点（1，5），其导函数的图象
如图所示， 求的解析式。
【答案】∵，
由，，，得
，解得，
∴函数的解析式为。
例6．已知函数可导，若，，求
【解析】 （）

（令t=x2，x→1，t→1）


【点拨】 善于观察极限式中的结构和导数的定义的关系是解决本题的关键。
举一反三：
【变式】已知函数可导，若，，求
【答案】


【巩固练习】
一、选择题
1．设函数，则（ ）
A．0 B．―1 C．―60 D．60
2．（2018 江西校级一模）若，则的解集为（ ）
A.(0,1) B. C. D.
3．（2018春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．函数的导数是（ ）
A． B．0 C． D．
5．（2018 安徽四模）已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）
2 B.-2 C. D.
6．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B． C．― D．―2
7．的导数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．曲线y=sin x在点处的切线方程为________。
9．设y=(2x+a)2，且，则a=________。
10．____________，____________。
11．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________。
三、解答题
12．已知，，求适合的x的值。
13．（1）；；求
（2）已知，求。
14．求曲线在点处的切线方程。
15．已知，，，求。
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵，∴。
2．【答案】A
【解析】,函数的定义域为 ，
则
由，
得 ，即
即不等式的解集为（0,1），故选A。
3．【答案】C
【解析】 对于选项A, 成立，故A正确。对于选项B, 成立，故B正确。，故C不正确。对于选项D，成立，故D也正确。
4．【答案】D
【解析】 ，则。
5．【答案】B
【解析】
令，则，
即，
，故选D。
6．【答案】D
【解析】 由，求导得，
所以切线斜率，
则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2。
7．【答案】A
【解析】 ∵，
∴。
8．【答案】y=1
【解析】 ，，从而切线方程为y=1。
9．【答案】1
【解析】 ，且x=2，则a=1。
10．【答案】，
【解析】 ；
；
11．【答案】 （―2，15）
【解析】 ，令，
P在第二象限x=―2P（―2，15）。
12．【解析】，，
则，，即。
∴。
13．【解析】（1）；
　　　　 （2）∵


，
∴，
∴。
14．【解析】，则
　　。
　　∴切线方程为
　　即5x+32y-7=0。
15．【解析】∵，
则，
∴，
，
即，
。