人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：07【基础】导数的应用一

导数的应用一---函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；
②若，则在这个区间上为减函数；
③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. 在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间。或者：
令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1、确定函数的单调区间.
【解析】。
令，得x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时函数是增函数。
因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。
令，得0＜x＜2。
∴函数在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。
【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式或。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三：
【变式1】
求下列函数的单调区间：
（1）
（2）；
（3）；
【答案】
（1）。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或。
因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和。
再令3x2－4x+x＜0，解得。
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。
（2）函数的定义域为（0，+∞），
。
令，即， 结合x＞0，可解得；
令，即， 结合x＞0，可解得。
∴的单调递增区间为，单调递减区间为。
（3）。
∴0≤x≤2π，∴使的，，，
则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x
0
…
…
π
…
…
+
0
－
0
－
0
+
(
(
(
(
所以函数（0≤x≤π）的单调递增区间为和，单调递减区间为。
例2. 求函数 （a∈R）的单调区间。
【解析】
① 当a≥0时，y＇≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数。
② 当a＜0时，令3x2+a=0得，
∴y＇＞0的解集为。
y＇＜0的解集为。
∴函数的单调增区间是和，
减区间是。
综上可知：当a≥0时，函数在（－∞，+∞）上单调递增。
当a＜0时，函数在和上单调递增，在上单调递减。
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论。
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。
举一反三：
【变式】已知函数f(x)＝ex－ax－1，求f(x)的单调增区间。
【答案】　f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
∴当a≤0时，即f(x)递增区间是R；当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当时，求证：函数是单调递减函数.
【解析】
，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】当时，求证：函数是单调递减函数.
【答案】
，∴，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【变式2】
设/是函数/的导函数，将/和/的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
【答案】D
【变式3】(2018 陕西)设，则（ ）
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】由于的定义域为R，且满足，
可得为奇函数。
再根据，可得为增函数，
故选B。
例4．已知函数, 讨论函数的单调性.
【解析】由题设知．
令．
（i）当a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。
举一反三：
【变式】已知函数，, a＞0 ，w讨论的单调性.
【答案】由于/
令/ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当/,即/时, /恒成立.
/在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
当/,即/时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m / /
由/得/或/ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
/或/或/
又由/得/
综上 当时, /在/上都是增函数.
当时, /在/上是减函数, w.w.
在/上都是增函数.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5．（2018 南昌三模）已知在[1,+∞)上是单调增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路点拨】由在上是单调增函数，得在[1,+∞)上恒成立，分离参数后求出函数在上的最小值得答案。
【解析】在[1,+∞)上是单调增函数，在[1,+∞)上恒成立。
即在[1,+∞)上恒成立。
在[1,+∞)上为增函数，
，故选D。
【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
（2）恒成立，则；恒成立，只需，这是求变量a的范围的常用方法。
举一反三：
【变式1】已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
【变式2】已知向量a=（，x+1），b=（1―x，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【答案】 解法一：依定义，
则 。
若在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有。
∴在区间（―1，1）上恒成立。
考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，故要使t≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立，即t≥5。
解法二：依定义，。
若在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有。
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（―1，1）上满足，即在（―1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
【变式3】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【答案】
（1）当时，则恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知图象如图3-3-1-5所示，则的图象最有可能是图3-3-1-6中的（ ）
/ /
2．下列命题成立的是(　　)
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
3. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
4．（2018 湖南）设函数 ，则是（ ）
A．奇函数，且在（0,1）上是增函数
B．奇函数，且在（0,1）上是减函数
C．偶函数，且在（0,1）上是增函数
D．偶函数，且在（0,1）上是减函数
5. 已知对任意实数x，有f(-x)= -f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，，则x<0时( )
(A) (B)
(C) (D)
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
7．（2018 天津校级模拟）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
8．函数的单调增区间是________和________，单调减区间是________。
9．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是____________．
10．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．
11．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
三、解答题
12．确定下列函数的单调区间
(1) y=x3－9x2+24x (2) y=3x－x3
13．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
14．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。
15．(2018 北京)已知函数．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当x∈(0，1)时，；
(Ⅲ)设实数k使得对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值．
【答案与解析】
1. 【答案】C.
【解析】 由图象可知，或x＞2；，0＜x＜2。
2. 【答案】B.
【解析】　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
3. 【答案】D.
【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
4. 【答案】A
【解析】函数，函数的定义域为（-1,1），
函数==，所以函数是奇函数。
排除C,D，正确结果在A,B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，；时，，显然，函数是增函数，所以B错误，A正确。
5. 【答案】B.
【解析】 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
【答案】　C
【解析】　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数， 故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.
7. 【答案】B
【解析】因为定义域为，又，由 得。
当 时，时，，据题意， ，解得 故选B
8. 【答案】
【解析】 求导，然后解不等式。
9． 【答案】 和
【解析】 y′＝xcosx，当－π0，
当00，∴y′＝xcosx>0.
10. 【答案】 (－∞，－1)
【解析】 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
11. 【答案】　[3，＋∞)
【解析】　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，
即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
12. 【解析】
(1) 解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2) 解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】
(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
14. 【解析】
所以 。
15．【解析】
【思路点拨】利用导数的几何意义，求出函数在x=0处的函数值及导数值，在用直线方程的点斜式写出直线方程；第二问，要证明不等式在x∈(0，1)成立，可用作差法构造函数，利用导数研究个g（x）在区间(0，1)上的单调性，由于，g（x）在(0，1)上为增函数，则g（x）＞g(0)=0，问题得证；第三问与第二问类似，构造函数研究函数的单调性，但需要对参数k做讨论．
【解析】(Ⅰ)
，．
又因为f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．
(Ⅱ)令，则
．
因为，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．
所以g(x)＞g(0)=0，x∈(0，1)，
即当x∈(0，1)时，．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当k≤2时，对x∈(0，1)恒成立．
当k＞2时，令，则
．
所以当时，，
因此h(x)在区间上单调递减．
当时，h(x)＜h(0)=0，即．
所以当k＞2时，并非对x∈(0，1)恒成立．
综上可知，k的最大值为2．