人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：08【提高】导数的应用一

导数的应用一---函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；
②若，则在这个区间上为减函数；
③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. 在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间。
或者：
令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1.确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式或。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三：
【变式1】
求下列函数的单调区间：
（1）
（2）；
（3）；
【答案】
（1）。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或。
因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和。
再令3x2－4x+x＜0，解得。
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。
（2）函数的定义域为（0，+∞），
。
令，即， 结合x＞0，可解得；
令，即， 结合x＞0，可解得。
∴的单调递增区间为，单调递减区间为。
（3）。
∴0≤x≤2π，∴使的，，，
则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x
0
…
…
π
…
…
+
0
－
0
－
0
+
(
(
(
(
所以函数（0≤x≤π）的单调递增区间为和，单调递减区间为。
例2. 已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。
【解析】
图像的对称轴为且时值为。所以有如下讨论：

【点评】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论。
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。
举一反三：
【变式1】（a＞0且a≠1）。
【答案】 函数的定义域为R。
。
当a＞1时，，，∴，
∴函数在（－∞，+∞）上是增函数。
当0＜a＜1时，，，∴，
∴函数在（－∞，+∞）上是减函数。
【变式2】已知a∈R，求函数的单调区间.
【答案】.
（1）当a=0时，
若x＜0，则；若x＞0，则.
所以，当a=0时，
函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（2）当a＞0时，
由2x+ax2＞0，解得或x＞0；由2x+ax2＜0，解得.
所以，当a＞0时，
函数在区间内为增函数，
在区间内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（3）当a＜0时，
由2x+ax2＞0，解得；由2x+ax2＜0，解得x＜0或.
所以，当a＜0时，
函数在区间（－∞，0）内为减函数，
在区间内为增函数，在区间内为减函数.
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当时，求证：函数是单调递减函数.
【解析】
，∴，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【点评】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】
设是函数f（x）的导函数，将y= f（x）和的图象画在同一个直角坐标系中，
不可能正确的是（ ）
【答案】D
【变式2】（2018 菏泽一模）若 ，，则下列各结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ，令 解得，
当时， ，为减函数，当时，，为增函数，


，
故选D。
例4．设，讨论函数的单调性.
【解析】.
当时 .
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，解得.
因此，函数在区间内单调递减.
【点评】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。
举一反三：
【变式】已知函数，, a＞0 ，w讨论的单调性.
【解析】由于
令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
或或
又由得
综上 当时, 在上都是增函数.
当时, 在上是减函数, w.w.
w.k.s. 在上都是增函数.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5． ( 2018 秋 广东月考)若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路点拨】若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立， 令，利用导数法求出函数的最小值，可得答案。
【解析】若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立， 令，则，令
当时， ，为减函数；
当时， ，为增函数；
故当时，取最小值4，，故选B。
【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
（2）恒成立，则；恒成立，只需，这是求变量a的范围的常用方法。
举一反三：
【变式1】 已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。
【答案】 由已知得，
∵在（0，1]上单调递增，
∴，即在x∈（0，1]上恒成立。
令，又在（0，1]上单调递增，
∴，∴a＞－1。
当a=－1时 ，对x∈（0，1）也有，
∴a=－1时，在（0，1]上也是增函数。
∴综上，在（0，1]上为增函数，
∴a的取值范围是[－1，+∞）。
【变式2】已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
【变式3】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【答案】
（1）当时，则恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
【变式4】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-(f(x), 试问：是否存在实数(，使F(x)在(-(,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【答案】假设存在实数(满足题设.
F(x)=g(x)-(f(x)=(x4+2x2+2)-((x2+1)=x4-((-2)x2+(2-(),
F((x)=4x3-2((-2)x,
令4x3-2((-2)x=0,
（1）若(≤2，则x=0.
当x∈(-∞,0)时，F((x)<0；当x∈(0,+∞)时，F((x)>0.
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设.
（2）若(>2，则x=0或，
当时，F((x)<0；当时，F((x)>0；
当时，F((x)<0；当时，F((x)>0.
∴F(x)的单调增区间是，，
单调减区间是，.
要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，
则，即(=4.
故存在实数(=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。
【巩固练习】
一、选择题
1．(2018 郴州模拟)已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）
2．下列命题成立的是(　　)
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
3.（2018 新课标Ⅱ理）设函数f＇(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(－1)=0，当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．(－∞,－1)∪(0,1) 　　　B．(－1,0)∪(1,+∞)
C．(－∞,－1)∪(－1,0) 　　　D．(0,1)∪(1,+∞)
4．函数的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．（，e）
5. 设在（0，+∞）内单调递增，，
则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2018 南阳校级三模）函数的定义域为R，，对任意都有成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．函数的单调减区间为 .
9．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是____________．
10．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．
11．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
三、解答题
12． 已知函数,,设．求函数的单调区间；
13. 已知函数 ．
（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
14．已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
15．(2018 广东) 设a＞1，函数f(x)=(1+x2)ex－a.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）证明：f(x)在(－∞，+∞)上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：.
【答案与解析】
1. 【答案】A
【解析】根据导函数图象可知，函数在上单调增，在上单调减，因此可知函数的图象最有可能的是A。故选A。
2. 【答案】B.
【解析】　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
3. 【答案】A.
【解析】
记函数，则，因为当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0，故当x＞0时，g＇(x)＜0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减；又因为函数f(x)（x∈R）是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞,0)单调递减，且g(－1)=g(1)=0．当0＜x＜1时，g(x)＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞,－1)∪(0,1)，故选A．
4. 【答案】C.
【解析】 ，，所以选C.
5. 【答案】B.
【解析】 由题意知在（0，+∞）上恒成立，
则在x∈（0，+∞）上恒成立。
当x∈（0，+∞）时，，
则的最大值要小于－5，不妨设为c，
∴m≥c不可能推出m≥－5。但由m≥－5，可以推出m≥c。故B正确。
6. 【答案】B
【解析】
令，则
函数在R上单调递减，
而

不等式，可化为

即不等式的解集为。故选B
7. 【答案】 A.
【解析】 由x＞0时，。
令，则。
∵，∴在（0，+∞）上为增函数。
当x＜0时，。
令，则。
∴在（－∞，0）上为减函数，∴，
∴在R上恒成立，且x≠0时，。
即，∴在x∈R且x≠0时恒成立。
把x=0代入得，
∴在R上恒成立。
8. 【答案】（-1，11）
【解析】，
由得单调减区间为。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
9．【答案】 和
【解析】 y′＝xcosx，当－π0，
当00，∴y′＝xcosx>0.
10. 【答案】 (－∞，－1)
【解析】 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
11. 【答案】　[3，＋∞)
【解析】　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，
即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
12. 【解析】，
（1）若，由，∴在上单调递增.
由，∴在上单调递减.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）若，则在上恒成立，∴在上单调递增.
13. 【解析】 （Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
14. 【解析】
解：（1）求导：
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且解得：
15．【解析】
（1）∵f(x)=(1+x2)ex－a
∴f(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex
∵x∈R时，f＇(x)≥0恒成立
∴f(x)的单调递增区间为R
（2）由（1）可知f(x)在R上为单调递增函数
当时，
∴f(x)在（－∞，+∞）上仅有一个零点
（3）令点P为(x0，y0)
命题得证.
结合图像不难得当a＞2，y=f(x)与有两个交点.
综上，当a=2时，有一个零点x=2；当a＞2，y=f(x)与有两个零点.