人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：09【基础】导数的应用二

导数的应用二------函数的极值与最值
【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】
知识点一：函数的极值
（一）函数的极值的定义：
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作
；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
（二）用导数求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。
知识点二：函数的最值
（一） 函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
（二）求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
（三）最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
知识点三：函数极值与最值的简单应用
不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如，
若能隔离参数，即可化为：的形式。若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使。所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
【典型例题】
类型一： 求函数的极值
例1. 下列函数的极值。
（1）； （2）；
【解析】（1）函数的定义域为R。
。
令，得x=－2或x=2。
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2，2）
2
（2，+∞）
＋
0
－
0
＋
(
极大值
(
极小值
(
从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且
。
当x=2时，函数有极小值，且
。
（2）函数的定义域为R。
。
令，得x=0或x=2。
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
－
0
+
0
－
(
极小值0
(
极大值4e－2
(
由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且。
当x=2时，函数有极大值，且。
【总结升华】 解答本题时应注意只是函数在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0左右导数的符号相反，方能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
举一反三：
【变式1】 讨论函数（）的单调性并求极值．
令，解得x1=0， x2=, x3=2 。
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，）
（，2）
2
（2，+∞）
－
0
+
0
－
0
+
(
1
(
(
(
由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+∞）上
为增函数。
当x=0时，函数有极小值; 当x=2时，函数有极小值。
当x=时，函数有极大值。
【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　）
/
A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。
类型二：函数极值的逆向应用
例2. 已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数 的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。求：
（1）x0的值；
（2）a，b，c的值。
【思路点拨】观察图像的正负和零点。
【解析】 （1）由图象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上，
故在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此在x=1处取得极大值，所以x0=1。
（2）方法一：，
由，，，
得，解得。
方法二：设。
又，所以，，c=2m，
，由，即，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。
【总结升华】
（1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负。
（2）注意条件“在点x0处的极大值是5”的双重条件，即，。
举一反三：
【变式】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【答案】
依题意得方程组 解得.
当a=-3,b=3时，
令得x=1.
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
+
0
+
↗
无极值
↗
显然a=-3, b=3不合题意，舍去.
当a=4, b=-11时，f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或 x=1.
x
1
（1，+∞）
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4, b=-11.
类型三：求函数的最值
例3、求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【解析】 ，
-1
0
2
+
+
0
-
0
+
+
-2
1
1
由上表可知，当x=-1时,f(x)取最小值-2；当x=2时,f(x)取最大值1.
∴ 函数在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。
【总结升华】解题格式要求：
ⅰ. 对于分解因式，写出相应方程的根；
ⅱ. 列表格，表格反映出随的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值。
ⅲ. 一般要注明x取何值时f(x)取得最大最小值。
举一反三：
【变式】求函数y=x4―2x2+5在区间[―2，2]上的最大值与最小值。
【答案】
先求导数，得y＇=4x3―4x。
令y＇=0即4x3―4x=0，
解得x1=―1，x2=0，x3=1。
当x变化时，y＇，y的变化情况如下表：
x
－2
（―2，―1）
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2
y＇
－
0
+
0
－
0
+
y
13
(
4
(
5
(
4
(
13
从上表知，当x=±2时，函数有最大值13；当x=±1时，函数有最小值4。
例4. 求函数，x∈[－3，2] 的最值。
【解析】
，由得x=―1，0，1。
∵f(-3)=-60,f(-1)=f(1)=4,f(0)=3,f(2)=-5,
经比较可得：
当x=―3时，有最小值―60。 当x=―1时或1时，有最大值4。
【总结升华】
当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
举一反三：
【变式】求函数，x∈[0，2]的最值。
【答案】
，令，
化简为x2+x―2=0，解得x1=―2（舍去），x2=1。
∵，又，，
∴为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值。
类型四：极值与最值的应用----证不等式问题。
例5. 求证：当x＞0时，。
【思路点拨】移项，化为等式左边为函数式的形式。
【解析】 设，
，
所以在（―1，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，，
即x＞0时，。
【总结升华】 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值。
举一反三：
【变式】 当时，证明不等式：。
【答案】 设，
，，则函数在上单调减函数，
∴成立。
类型五：极值与最值的应用----不等式恒成立，求参数范围问题。
例6．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数。
【解析】
解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立
即为g(x)≥g(0)成立
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
【总结升华】一般首选隔离参数法，转化为求不含参数的函数的最值问题；若不能隔离，则化为求含参函数的最值问题，往往需要对参数进行分类讨论才能得出最值。
举一反三：
【变式1】(2018 辽宁)当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
　 A． [－5，－3] B． [－6，]
C． [－6，－2] D． [－4，－3]
【答案】C．
【解析】当x＝0时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3－x2＋4x＋3≥0可化为a≥，
令，则 (*)，
当0＜x≤1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上单调递增，
f(x)max＝f(1)＝－6，∴a≥－6；
当－2≤x＜0时，ax3－x2＋4x＋3≥0可化为a≤，
由(*)式可知，当－2≤x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝－2，∴a≤－2；
综上所述，实数a的取值范围是－6≤a≤－2，即实数a的取值范围是[－6，－2]．
故选C．
【变式2】 已知函数．
　　（1）若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围；
　　（2）若x＝3是的极值点，求在[1，a]上的最小值和最大值．
【答案】（1）．
∵　x≥1．　∴　，
　　 （当x=1时，取最小值）．
　　∴　a＜3（a＝3时也符合题意）．　∴　a≤3．
　　（2），即27-6a+3＝0，　∴　a＝5，.
令得 ，或 (舍去)
当时,; 当时,
　　即当时,有极小值．又
　 ∴　f（x）在，上的最小值是，最大值是.
类型六：极值与最值的应用----两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
例7. 已知函数/,若/在/处取得极值，直线y=m与/的图象有三个不同的交点，求m的取值范围
【思路点拨】先利用第一个条件求出函数式,再结合图像。
【解析】因为/在/处取得极大值，
所以/
所以/
由/解得/。
由（1）中/的单调性可知，/在/处取得极大值/，
在/处取得极小值/。
因为直线/与函数/的图象有三个不同的交点，又/，/，
结合/的单调性可知，/的取值范围是/。
【总结升华】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题。
举一反三：
【变式1】（2018 昆明二模）设三次函数的导函数为，若函数共有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的导函数为= ，
，即 则
若，则由得 由得 ，则函数在x=0时取得极大值 ，在x=2时，函数取得极小值，若函数共有三个不同的零点，则，解得 。
若，则由得由得 ，则函数在x=0时取得极小值 ，在x=2时，函数取得极大值，则此时函数只有1个零点，不满足条件，综上。故选：C 。
【变式2】 已知，是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
【答案】 方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
方程在区间内分别有唯一实数根，
而在区间内没有实数根，
所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
　　A．当时，则为f(x)的极大值
　　B．当时，则为f(x)的极小值
　　C．当时，则为f(x)的极值
　　D．当为函数f(x)的极值时，则有
2．（2018 天津校级模拟）已知函数，则（ ）
A. B. C. D.不存在
3．函数f（x）＝2 x3－12 x2＋3在区间[－1，2]上的最大、最小值的情况是（ ）．
A．最大值为3，最小值为－29
B．最大值为3，最小值为－61
C．最大值为－29，最小值为－61
D．以上答案都不对
4．下列结论正确的是（ ）
A．若x0是在[a，b]上的极大值点，则是在[a，b]上的最大值
B．若x0是在（a，b）上的极大值点，则是在[a，b]上的最小值
C．若x0是在[a，b]上唯一极大值点，则是在[a，b]上的最大值
D．若x0是在（a，b）上的极大值点，且在（a，b）上无极小值，则是在[a，b]上的最大值
5．设a＜b，函数y=(x―a)2(x―b)的图象可能是（ ）
/
6．设a∈R，若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（ ）
A．a＞－3 B．a＜－3 C． D．
7．已知函数y=―x2―2x+3在区间[a，2]上的最大值为，则a等于（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
8．（2018 信阳模拟改编）已知 ， ，若 使得，则实数的取值范围是 。
9．若函数在x=1处取得极值，则a=________。
10．函数在区间[―3，3]上的最小值是________。
11．设函数，若对于任意x∈[－1，1]，都有成立，则实数a的值为________。
三、解答题
12．求下列函数的极值：
　　（1）；
　　（2）。
13．求函数，的最值。
14．a为常数，求函数的最大值。
15．（2018 福建文）
已知函数/．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，f(x)＜x-1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当/时，恒有f(x)＞k(x-1)．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由定义可知A、B、C均错，故选D。
2．
【答案】C
【解析】求导函数，可得，令可得，令可得，令 可得， 函数在上单调减，在上单调增，
x=-1时，函数取得最小值 ，最小值是 。故选：C。
3. 【答案】A
【解析】f′(x)＝6 x2－24 x，令f′(x)＝0得
x1＝0，x2＝4
x2＝4[－1，2]，舍去．
4．【答案】D
【解析】 若在（a，b）上只有一个极值且为极大值时，则在[a，b]上 为最大值。
5．【答案】C
【解析】 y＇=(x―a)(3x―2b―a)，由y＇=0得x=a， ，∴当x=a时，y取极大值0，当时，y取极小值且极小值为负。故选C。
或当x＜b时，y＜0，当x＞b时，y＞0，选C。
6．【答案】B
【解析】 ，若函数在x∈R上有大于零的极值点，即 有正根。
当成立时，
显然有a＜0，此时，
由x＞0，得，所以参数a的范围为a＜－3。
7【答案】C
【解析】。令，得x=－1。
当a≤―1时，最大值为4，不合题意；
当―1＜a＜2时，在[a，2]上是减函数，最大，，，（舍）。
8． 【答案】
【解析】因为时，；
时，，故只需，即
9． 【答案】 3
【解析】 ， 。
10．【答案】－16
【解析】 由，解得x=±2。
∵，
，
，
，
∴的最小值为―16。
11．【答案】4
【解析】 若x=0，则不论a取何值，显然成立；
当x＞0，且x∈[－1，1]，即x∈（0，1]时，可化为，
设，则。
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。
因此，，从而a≥4；
当x＜0且x∈[－1，1]，即x∈[―1，0）时，
可化为，
在区间[―1，0）上单调递增，因此，从而a≤4，综上可知a=4。
12．【解析】
（1），。
　　（2）提示：。
　　令y′=0，得，，，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
　　由上表可知：
　　，。
13. 【解析】
，
令，得，又，
∴2x∈[－π，π]。
∴，即。
∴函数在上的两个极值分别为
，。
又在区间端点的取值为，。
比较以上函数值可得，。
14．【解析】
。
若a≤0，则，x∈[0，1]，函数单调递减。
∴当x=0时，有最大值，
若a＞0，则令，解得。
∵x∈[0，1]，则只考虑的情况。
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x
0
0
+
0
－
(
极大值
(
（1），即0＜a＜1，当时，有最大值。
（2），即a≥1，当x=1时，有最大值。
综上，当a≤0，x=0时，有最大值0；
当0＜a＜1，时，有最大值；
当a≥1，x=1时，有最大值3a―1。
15．【解析】
（Ⅰ）．
故f(x)的单调递增区间是/．
（Ⅱ）令F(x)＝f(x)-(x-1)，x∈(0，+∞)．
则有/．
当x∈(1，+∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在[1，+∞)上单调递减，
故当x＞1时，F(x)＜F(1)=0，即当x＞1时，f(x)＜x-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k=1时，不存在x0＞1满足题意．
当k＞1时，对于x＞1，有f(x)＜x-1＜k(x-1)，则f(x)＜k(x-1)，从而不存在x0＞1满足题意．
当k＜1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，
则有/．
由G′(x)=0得，-x2+(1-k)x+1=0．
解得
当x∈(1，x2)时，G′(x)＞0，故G(x)在[1，x2)内单调递增．
从而当x∈(1，x2)时，G(x) ＞G(1)=0，即f(x)＞k(x-1)，
综上，k的取值范围是(-∞，1)．