人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10【提高】导数的应用二

导数的应用二------函数的极值与最值
【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】
要点一、函数的极值
（一）函数的极值的定义：
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作
；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
（二）用导数求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。
要点二、函数的最值
（一） 函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
（二）求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
（三）最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
要点三、函数极值与最值的简单应用
不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如，
若能隔离参数，即可化为：的形式。若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使。所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
【典型例题】
类型一： 求函数的极值
例1. 下列函数的极值。
（1） （2）。

【解析】(I)=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)
+
0
－
0
+
极大值
极小值
∴的极大值是，极小值是
（2）函数的定义域为R。
。
令，得x=―1或x=1。
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，―1）
―1
（―1，1）
1
（1，+∞）
－
0
+
0
－
(
极小值―3
(
极大值―1
(
由上表可以看出，当x=―1时，函数有极小值，且，
当x=时，函数有极大值，且。
【总结升华】 解答本题时应注意只是函数在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0左右导数的符号相反，方能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
举一反三：
【变式1】 讨论函数（）的单调性并求极值．
【答案】
令，解得x1=0， x2=, x3=2 。
当x变化时，，变化状态如下表：
x
（－∞，0）
0
（0，）
（，2）
2
（2，+∞）
－
0
+
0
－
0
+
(
1
(
(
(
由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+∞）上
为增函数。
当x=0时，函数有极小值; 当x=2时，函数有极小值。
当x=时，函数有极大值。
【变式2】 求下列函数的极值：
（1）；
（2）。
【答案】（1）。
令，解得x1=―2，x2=2。
当x变化时，，的变化情况如下表：
x
（－∞，―2）
―2
（―2，2）
2
（2，+∞）
－
0
+
0
－
(
极小值－10
(
极大值22
(
当x=―2时，有极小值，并且，，
而当x=2时，有极大值，并且，。
（2）函数定义域为（－∞，1）∪（1，+∞）。
∵，
令得x1=―1，x2=2。
当x变化时，，的变化情况如下表：
x
（－∞，―1）
―1
（―1，1）
1
（1，2）
2
（2，+∞）
+
0
－
+
0
+
(
(
(
3
(
故当x=―1时，。
【变式3】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　）
/
A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。
类型二：函数极值的逆向应用
例2. 已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数 的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。求：
（1）x0的值；
（2）a，b，c的值。
【思路点拨】观察图像的正负和零点。
【解析】 （1）由图象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上，
故在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此在x=1处取得极大值，所以x0=1。
（2）方法一：，
由，，，
得，解得。
方法二：设。
又，
所以，，c=2m，
，
由，即，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。
【总结升华】
（1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负。
（2）注意条件“在点x0处的极大值是5”的双重条件，即，。
举一反三：
【变式】已知函数，当且仅当x=―1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4。
（1）求a、b的值；
（2）求的极大值和极小值。
【答案】
（1）的定义域为R。
∴。
∵x=±1时有极值，∴5+3a+b=0，
∴b=―3a―5。 ①
代入得
。
∵仅当x=±1时有极值，∴5x2+3a+5≠0对任意x成立。
∴3a+5＞0，∴。
考查，随x的变化情况：
x
（－∞，―1）
―1
（―1，1）
1
（1，+∞）
+
0
－
0
+
(
极大值
(
极小值
(
由此可知，当x=―1时取极大值，当x=1时取极小值。
∴，即[(―1)5+a·(―1)3+b·(―1)+1]―(15+a·13+b·1+1)=4。
整理得 a+b=―3。 ②
由①②解得。
（2）∵a=―1，b=―2，
∴。
。
类型三：求函数的最值
例3. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=/时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
【解析】 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得/=3x2+2ax+b,
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①
当x=/时，y=f(x)有极值，则/=0,可得4a+3b+4=0 ②
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.?
∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴/=3x2+4x-4,
令/=0,得x=-2,x=/.
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x
-3
(-3,-2)
-2
/
/
/
1
y′
+
0
-
0
+
y
8
单调递增
↗
13
单调递减
↘
/
单调递增
↗
4
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为/
【总结升华】解题格式要求：
ⅰ. 对于分解因式，写出相应方程的根；
ⅱ. 列表格，表格反映出随的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值。
ⅲ. 一般要注明x取何值时f(x)取得最大最小值。
举一反三：
【变式1】求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【解析】 ，
-1
0
2
+
+
0
-
0
+
+
-2
1
1
由上表可知，当x=-1时,f(x)取最小值-2；当x=2时,f(x)取最大值1.
∴ 函数在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2。
【变式2】求函数y=x4―2x2+5在区间[―2，2]上的最大值与最小值。
【答案】
先求导数，得y＇=4x3―4x。
令y＇=0即4x3―4x=0，
解得x1=―1，x2=0，x3=1。
当x变化时，y＇，y的变化情况如下表：
x
－2
（―2，―1）
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2
y＇
－
0
+
0
－
0
+
y
13
(
4
(
5
(
4
(
13
从上表知，当x=±2时，函数有最大值13；当x=±1时，函数有最小值4。
例4.求函数，x∈[0，2]的最值。
【解析】
，令，
化简为x2+x―2=0，解得x1=―2（舍去），x2=1。
∵，又，，
∴为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值。
【总结升华】
当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
举一反三：
【变式1】(2018 安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0．
(Ⅰ)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(Ⅱ)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
【解析】(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2，
由f′(x)＝0，得，，x1＜x2，
∴由f′(x)＜0得，；
由f′(x)＞0得；
故f(x)在(－∞，)和(，＋∞)单调递减，
在(，)上单调递增；
(Ⅱ)∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，
(i)当a≥4时，x2≥1，由(Ⅰ)知，f(x)在[0，1]上单调递增，
∴f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
(ii)当0＜a＜4时，x2＜1，由(Ⅰ)知，f(x)在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，
因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值，又f(0)＝1，f(1)＝a，
∴当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．
【变式2】设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间；
（2）若中（0，1]上的最大值为，求a的值。
【答案】
函数的定义域为（0，2）。
，
（1）当a=1时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当a∈（0，1]时，，
即在（0，1]上单调递增，故在（0，1]上的最大值为，因此。
类型四：极值与最值的应用----证不等式问题。
例5. (2018 新课标Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx+，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)+2．
(Ⅰ)求a、b；
(Ⅱ)证明：f(x)＞1．
【答案】(Ⅰ) a＝1，b＝2，(Ⅱ)见解析
【思路点拨】移项，变形，化为等式左边为函数式的形式。
【解析】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f′(x)＝，
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，
故a＝1，b＝2；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝exlnx+，
从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－，设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1+lnx，
∴当x∈(0，)时，g′(x)＜0；当x∈(，+∞)时，g′(x)＞0．
故g(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，从而g(x)在(0，+∞)上的最小值为g()＝－．
设函数h(x)＝，则h′(x)＝e－x(1－x)．
∴当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，+∞)时，h′(x)＜0，
故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，+∞)上的最大值为h(1)＝－．
综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1．
【总结升华】 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值。
举一反三：
【变式】已知函数
（1）求函数在区间[1，]上的最大值、最小值；
（2）求证：在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方；
【答案】
（1）=，令，得
当[1，]时，，则在区间[1，]上是增函数
∴ 当时，有最小值；当时，有最大值
（2）设=，则
∵ ，
∴ 在区间（1，）上是减函数
又∵
∴ ，即，
∴在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方。
类型五：极值与最值的应用----不等式恒成立，求参数范围问题。
例6．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】或者化为左侧为函数式的形式，或者分离参数。
【解析】
解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立
即为g(x)≥g(0)成立
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
【总结升华】一般首选隔离参数法，转化为求不含参数的函数的最值问题；若不能隔离，则化为求含参函数的最值问题，往往需要对参数进行分类讨论才能得出最值。
举一反三：
【变式】 已知函数。
（1）若图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
（2）若在x=1处取得极值，且x∈[―1，2]时，恒成立，求c的取值范围。
【答案】（1），的图象上有与x轴平行的切线，则有实数解，
即方程3x2―x+b=0有实数解，∴Δ=1―2b≥0，解得。
（2）由题意知x=1是方程3x2―x+b=0的一个根，
设另一根为x0，则，∴，
∴，。
当，；
当时，；
当x∈（1，2）时，。
∴当时，有极大值。
又，。
∴当x∈[－1，2]时，的最大值为。
又∵当x∈[－1，2]时，恒成立，
∴c2＞2+c，解得c＜－1或c＞2。
故c的取值范围是（－∞，－1）∪（2，+∞）。
类型六：极值与最值的应用----两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
例7. 已知函数/
（1）求/的单调区间；
（2）若/在/处取得极值，直线y=my与/的图象有三个不同的交点，求m的取值范围
【思路点拨】（2）中，先利用第一个条件求出函数式,再结合图像。
【解析】（1）/
当/时，对/，有/
当/时，/的单调增区间为/
当/时，由/解得/或/；
由/解得/，
当/时，/的单调增区间为/；/的单调减区间为/。
（2）因为/在/处取得极大值，
所以/
所以/
由/解得/。
由（1）中/的单调性可知，/在/处取得极大值/，
在/处取得极小值/。
因为直线/与函数/的图象有三个不同的交点，又/，/，
结合/的单调性可知，/的取值范围是/。
【总结升华】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题。
举一反三：
【变式】 已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
【答案】
（I）是二次函数，且的解集是
可设
在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
方程在区间内分别有唯一实数根，
而在区间内没有实数根，
所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 天津校级模拟）设函数，则（ ）
A.为的极小值点 B. 为的极大值点
C. 为的极大值点 D.为的极小值点
2．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则(　　)
A．a－2b＝0　　　　　　　B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
3．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是(　　)
A．　　　B． C．－4 D．
4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是(　　)
A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点
B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点
C．x＝－1不是函数f(x)的极值点
D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点
5．（2018 金家庄区校级模拟）若函数 在区间 上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．已知函数y=―x2―2x+3在区间[a，2]上的最大值为，则a等于（ ）
A． B． C． D．或
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．－13 B．－15
C．10 D．15
二、填空题
8．函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________ 。
9. 若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__ _。
10．f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时，tan x =
11．设函数，若对于任意x∈[－1，1]，都有成立，则实数a的值为________。
三、解答题
12．求下列函数的极值：
　　（1）；
　　（2）。
13．已知函数f（x）＝2 x 3－6 x2 ＋m在[－2，2]上有最大值3，试确定常数m，并求这个函数在闭区间上的最小值．
14．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1处的切线与x轴平行．
(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象与抛物线y＝x2－15x＋3恰有三个不同交点，求b的取值范围．
15．(2018 北京)已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈[0，]
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若对上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
当时，；当时，，
所以为 的极小值点，故选：D。
2．【答案】D
【解析】　y′＝3ax2＋2bx，据题意，
0、是方程3ax2＋2bx＝0的两根
∴－＝，　∴a＋2b＝0.
3. 【答案】A
【解析】　y′＝x2＋2x－3.
令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．
当x∈[0,1]时，y′<0.当x∈[1,2]时，y′>0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．
∴当x＝1时，ymin＝－.
4．【答案】B
【解析】　x>－1时，f′(x)>0
X <－1时，f′(x)<0
∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．
5．
【答案】D
【解析】
有两个解，则 故;函数 在区间 上有极值点可化为在区间 上有解，
当时，，即，故 故。
当时，无解；
综上所述 ， ，故选D。
6．【答案】C
【解析】。令，得x=－1。
当a≤―1时，最大值为4，不合题意；
当―1＜a＜2时，在[a，2]上是减函数，最大，，，（舍）。
7. 【答案】A
【解析】 求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
8． 【答案】
【解析】 ∵，由
时当时，y＇＞0，当时，y＇＜0。
∴当时，
9． 【答案】a>2或a<-1
【解析】
∵f(x) 既有极大值又有极小值 , 有两个不同的解。
10．【答案】
【解析】f′（x）=3cosx－4sinx=0 tanx=，f(x)在tanx=时取得最大值，即填。
11．【答案】4
【解析】 若x=0，则不论a取何值，显然成立；
当x＞0，且x∈[－1，1]，即x∈（0，1]时，可化为，
设，则。
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。
因此，，从而a≥4；
当x＜0且x∈[－1，1]，即x∈[―1，0）时，
可化为，
在区间[―1，0）上单调递增，因此，从而a≤4，综上可知a=4。
12．【解析】
（1），。
　　（2）提示：。
　　令y′=0，得，，，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
　　由上表可知：
　　，。
13. 【解析】
f′(x)＝6 x（x －2）
则 x ＝0或x ＝2，又有区间端点x ＝－2
f（0）＝m f（－2）＝－40＋m，
f（2）＝－8＋m，
∴ f（0）＝m为最大值
∴ m ＝3
最小值为f（－2）＝－37．
14. 【解析】
(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，
由f′(－1)＝0，解得a＝－9.
则f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,3)．
(2)令g(x)＝f(x)－＝x3－x2＋6x＋b－3，
则原题意等价于g(x)＝0有三个不同的根．
∵g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
∴g(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．
则g(x)的极小值为g(2)＝b－1<0，
且g(x)的极大值为g(1)＝b－>0，
解得∴b的取值范围.
15．【解析】
(1)由f(x)＝xcosx－sinx得，f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，
此在区间上f′(x)＝－xsinx＜0，
所以f(x)在区间上单调递减，
从而f(x)≤f(0)＝0．
(2)当x＞0时，“”等价于“sinx－ax＞0”，“”等价于“sinx－bx＜0”
令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c，
当c≤0时，g(x)＞0对x∈(0，)上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈(0，)，g′(x)＝cosx－c＜0，
所以g(x)在区间[0，]上单调递减，
从而，g(x)＜g(0)＝0对任意x∈(0，)恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈(0，)使得g′(x0)＝cosx0－c＝0，
g(x)与g′(x)在区间(0，)上的情况如下：
x
(0，x0)
x0
g′(x)
＋
－
g(x)
↑
↓
因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，
所以g(x0)＞g(0)＝0进一步g(x)＞0对任意x∈(0，)恒成立，
当且仅当
综上所述当且仅当时，g(x)＞0对任意x∈(0，)恒成立，
当且仅当c≥1时，g(x)＜0对任意x∈(0，)恒成立，
所以若对x∈(0，)上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1