人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：13【基础】定积分的简单应用
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学理科选修2-2同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：13【基础】定积分的简单应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 578.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-21 09:47:45 | ||
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文档简介
定积分的简单应用
【学习目标】
1.会用定积分求平面图形的面积。
2.会用定积分求变速直线运动的路程
3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】
要点一、应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：
2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：
3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积：
＝＋.
4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：
要点诠释：
研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：
① 当平面图形的曲边在轴上方时，容易转化为定积分求其面积；
② 当平面图形的一部分在轴下方时，其在轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；
要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；
（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
（4）写出平面图形面积的定积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用
速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.
要点诠释：
利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。
【典型例题】
类型一、求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【解析】 ，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），
面积S=，
所以
【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：
⑴．作图象；
⑵．求交点，定积分上、下限；
⑶．用定积分表示所求的面积；
⑷．微积分基本定理求定积分。
举一反三：
【变式1】（2018 天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】
【解析】已知两条曲线交于点（0，0）和（1，1），且在此两点之间直线在抛物线上方，因此。
【变式2】求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
【答案】所求图形的面积为
例2． 计算由直线y=x―3和抛物线y2=4x所围成的平面图形的面积。
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】 画出直线y=x―3和曲线y2=4x。
则所求平面图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组
得交点A（1，―2），B（9，6）。
又直线y=x―3与x轴交于点D（3，0），过A、D作x轴的垂线把阴影分割成
S1、S2、S3、S4四部分，则根据定积分的几何意义有
。
【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。
举一反三：
【变式1】(2018春 哈尔滨校级期末)由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（ ）
A. B.3 C. D.
【答案】由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图：
直线与曲线的交点为（1,2），
所以阴影部分的面积为：，
故选B。
【变式2】计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
【答案】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
类型二、求变速直线运动的路程
例3．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
【思路点拨】
对速度函数积分即可得物体A所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。
【解析】设A追上B时,所用的时间为依题意有
即，，，=5 (s)
所以 ==130 (m)
因此5秒后两物体相遇，此时物体A走过了130米。
【总结升华】利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
举一反三：
【变式】一辆汽车的速度-时间曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1 min内行驶的路程。
【答案】由图象可得，
由变速直线运动的路程公式可得
。
故该汽车在1 min内行驶的路程是1350 m。
类型三、求变力做功
例4. 一物体在变力作用下沿坐标平面内x辆正方向由x=8处运动到x=18处，求力做的功。
【思路点拨】对变力F进行定积分即可得变力所作的功。
【解析】 如右图，阴影部分的面积即所做的功。
，
∴做的功。
【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。
举一反三：
【变式】
求证： 把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmdx = GMm
=．
类型四、定积分的综合应用
例5. 在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，求：
（1）切点A的坐标。
（2）过切点A的切线方程。
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。
【解析】 如图，设切点A（x0，y0），
由y＇=2x知过A点的切线方程为y―y0=2x0(x―x0)，即。
令y=0，得，即。
设由曲线与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
，
。
即。
所以x0=1，从而切点A（1，1），切线方程为2x―y―1=0。
【总结升华】 本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲边△AOB的面积，所以设出切点A的坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。
举一反三：
【变式】 有一直线与抛物线y=x2相交于A,B两点,AB与抛物线所围成的图形的面积恒等于,求线段AB的中点P的轨迹方程.
【答案】 如图所示,设抛物线上的两点为A(a,a2),B(b,b2),
不妨设a设它与抛物线所围成的图形的面积为S,
则S=(b-a=2(※),
设AB的中点P(x,y),则x=, y=,
由(※)式得x=a+1,y=a2+2a+2,消去参数a,可得y=x2+1,
∴线段AB的中点P的轨迹方程为y=x2+1.
【巩固练习】
一、选择题
1．如右图所示，阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018春 梁子湖区校级期末） 一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为，则该物体从0秒到4秒运动所经过的位移为（ ）
A. B. C.16m D.
3．（2018 湖北模拟） 直线与曲线围成的图形的面积为（ ）
A. B.3 C.2 D.1
4．将边长1米的正方形薄片垂直放于液体密度为的液体中，使其上边缘与液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）
A． B． C． D．
5．由抛物线y=x2―x，直线x=―1，x=1及x轴围成的图形面积为（ ）
A． B．1 C． D．
6.某物体的运动方程S(t)=,则此物体在t=2时刻的瞬间速度为( )
A.0 B.e4 C.e2 D.2e4
7．（2018春 淄博校级期中）如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（ ）
A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.18J
二、填空题
8．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
________。（只列式子）
9. 由曲线y=x2+1,x+y=3,及x轴,y轴所围成的区域的面积为: .
10．如图1-5-3-16所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置m处，则克服弹簧力所做的功为________。（弹簧的劲度系数为k）
11.如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k= .
三、解答题
12.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
13．求曲线与轴所围成的图形的面积．
14．一物体在变力作用下沿坐标平面内轴正方向由m处运动到m处，求力做的功.
15．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积。
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由利用定积分求平面图形面积的方法易得。
2．【答案】B
【解析】因为速度和时间关系为，所以该物体从0秒到4秒运动所经过的路程 m,故选：B。
3．【答案】A
【解析】
由直线与曲线，解得曲线及直线的交点为O（0,0）和A（2,4），因此，曲线及直线所围成的封闭图形的面积是 ,故选A.
4．【答案】A
【解析】 由物理学知识易得被积函数为，x∈[2，3]。
5．【答案】B
【解析】 。
6. 【答案】D.
【解析】若Fˊ(x)= ,则F(t)=,S(t)=F(t)-F(0),∴Sˊ(t)= Fˊ(t)= ,
∴Sˊ(2)=2 e4.
7．【答案】D
【解析】
根据胡克定律F=kx,得： ，所以，故选：D。
8. 【答案】
【解析】根据几何意义可得。
9. 【答案】
【解析】如图3-5-6,S=。
10．【答案】
【解析】 在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正比，即。由变力做功公式得。
11. 【答案】1-
【解析】 抛物线y=x-x2与x轴所围成图形面积S=,
直线y=kx与抛物线y=x-x2的交点的横坐标为x=0,1-k,
∴S上=,又S=2S上(
(k=1-.
12. 【解析】
13．【解析】首先求出函数的零点：，，.
又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，
所以所求面积为
14．【解析】由题意知力做的功为：
15．【解析】（1）设，则。
又已知，∴a=1，b=2。∴。
又方程有两个相等的实根，
∴判别式Δ=4―4c=0，即c=1。
故。
（2）依题意，所求面积。
【学习目标】
1.会用定积分求平面图形的面积。
2.会用定积分求变速直线运动的路程
3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】
要点一、应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：
2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：
3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积：
＝＋.
4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积：
要点诠释：
研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：
① 当平面图形的曲边在轴上方时，容易转化为定积分求其面积；
② 当平面图形的一部分在轴下方时，其在轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；
要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；
（3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
（4）写出平面图形面积的定积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用
速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.
要点诠释：
利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。
【典型例题】
类型一、求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
【解析】 ，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），
面积S=，
所以
【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：
⑴．作图象；
⑵．求交点，定积分上、下限；
⑶．用定积分表示所求的面积；
⑷．微积分基本定理求定积分。
举一反三：
【变式1】（2018 天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】
【解析】已知两条曲线交于点（0，0）和（1，1），且在此两点之间直线在抛物线上方，因此。
【变式2】求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
【答案】所求图形的面积为
例2． 计算由直线y=x―3和抛物线y2=4x所围成的平面图形的面积。
【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】 画出直线y=x―3和曲线y2=4x。
则所求平面图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组
得交点A（1，―2），B（9，6）。
又直线y=x―3与x轴交于点D（3，0），过A、D作x轴的垂线把阴影分割成
S1、S2、S3、S4四部分，则根据定积分的几何意义有
。
【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。
举一反三：
【变式1】(2018春 哈尔滨校级期末)由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（ ）
A. B.3 C. D.
【答案】由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图：
直线与曲线的交点为（1,2），
所以阴影部分的面积为：，
故选B。
【变式2】计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
【答案】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
类型二、求变速直线运动的路程
例3．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
【思路点拨】
对速度函数积分即可得物体A所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。
【解析】设A追上B时,所用的时间为依题意有
即，，，=5 (s)
所以 ==130 (m)
因此5秒后两物体相遇，此时物体A走过了130米。
【总结升华】利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。
举一反三：
【变式】一辆汽车的速度-时间曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1 min内行驶的路程。
【答案】由图象可得，
由变速直线运动的路程公式可得
。
故该汽车在1 min内行驶的路程是1350 m。
类型三、求变力做功
例4. 一物体在变力作用下沿坐标平面内x辆正方向由x=8处运动到x=18处，求力做的功。
【思路点拨】对变力F进行定积分即可得变力所作的功。
【解析】 如右图，阴影部分的面积即所做的功。
，
∴做的功。
【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。
举一反三：
【变式】
求证： 把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmdx = GMm
=．
类型四、定积分的综合应用
例5. 在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，求：
（1）切点A的坐标。
（2）过切点A的切线方程。
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。
【解析】 如图，设切点A（x0，y0），
由y＇=2x知过A点的切线方程为y―y0=2x0(x―x0)，即。
令y=0，得，即。
设由曲线与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
，
。
即。
所以x0=1，从而切点A（1，1），切线方程为2x―y―1=0。
【总结升华】 本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲边△AOB的面积，所以设出切点A的坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。
举一反三：
【变式】 有一直线与抛物线y=x2相交于A,B两点,AB与抛物线所围成的图形的面积恒等于,求线段AB的中点P的轨迹方程.
【答案】 如图所示,设抛物线上的两点为A(a,a2),B(b,b2),
不妨设a
则S=(b-a=2(※),
设AB的中点P(x,y),则x=, y=,
由(※)式得x=a+1,y=a2+2a+2,消去参数a,可得y=x2+1,
∴线段AB的中点P的轨迹方程为y=x2+1.
【巩固练习】
一、选择题
1．如右图所示，阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018春 梁子湖区校级期末） 一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为，则该物体从0秒到4秒运动所经过的位移为（ ）
A. B. C.16m D.
3．（2018 湖北模拟） 直线与曲线围成的图形的面积为（ ）
A. B.3 C.2 D.1
4．将边长1米的正方形薄片垂直放于液体密度为的液体中，使其上边缘与液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）
A． B． C． D．
5．由抛物线y=x2―x，直线x=―1，x=1及x轴围成的图形面积为（ ）
A． B．1 C． D．
6.某物体的运动方程S(t)=,则此物体在t=2时刻的瞬间速度为( )
A.0 B.e4 C.e2 D.2e4
7．（2018春 淄博校级期中）如果10N的力能使弹簧压缩10cm,为在弹簧限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（ ）
A.0.28J B.0.12J C.0.26J D.0.18J
二、填空题
8．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
________。（只列式子）
9. 由曲线y=x2+1,x+y=3,及x轴,y轴所围成的区域的面积为: .
10．如图1-5-3-16所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置m处，则克服弹簧力所做的功为________。（弹簧的劲度系数为k）
11.如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k= .
三、解答题
12.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
13．求曲线与轴所围成的图形的面积．
14．一物体在变力作用下沿坐标平面内轴正方向由m处运动到m处，求力做的功.
15．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积。
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 由利用定积分求平面图形面积的方法易得。
2．【答案】B
【解析】因为速度和时间关系为，所以该物体从0秒到4秒运动所经过的路程 m,故选：B。
3．【答案】A
【解析】
由直线与曲线，解得曲线及直线的交点为O（0,0）和A（2,4），因此，曲线及直线所围成的封闭图形的面积是 ,故选A.
4．【答案】A
【解析】 由物理学知识易得被积函数为，x∈[2，3]。
5．【答案】B
【解析】 。
6. 【答案】D.
【解析】若Fˊ(x)= ,则F(t)=,S(t)=F(t)-F(0),∴Sˊ(t)= Fˊ(t)= ,
∴Sˊ(2)=2 e4.
7．【答案】D
【解析】
根据胡克定律F=kx,得： ，所以，故选：D。
8. 【答案】
【解析】根据几何意义可得。
9. 【答案】
【解析】如图3-5-6,S=。
10．【答案】
【解析】 在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压缩）的长度成正比，即。由变力做功公式得。
11. 【答案】1-
【解析】 抛物线y=x-x2与x轴所围成图形面积S=,
直线y=kx与抛物线y=x-x2的交点的横坐标为x=0,1-k,
∴S上=,又S=2S上(
(k=1-.
12. 【解析】
13．【解析】首先求出函数的零点：，，.
又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，
所以所求面积为
14．【解析】由题意知力做的功为：
15．【解析】（1）设，则。
又已知，∴a=1，b=2。∴。
又方程有两个相等的实根，
∴判别式Δ=4―4c=0，即c=1。
故。
（2）依题意，所求面积。